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【摘 要】抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。
【关键词】抽象函数；定义域；值域；对称性；周期性
抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
1. 抽象函数的定义域
例1，已知函数的定义域为［1,3］，求出函数=,（a＞0）的定义域。
解析：由a＞0 知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a}；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。
例2，（1）已知函数的定义域为（0，1），求的定义域；
（2）已知函数的定义域为（0，1），求的定义域；
（3）已知函数的定义域为［-2,3］，求的定义域；
解析：
（1）∵的定义域为（0，1），
∴要使有意义，需使0＜x2＜1，
即-1＜x＜0或0＜x＜1，
∴的定义域为（-1，0）（0，1），
（2）∵的定义域为（0，1），即其中的自变量x的取值范围是0＜x＜1，
令t=2x+1, ∴1＜x＜3, ∴的定义域为1＜t＜3，
∴函数的定义域为（1，3），
（3）∵的定义域为［-2,3］，∴-2≤x≤3，
令t=x+1, ∴-1≤t≤4,∴的定义域为-1≤t≤4，
即 的定义域为-1≤x≤4，
要使有意义，需使-1≤2x2-2≤4。
点评：1.已知的定义域为［a,b］，则的定义域由a≤≤b，解出x即可得解；2.已知的定义域为［a,b］，则的定义域即是在x［a,b］上的值域。
2. 抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。
例3，若函数的值域为［-1,1］求的值域。 解析：因为函数中的定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为［-1,1］。
例4，已知的定义域为（0，2），值域为［0,4］，求函数的值域。
解析：令2x=t,由0＜x＜2，得0＜t＜4，
∴的定义域为（0，4），值域为［0,4］，
同理令t=x2得:0＜x2＜4, ∴-2＜x＜2且x≠0，
故函数的定义域是（0，4）没有变，对应法则也没有变，因此的值域仍为［0,4］。
3. 抽象函数的奇偶性
例5 ，的定义域为(-,0) (0,+) ，且对定义域内的任意实数x,y满足 , 则函数是( )
A偶函数 B奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数
解析：在中，令x=y=1得f(1)=0, 令x=y= -1得，于是，故是偶函数。
例6， 已知函数满足,且，试判断的奇偶性。
解析：设x+y=,x-y=b,则，
令=b=0，则，
设=x,b=-x，
所以是偶函数。
方法提炼：根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系，切忌前提条件是定义域关于原点对称。
4. 抽象函数的对称性
例7 ，若函数 ,有,求.
解析：有知的图象关于（1，0）对称，而的对称中心为p(-,0)
∴=-1
例8，（2009.全国卷Ⅰ）函数的定义域为R.若与都是奇函数，则（ ）
A是偶函数 B是奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数
解析：由于是奇函数，则函数的对称中心为（1，0），
∴可知4为函数的周期，则 是奇函数。
5. 抽象函数的周期性
例9，设函数的定义域为R，且对任意的x有=. 求证。
证明：对任意xR有=，∴====。
6. 抽象函数的单调性
例11，偶函数在(0,+)上是减函数，问在（，）上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
证明：设＜＜0，则-＞-＞0
因为在（0，+）上是减函数，所以＜,又是偶函数，所以=，=，从而＜，故在（）上是增函数
例12，如果奇函数在区间［3,7］上是增函数且有最小值为5，那么在区间［-7,-3］上是（ ） A增函数且最小值为-5 B增函数且最大值为-5 C减函数且最小值为-5 D减函数且最大值为-5
解析：由在区间［3,7］关于原点的对称区间为［-7,-3］，所以在区间［-7,-3］上是增函数且最大值为-5。
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握相关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。
参考文献
［1］ ［1］陈诚.抽象函数问题分类解析［J］.数理化学习?，2008(8).
【关键词】抽象函数；定义域；值域；对称性；周期性
抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
1. 抽象函数的定义域
例1，已知函数的定义域为［1,3］，求出函数=,（a＞0）的定义域。
解析：由a＞0 知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a}；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。
例2，（1）已知函数的定义域为（0，1），求的定义域；
（2）已知函数的定义域为（0，1），求的定义域；
（3）已知函数的定义域为［-2,3］，求的定义域；
解析：
（1）∵的定义域为（0，1），
∴要使有意义，需使0＜x2＜1，
即-1＜x＜0或0＜x＜1，
∴的定义域为（-1，0）（0，1），
（2）∵的定义域为（0，1），即其中的自变量x的取值范围是0＜x＜1，
令t=2x+1, ∴1＜x＜3, ∴的定义域为1＜t＜3，
∴函数的定义域为（1，3），
（3）∵的定义域为［-2,3］，∴-2≤x≤3，
令t=x+1, ∴-1≤t≤4,∴的定义域为-1≤t≤4，
即 的定义域为-1≤x≤4，
要使有意义，需使-1≤2x2-2≤4。
点评：1.已知的定义域为［a,b］，则的定义域由a≤≤b，解出x即可得解；2.已知的定义域为［a,b］，则的定义域即是在x［a,b］上的值域。
2. 抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。
例3，若函数的值域为［-1,1］求的值域。 解析：因为函数中的定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为［-1,1］。
例4，已知的定义域为（0，2），值域为［0,4］，求函数的值域。
解析：令2x=t,由0＜x＜2，得0＜t＜4，
∴的定义域为（0，4），值域为［0,4］，
同理令t=x2得:0＜x2＜4, ∴-2＜x＜2且x≠0，
故函数的定义域是（0，4）没有变，对应法则也没有变，因此的值域仍为［0,4］。
3. 抽象函数的奇偶性
例5 ，的定义域为(-,0) (0,+) ，且对定义域内的任意实数x,y满足 , 则函数是( )
A偶函数 B奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数
解析：在中，令x=y=1得f(1)=0, 令x=y= -1得，于是，故是偶函数。
例6， 已知函数满足,且，试判断的奇偶性。
解析：设x+y=,x-y=b,则，
令=b=0，则，
设=x,b=-x，
所以是偶函数。
方法提炼：根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系，切忌前提条件是定义域关于原点对称。
4. 抽象函数的对称性
例7 ，若函数 ,有,求.
解析：有知的图象关于（1，0）对称，而的对称中心为p(-,0)
∴=-1
例8，（2009.全国卷Ⅰ）函数的定义域为R.若与都是奇函数，则（ ）
A是偶函数 B是奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数
解析：由于是奇函数，则函数的对称中心为（1，0），
∴可知4为函数的周期，则 是奇函数。
5. 抽象函数的周期性
例9，设函数的定义域为R，且对任意的x有=. 求证。
证明：对任意xR有=，∴====。
6. 抽象函数的单调性
例11，偶函数在(0,+)上是减函数，问在（，）上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
证明：设＜＜0，则-＞-＞0
因为在（0，+）上是减函数，所以＜,又是偶函数，所以=，=，从而＜，故在（）上是增函数
例12，如果奇函数在区间［3,7］上是增函数且有最小值为5，那么在区间［-7,-3］上是（ ） A增函数且最小值为-5 B增函数且最大值为-5 C减函数且最小值为-5 D减函数且最大值为-5
解析：由在区间［3,7］关于原点的对称区间为［-7,-3］，所以在区间［-7,-3］上是增函数且最大值为-5。
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握相关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。
参考文献
［1］ ［1］陈诚.抽象函数问题分类解析［J］.数理化学习?，2008(8).