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摘要：清华老师作为终身从教的一代杰出的人民教育家、思想家、书法家，始终忠诚于党的教育事业，桃李满天下、美誉遍九州。他的教育教学观尤其是数学教育教学思想，内容丰富、博大精深，构建了一个较为完整的教育科学体系。这里，仅论述其提出了解数学教学方法的重要性、阐述把握数学教学方法的要求和揭示运用于数学教学的基本方法等三个方面，以便对当前改进数学教育教学有所助益。
关键词：清华老师；数学教学；方法论
和徐特立、陶知行等现当代知名教育教学工作者一样，清华老师也是一代杰出的人民教育家、思想家。他从教44年期间，于繁重的校务管理之余，曾精心编写《教育学概论》、《各科教案》和《各科教学方法探析》等讲义，以丰富的教学经验和事例，新颖的内容、优美的书法和活泼生动的语言，呈现了他的教育教学思想和教学方法。在这里，仅从清华老师提出了解数学教学方法的重要性、阐述把握数学教学方法的要求和揭示运用于数学教学的基本方法等角度，来谈谈清华老师的数学教学方法论问题。
一、提出了解数学教学方法的重要性
清华老师认为，数学是一门研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科技和数学学科的发展，“数量关系”和“空间形式”有了越来越丰富的内涵和更加广泛的外延。这样，数学既是一种工具又是一种思维模式，既是一种知识又是一种素养，既是一门科学又是一种文化。然而，要真正深入到数学大厦的殿堂、领悟其中的奥秘和乐趣，又不是一件轻而易举的事，必须了解数学教学方法才有可能。因此，了解数学教学方法在培养高素质科技人才、管理干部中具有其独特的、不可替代的意义，正如清华老师说的：“认真对待学习中的每件事才是最好的学习态度，聪明与否并不重要。”[1]
第一，这是培养一代新人知识的需要。“计算者，实为利用厚生之源，物质开化之本。…算术者，使发达数之观念，而使知数之应用之法也。如此，算术一科其所以得占国民教育上重要之地位者，以其备两方面之陶冶故也。”[2]清华老师深谙此理，反复强调数学教学要面向未来培养人才，而时代在日新月异的发展，新知识的增长速度大大加快，如今的学生在学校里学得的知识可能只占人一生中所学知识的百分之十左右，其余百分之九十左右的知识要待走出校门以后自己去获取；他常以生物学家达尔文“最有价值的知识是关于方法的知识”和未来学家托夫勒在《第三次浪潮》中讲的话“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会学习的人”告诫学生。数学和哲学一样，是一切科学的两个基础。因此，他苦口婆心提出了解数学教学方法对学生成人成才的重要性。
第二，这是提高学生自觉能力的需要。清华老师常说，数学教师教学与工人做工、农民种田、科技人员发射卫星等等工作的不同点在于，数学教学属于“人——数——人”系统，是人与人在数学领域打交道。人与人、老师与学生，两个方面都要有主动性，两个方面都应协同努力、密切合作，才能把数学教学搞好。从学生能力提高的意义上来说，数学教学的根本任务就是充分调动学生数学学习能力，达到不教而学的目标。而学生的数学能力可以表现为两种水平：一种是复现水平，即对于数学老师讲解过的例题可以基于记忆或悟性而复现出来，甚至能举一反三，“闻一知多”；另一种是迁移水平，即学生的数学演算和解题能力不光表现在数学教师已经讲解过的内容方面，而且再现在从未接触过或听说过的内容方面。诚如徐特立所言：“问题者，以数表事实之关系者也。其课务得分之为二：（一）事实及事实之关系；（二）数及数之关系，是也。算术教授以使对于此二者得正当明了之观念，且使之计算成一种技能为要旨。”[3]
第三，这是发展学生各项基本素养的需要。素养，包括观察、记忆、想象、思维、理解等因素的涵养与修为。与之相对应，就有观察方法、记忆方法、想象方法、思维方法、理解方法等。在学生诸多基本素养之中，数学素养是最基本的素养之一。清华老师认为，让学生掌握某种基本素养，常常要经过较长时间的反复训练，它不象传授某种知识那样能够立竿见影。然而，一旦学生掌握好数学素养，就能为发展其他各项基本素养奠定基础，可以让学生终身受益。他常说，对于提高数学素养来讲，学好数学课程、了解数学教学方法是非常重要的。因为数学作为各门学科的基础课，它内容丰富、理论严谨，应用广泛、影响深远，数学素养的修成不仅为学生学习后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，而且在培养学生抽象思维、逻辑推理能力，综合利用所学知识分析问题解决问题的能力、较强的自主学习能力与创新意识和创新能力上，都具有非常重要的作用。
二、阐述把握数学教学方法的要求
“教授者，为达教育之目的，以一定之方案（课程、细目、教案）、矫正（自习之误点）、整理（整理错杂的知识使有系统）、授与知识技能于生徒也。”[4]所谓数学教学方法，是数学教师在数学教学过程中引导学生完成数学教学任务所采用的手段和方式的总称，它既包括数学老师教的活动方式、也包括学生在数学老师指导下的学习活动方式，是教的方法和学的方法的统一。要达到这种教学相长、共同提高的目标，清华老师认为除了解数学教学方法的重要性之外，还应把握数学教学方法的要求。
第一，整体安排，有机渗透。清华老师认为，数学教学方法的整体安排有三层意思：一是数学教学方法的实施要在学校统一领导下同步进行。这一数学教学方法的实施仅仅在一个班、一个年级里进行，收效往往甚微；在几个班和年级，或文、理、工各专业同时进行，则可以互相促进，形成整体优势。二是各专业、各年级要形成序列。如小学1-6年级、初中1-3年级、高中1-3年级要形成训练序列，循序渐进，逐步提高。三是数学教学方法各项具体内容要统一安排。文、理、工各专业各有侧重又互相联系，各个年级各有重点又螺旋式上升。
数学教学方法的要求，在注重整体安排的同时，也要注意有机渗透。清华老师指出，数学教学方法大体上有两种形式：一种是在数学教学过程中相机进行教学方法指导，另一种是开设专门的教学方法指导课。比较而言，前一种形式较受学生欢迎。但不管采用何种形式，都应将数学教学方法有机地渗透到数学教学的过程之中；离开具体的数学教学内容而大谈教学方法，结果往往适得其反。 第二，注重能力，因人而异。徐特立说：“数学解决什么问题达到什么目的？它是学以致用，是有始有终的。”[5]基于此，清华老师认为，数学教学方法的本质意义不在于让学生了解、记住多少数学学习方法，而在于提高学生的数学能力。他总结道：将数学教学方法的有关知识变成学生的数学能力，这需要一个转化、迁移的过程。学生把握数学学习方法，大体上有三级水平：第一级，识记；第二级，理解；第三级，自觉地、独立地运用。让全体学生达到第三级水平，才是数学教学方法要求的根本目的。清华老师还指出，将方法转化为解决问题的能力，一般需要经过“领悟-尝试-运用-小结-反复实践”这样几个环节。因而，要求数学教学方法的提高，不能操之过急，浅尝辄止。
数学教育方法的要求，在注重能力的同时，也要注重因人而异。陶行知说过：“民主的教育方法，要使学生自动，而且要启发学生使能自觉，要客观，要科学，不限于一种，要多种多样，因材施教，要生活与教育联系起来”[6]。清华老师认为，数学教育方法的要求既要有统一布置，又不能搞一刀切。因为每个学生在自己长时间的数学学习过程中，都会积累起一些适应于自己的好的学习方法，不宜过分干预。真正好的数学教师要善于发现学生中自己创造的一些好的方法，并且组织学生交流和适度推广。
第三，同步改革，及时总结。清华老师指出，数学教学方法的改革，涉及教师教法改革和学生的学法指导，是一个问题的两个方面。一般而言，掌握学法要以改革教法为前提，改革教法又要落脚在让学生把握学法上。若教法未改，学法指导也难以进行；学法不变，教法改革就抓不住关键。学法指导与教法改革两者之间，存在着互相制约、互相促进的关系。因而，数学教学必须在研究学法指导的同时，一定要同步研究教法的改革，尽量使之相互协调起来。
数学教学方法的要求，在抓好同步改革的同时，也要注意及时总结。清华老师喜欢用案例法教学，来说明及时总结的必要。他说，一位数学教师出示了如下列题让学生列方程式：“时速20公里的卡车由甲地驶往乙地，一个半小时后，一辆时速40公里的摩托车也由甲地驶往乙地，摩托车几小时可以追上卡车？”不久，便有几个学生列出方程式：40x=20*1.5+30x。 这位老师并未就此放手，而是由果溯因，要求学生说出列方程式的方法。学生经过思索，说出了以下几种方法：（1）排除法。这道题涉及到摩托车和卡车的行车速度、行车时间、行车距离。从题中可以看出，两车行走速度不等，可以排除；两车行走的时间不等，也可以排除。因而，选距离作为等量才是恰当的。（2）作图法。通过作图，使题中的等量形象化、明朗化。（3）公式法。利用距离等于速度乘时间的公式可列出方程式。学生的回答说明，不仅做题有方法，而且解一题常有多种方法，同伴的经验更有启发性。通过及时总结，全班同学均能从中受到深刻启发，数学教学方法的要求也得以达到。
三、揭示运用于数学教学的基本方法
“令人感到悖理的是，我们种属的一切较高的文化赖以存在的基础是，我们若与其增长相适应，便必须越来越漫长、越来越多停顿和曲折的道路，才能达到我们的目的。人达到的文明程度越高，他便越是走迂回曲折道路的生命。动物和未开化的人的意志所要求者，他们，一般而言，以所谓直接方式，通过简单抓取或少量简陋工具便可达到：手段和目的的结构可一览无余。高等生命不断增长的多环节性和复杂性不满足于单纯的三段序列：意愿-手段-目的，而是允许有中间环节，以便达到众多，在这众多之中原本有效的工具通过一个工具造成，而这个工具又通过另一个工具造成，最后形成我们实践活动的那种看不到边际的纠结，即链条品格，人在这一链条品格之内享受着成熟的文化。”[7]徐特立说：“我是研究各科方法的，研究整个数学自算术以至高等数学的研究方法问题。”[8]清华老师认为，要想“享受”数学这一人类创造的“成熟的文化”，就必须学会运用这一个一个的工具——数学教学的基本方法。应该说，运用于数学教学的基本方法是多种多样的，这里仅对清华老师数学教学方法中的直授法、归纳法和点拨法作些阐释。
第一，直授法。顾名思义，直授法是数学老师通过讲授、示范而直接授于学生学习数学的一种方法。清华老师认为，直授法的具体方式有两种：一种是开设数学教学法指导课集中直授，另一种是结合数学不同年级、不同班级的具体教学内容而分散直授。二者比较而言，后一种做法效果更好。实际上，数学教学的方法运用，如预习、上课、复习、作业等，直授法比较适合。数学老师可先直接讲授某些数学学习方法，然后要求学生照着去做。例如预习，就可以直授三种方法：（1）课前预习的方法。数学教师在讲课之前，学生要先预习下一节或二节的内容，在预习中学会理清教材教学体系的思路，抓住教材要点，提出学习疑点和难点，以便有的放矢地进行教学。（2）阶段预习方法。阶段预习，指预习一章、一个单元或几章、几个单元的内容，在预习中要学会快速阅读，抓住重点，弄清章节间的联系。（3）学期预习。即在开学前或假期预习新教材，要学会自读目录，快速浏览，大体把握教材的知识体系。在此，清华老师特别强调数学教学在运用直授法时，方法的概括要简明扼要，便于学生记忆，并要尽可能结合例题予以讲解；运用直授法以后，要在之后的数学教学中不断提醒学生运用，使之熟练巩固，直至成为习惯。
这一教学方法，徐特立也有类似论述。他说：“算术教授方法，先提出若干问题，而使为事实、关系之判断及计算，使之理会对于事实、关系之知识，与存于数之关系之理法，及关于计算之规则，更须使应用于实地之问题。故教授单元时，必须践五段形式，而与他教科不同者，在应用练习之时期特长耳。”[9]
第二，归纳法。归纳法是指学生在接触了较多的数学材料之后，数学教师引导学生从同类的若干个别中归纳出的一种数学教学方法。清华老师认为，归纳法与直授法的不同点在于：直授法是先直接教给学生某些方法，再将这些方法运用于实践之中；归纳法是先接触个别实例，再从中归纳出教学方法。在数学教学方法中，归纳法与直授法常常是结合着运用的。实际上，数学教师在教学中要求对基本概念的叙述清晰准确，对定理的证明简明易懂，但对难度较大的理论问题则不过分强调论证的严密性，有的仅给出结论而不加证明，对例题的讲述力求典型多样，难度上讲究层次分明，并注意解题方法的归纳，尤其注重基本运算能力的培养和相关理论的实际应用。 清华老师强调，数学教师例题、举例子，不能停留在引导学生理解个例的水平上，而要对个例进行归纳、抽象，让学生从理解个别实例上升到掌握一般方法。例如，数学教师在教根式化简时可出题示范：（1）；（2）；（3）。通过这三个例题的教学，数学教师可以从中归纳出根式化简的三个要素：一约、二提、三化，这三个要素即根式化简的基本方法。再如，在教二项乘法法则时，要通过个例教学，归纳出“前前、后后、里里、外外”的简化口诀。教三角函数的54个诱导公式时，要通过个例的教学，归纳出“奇变偶不变，符号看象限”的口诀。这些简明扼要的口诀的归纳，就是把握有关数学知识和技能的基本方法。让学生掌握这些基本方法，比掌握个例更为重要。
第三，点拨法。陶行知说：“不在做上用工夫，教固不成为教，学也不成为学。从广义的教学观看，先生与学生并没有严格的区别。实际上，如果破除成见，六十岁的老翁可以跟六岁的儿童学好些事情。会的教人，不会的跟人学，是我们不知不觉中天天有的现象。因此教学做是合一的。”[10]正是在“教、学、做”的过程中，点拨法才得以实施。清华老师认为，点拨法是指在数学教学过程中随机点拨学生而开展的教学方法。所谓“随机点拨”，是指这种点拨不一定是有计划的，不一定是事先安排好的，而是在数学教学过程偶然出现了需要点拨的教学方法的情境和需要时，数学教师才顺势进行点拨。正因为这一点拨法不一定是事先设计好的，不属于“规定动作”，所以一定要求数学教师具有爱生之心、要善于捕捉和抓住点拨时机，不至因“麻木不仁”产生视而不见。
基于此，清华老师特别强调，点拨法的科学有效运用，时机非常重要。指出：点拨法运用的最佳时机，是学生学习数学处于“愤”、“悱”之际，即处于想找到正确结论，但又苦于没有方法找到正确结论之时。此间运用点拨法，有如“好雨知时节”，必将产生“四两拨千斤”、“润物细无声”的良好效果。
参考文献：
[1]尚尔凡：《感受清华》，内蒙古文化出版社2009年第2版，第96页。
[2]武衡等主编：《徐特立文存》（第一卷），广东教育出版社1995年版，第177页。
[3]武衡等主编：《徐特立文存》（第一卷），广东教育出版社1995年版，第181页。
[4]武衡等主编：《徐特立文存》（第一卷），广东教育出版社1995年版，第328页。
[5]武衡等主编：《徐特立文存》（第四卷），广东教育出版社1995年版，第261页。
[6]陶行知：《中国教育改造》，东方出版社1996年版，第195页。
[7][德]格奥尔格·西美尔著，朱雁冰译：《叔本华与尼采》，上海人民出版社2009年版，第4页。
[8]武衡等主编：《徐特立文存》（第四卷），广东教育出版社1995年版，第238页。
[9]武衡等主编：《徐特立文存》（第一卷），广东教育出版社1995年版，第181页。
[10]陶行知：《中国教育改造》，东方出版社1996年版，第109页。
关键词：清华老师；数学教学；方法论
和徐特立、陶知行等现当代知名教育教学工作者一样，清华老师也是一代杰出的人民教育家、思想家。他从教44年期间，于繁重的校务管理之余，曾精心编写《教育学概论》、《各科教案》和《各科教学方法探析》等讲义，以丰富的教学经验和事例，新颖的内容、优美的书法和活泼生动的语言，呈现了他的教育教学思想和教学方法。在这里，仅从清华老师提出了解数学教学方法的重要性、阐述把握数学教学方法的要求和揭示运用于数学教学的基本方法等角度，来谈谈清华老师的数学教学方法论问题。
一、提出了解数学教学方法的重要性
清华老师认为，数学是一门研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科技和数学学科的发展，“数量关系”和“空间形式”有了越来越丰富的内涵和更加广泛的外延。这样，数学既是一种工具又是一种思维模式，既是一种知识又是一种素养，既是一门科学又是一种文化。然而，要真正深入到数学大厦的殿堂、领悟其中的奥秘和乐趣，又不是一件轻而易举的事，必须了解数学教学方法才有可能。因此，了解数学教学方法在培养高素质科技人才、管理干部中具有其独特的、不可替代的意义，正如清华老师说的：“认真对待学习中的每件事才是最好的学习态度，聪明与否并不重要。”[1]
第一，这是培养一代新人知识的需要。“计算者，实为利用厚生之源，物质开化之本。…算术者，使发达数之观念，而使知数之应用之法也。如此，算术一科其所以得占国民教育上重要之地位者，以其备两方面之陶冶故也。”[2]清华老师深谙此理，反复强调数学教学要面向未来培养人才，而时代在日新月异的发展，新知识的增长速度大大加快，如今的学生在学校里学得的知识可能只占人一生中所学知识的百分之十左右，其余百分之九十左右的知识要待走出校门以后自己去获取；他常以生物学家达尔文“最有价值的知识是关于方法的知识”和未来学家托夫勒在《第三次浪潮》中讲的话“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会学习的人”告诫学生。数学和哲学一样，是一切科学的两个基础。因此，他苦口婆心提出了解数学教学方法对学生成人成才的重要性。
第二，这是提高学生自觉能力的需要。清华老师常说，数学教师教学与工人做工、农民种田、科技人员发射卫星等等工作的不同点在于，数学教学属于“人——数——人”系统，是人与人在数学领域打交道。人与人、老师与学生，两个方面都要有主动性，两个方面都应协同努力、密切合作，才能把数学教学搞好。从学生能力提高的意义上来说，数学教学的根本任务就是充分调动学生数学学习能力，达到不教而学的目标。而学生的数学能力可以表现为两种水平：一种是复现水平，即对于数学老师讲解过的例题可以基于记忆或悟性而复现出来，甚至能举一反三，“闻一知多”；另一种是迁移水平，即学生的数学演算和解题能力不光表现在数学教师已经讲解过的内容方面，而且再现在从未接触过或听说过的内容方面。诚如徐特立所言：“问题者，以数表事实之关系者也。其课务得分之为二：（一）事实及事实之关系；（二）数及数之关系，是也。算术教授以使对于此二者得正当明了之观念，且使之计算成一种技能为要旨。”[3]
第三，这是发展学生各项基本素养的需要。素养，包括观察、记忆、想象、思维、理解等因素的涵养与修为。与之相对应，就有观察方法、记忆方法、想象方法、思维方法、理解方法等。在学生诸多基本素养之中，数学素养是最基本的素养之一。清华老师认为，让学生掌握某种基本素养，常常要经过较长时间的反复训练，它不象传授某种知识那样能够立竿见影。然而，一旦学生掌握好数学素养，就能为发展其他各项基本素养奠定基础，可以让学生终身受益。他常说，对于提高数学素养来讲，学好数学课程、了解数学教学方法是非常重要的。因为数学作为各门学科的基础课，它内容丰富、理论严谨，应用广泛、影响深远，数学素养的修成不仅为学生学习后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，而且在培养学生抽象思维、逻辑推理能力，综合利用所学知识分析问题解决问题的能力、较强的自主学习能力与创新意识和创新能力上，都具有非常重要的作用。
二、阐述把握数学教学方法的要求
“教授者，为达教育之目的，以一定之方案（课程、细目、教案）、矫正（自习之误点）、整理（整理错杂的知识使有系统）、授与知识技能于生徒也。”[4]所谓数学教学方法，是数学教师在数学教学过程中引导学生完成数学教学任务所采用的手段和方式的总称，它既包括数学老师教的活动方式、也包括学生在数学老师指导下的学习活动方式，是教的方法和学的方法的统一。要达到这种教学相长、共同提高的目标，清华老师认为除了解数学教学方法的重要性之外，还应把握数学教学方法的要求。
第一，整体安排，有机渗透。清华老师认为，数学教学方法的整体安排有三层意思：一是数学教学方法的实施要在学校统一领导下同步进行。这一数学教学方法的实施仅仅在一个班、一个年级里进行，收效往往甚微；在几个班和年级，或文、理、工各专业同时进行，则可以互相促进，形成整体优势。二是各专业、各年级要形成序列。如小学1-6年级、初中1-3年级、高中1-3年级要形成训练序列，循序渐进，逐步提高。三是数学教学方法各项具体内容要统一安排。文、理、工各专业各有侧重又互相联系，各个年级各有重点又螺旋式上升。
数学教学方法的要求，在注重整体安排的同时，也要注意有机渗透。清华老师指出，数学教学方法大体上有两种形式：一种是在数学教学过程中相机进行教学方法指导，另一种是开设专门的教学方法指导课。比较而言，前一种形式较受学生欢迎。但不管采用何种形式，都应将数学教学方法有机地渗透到数学教学的过程之中；离开具体的数学教学内容而大谈教学方法，结果往往适得其反。 第二，注重能力，因人而异。徐特立说：“数学解决什么问题达到什么目的？它是学以致用，是有始有终的。”[5]基于此，清华老师认为，数学教学方法的本质意义不在于让学生了解、记住多少数学学习方法，而在于提高学生的数学能力。他总结道：将数学教学方法的有关知识变成学生的数学能力，这需要一个转化、迁移的过程。学生把握数学学习方法，大体上有三级水平：第一级，识记；第二级，理解；第三级，自觉地、独立地运用。让全体学生达到第三级水平，才是数学教学方法要求的根本目的。清华老师还指出，将方法转化为解决问题的能力，一般需要经过“领悟-尝试-运用-小结-反复实践”这样几个环节。因而，要求数学教学方法的提高，不能操之过急，浅尝辄止。
数学教育方法的要求，在注重能力的同时，也要注重因人而异。陶行知说过：“民主的教育方法，要使学生自动，而且要启发学生使能自觉，要客观，要科学，不限于一种，要多种多样，因材施教，要生活与教育联系起来”[6]。清华老师认为，数学教育方法的要求既要有统一布置，又不能搞一刀切。因为每个学生在自己长时间的数学学习过程中，都会积累起一些适应于自己的好的学习方法，不宜过分干预。真正好的数学教师要善于发现学生中自己创造的一些好的方法，并且组织学生交流和适度推广。
第三，同步改革，及时总结。清华老师指出，数学教学方法的改革，涉及教师教法改革和学生的学法指导，是一个问题的两个方面。一般而言，掌握学法要以改革教法为前提，改革教法又要落脚在让学生把握学法上。若教法未改，学法指导也难以进行；学法不变，教法改革就抓不住关键。学法指导与教法改革两者之间，存在着互相制约、互相促进的关系。因而，数学教学必须在研究学法指导的同时，一定要同步研究教法的改革，尽量使之相互协调起来。
数学教学方法的要求，在抓好同步改革的同时，也要注意及时总结。清华老师喜欢用案例法教学，来说明及时总结的必要。他说，一位数学教师出示了如下列题让学生列方程式：“时速20公里的卡车由甲地驶往乙地，一个半小时后，一辆时速40公里的摩托车也由甲地驶往乙地，摩托车几小时可以追上卡车？”不久，便有几个学生列出方程式：40x=20*1.5+30x。 这位老师并未就此放手，而是由果溯因，要求学生说出列方程式的方法。学生经过思索，说出了以下几种方法：（1）排除法。这道题涉及到摩托车和卡车的行车速度、行车时间、行车距离。从题中可以看出，两车行走速度不等，可以排除；两车行走的时间不等，也可以排除。因而，选距离作为等量才是恰当的。（2）作图法。通过作图，使题中的等量形象化、明朗化。（3）公式法。利用距离等于速度乘时间的公式可列出方程式。学生的回答说明，不仅做题有方法，而且解一题常有多种方法，同伴的经验更有启发性。通过及时总结，全班同学均能从中受到深刻启发，数学教学方法的要求也得以达到。
三、揭示运用于数学教学的基本方法
“令人感到悖理的是，我们种属的一切较高的文化赖以存在的基础是，我们若与其增长相适应，便必须越来越漫长、越来越多停顿和曲折的道路，才能达到我们的目的。人达到的文明程度越高，他便越是走迂回曲折道路的生命。动物和未开化的人的意志所要求者，他们，一般而言，以所谓直接方式，通过简单抓取或少量简陋工具便可达到：手段和目的的结构可一览无余。高等生命不断增长的多环节性和复杂性不满足于单纯的三段序列：意愿-手段-目的，而是允许有中间环节，以便达到众多，在这众多之中原本有效的工具通过一个工具造成，而这个工具又通过另一个工具造成，最后形成我们实践活动的那种看不到边际的纠结，即链条品格，人在这一链条品格之内享受着成熟的文化。”[7]徐特立说：“我是研究各科方法的，研究整个数学自算术以至高等数学的研究方法问题。”[8]清华老师认为，要想“享受”数学这一人类创造的“成熟的文化”，就必须学会运用这一个一个的工具——数学教学的基本方法。应该说，运用于数学教学的基本方法是多种多样的，这里仅对清华老师数学教学方法中的直授法、归纳法和点拨法作些阐释。
第一，直授法。顾名思义，直授法是数学老师通过讲授、示范而直接授于学生学习数学的一种方法。清华老师认为，直授法的具体方式有两种：一种是开设数学教学法指导课集中直授，另一种是结合数学不同年级、不同班级的具体教学内容而分散直授。二者比较而言，后一种做法效果更好。实际上，数学教学的方法运用，如预习、上课、复习、作业等，直授法比较适合。数学老师可先直接讲授某些数学学习方法，然后要求学生照着去做。例如预习，就可以直授三种方法：（1）课前预习的方法。数学教师在讲课之前，学生要先预习下一节或二节的内容，在预习中学会理清教材教学体系的思路，抓住教材要点，提出学习疑点和难点，以便有的放矢地进行教学。（2）阶段预习方法。阶段预习，指预习一章、一个单元或几章、几个单元的内容，在预习中要学会快速阅读，抓住重点，弄清章节间的联系。（3）学期预习。即在开学前或假期预习新教材，要学会自读目录，快速浏览，大体把握教材的知识体系。在此，清华老师特别强调数学教学在运用直授法时，方法的概括要简明扼要，便于学生记忆，并要尽可能结合例题予以讲解；运用直授法以后，要在之后的数学教学中不断提醒学生运用，使之熟练巩固，直至成为习惯。
这一教学方法，徐特立也有类似论述。他说：“算术教授方法，先提出若干问题，而使为事实、关系之判断及计算，使之理会对于事实、关系之知识，与存于数之关系之理法，及关于计算之规则，更须使应用于实地之问题。故教授单元时，必须践五段形式，而与他教科不同者，在应用练习之时期特长耳。”[9]
第二，归纳法。归纳法是指学生在接触了较多的数学材料之后，数学教师引导学生从同类的若干个别中归纳出的一种数学教学方法。清华老师认为，归纳法与直授法的不同点在于：直授法是先直接教给学生某些方法，再将这些方法运用于实践之中；归纳法是先接触个别实例，再从中归纳出教学方法。在数学教学方法中，归纳法与直授法常常是结合着运用的。实际上，数学教师在教学中要求对基本概念的叙述清晰准确，对定理的证明简明易懂，但对难度较大的理论问题则不过分强调论证的严密性，有的仅给出结论而不加证明，对例题的讲述力求典型多样，难度上讲究层次分明，并注意解题方法的归纳，尤其注重基本运算能力的培养和相关理论的实际应用。 清华老师强调，数学教师例题、举例子，不能停留在引导学生理解个例的水平上，而要对个例进行归纳、抽象，让学生从理解个别实例上升到掌握一般方法。例如，数学教师在教根式化简时可出题示范：（1）；（2）；（3）。通过这三个例题的教学，数学教师可以从中归纳出根式化简的三个要素：一约、二提、三化，这三个要素即根式化简的基本方法。再如，在教二项乘法法则时，要通过个例教学，归纳出“前前、后后、里里、外外”的简化口诀。教三角函数的54个诱导公式时，要通过个例的教学，归纳出“奇变偶不变，符号看象限”的口诀。这些简明扼要的口诀的归纳，就是把握有关数学知识和技能的基本方法。让学生掌握这些基本方法，比掌握个例更为重要。
第三，点拨法。陶行知说：“不在做上用工夫，教固不成为教，学也不成为学。从广义的教学观看，先生与学生并没有严格的区别。实际上，如果破除成见，六十岁的老翁可以跟六岁的儿童学好些事情。会的教人，不会的跟人学，是我们不知不觉中天天有的现象。因此教学做是合一的。”[10]正是在“教、学、做”的过程中，点拨法才得以实施。清华老师认为，点拨法是指在数学教学过程中随机点拨学生而开展的教学方法。所谓“随机点拨”，是指这种点拨不一定是有计划的，不一定是事先安排好的，而是在数学教学过程偶然出现了需要点拨的教学方法的情境和需要时，数学教师才顺势进行点拨。正因为这一点拨法不一定是事先设计好的，不属于“规定动作”，所以一定要求数学教师具有爱生之心、要善于捕捉和抓住点拨时机，不至因“麻木不仁”产生视而不见。
基于此，清华老师特别强调，点拨法的科学有效运用，时机非常重要。指出：点拨法运用的最佳时机，是学生学习数学处于“愤”、“悱”之际，即处于想找到正确结论，但又苦于没有方法找到正确结论之时。此间运用点拨法，有如“好雨知时节”，必将产生“四两拨千斤”、“润物细无声”的良好效果。
参考文献：
[1]尚尔凡：《感受清华》，内蒙古文化出版社2009年第2版，第96页。
[2]武衡等主编：《徐特立文存》（第一卷），广东教育出版社1995年版，第177页。
[3]武衡等主编：《徐特立文存》（第一卷），广东教育出版社1995年版，第181页。
[4]武衡等主编：《徐特立文存》（第一卷），广东教育出版社1995年版，第328页。
[5]武衡等主编：《徐特立文存》（第四卷），广东教育出版社1995年版，第261页。
[6]陶行知：《中国教育改造》，东方出版社1996年版，第195页。
[7][德]格奥尔格·西美尔著，朱雁冰译：《叔本华与尼采》，上海人民出版社2009年版，第4页。
[8]武衡等主编：《徐特立文存》（第四卷），广东教育出版社1995年版，第238页。
[9]武衡等主编：《徐特立文存》（第一卷），广东教育出版社1995年版，第181页。
[10]陶行知：《中国教育改造》，东方出版社1996年版，第109页。