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摘要： 学前期和学龄初期是个体数学素养生成与发展的基础阶段，此时良好的数学学习儿童是未来学习的必要基础，能促进儿童认知发展。但是数学本身是一种具有方法论性質的科学，不注重培养孩子的数学意识和数学思维习惯、不引导孩子们去理解数字和加减背后的意义，而试图一味的通过练习来促成孩子们熟练的加减技巧是不可取的。
数木棍还是上楼梯，现在看似区别不大的两种数学启蒙方式，实则可能会将孩子们引向喜欢理解创新和乐于听话遵从两个完全不同的发展方向，而机械记忆的过度练习更容易挫伤孩子们的内在学习兴趣，因此小学初期的教师和家长不能不重视数学学科内在的的文化意义，并在此基础上选择适当的教学方法。
关键词：数学文化 数字阶梯 小学教育 启蒙教育
中图分类号：G623.5
一年级小学生入学已一月有余，孩子学校的数学教师在见面会上提出要家长们准备二十根小棍，以备进一步的数学加减法学习——这一要求当场震惊了许多人，一些家长小声嘀咕，二十以内或十以内加减我家孩子早就会了，根本没用过这东西，数小棍的方法也太落后了。
学习数学之初利用直观教具展示以利理解的确是必要的，很多家长初教孩子数数和计算十以内加减时也多是就近取材，用手指头或者其他的直观物体。一年级上册数学课本也有一些利用小棍、糖果做加减练习的例题，比如认识数字一时就在旁边画出一根木棒，或者一颗糖果；认识数字二时就在旁边画出两根木棒，或者两颗糖果；进行简单的加减时，则用两堆木棒分别代表两个数字，由教师或者家长指导孩子数出总数。但问题在于，这些都是在孩子们初始接触数学，还不能理解符号化的一二三四五是什么意义时使用的，而在大部分孩子都能理解数字的含义而只是运算还不够熟练时再依靠这些实物来学习计算，将数的关系具体成一堆木棍和另一堆木棍，岂不是会促使部分孩子计算稍大点的数时“手指不够数脚趾，脚趾不够哭鼻子”？
与这件事情类似的是，几周后时候这位数学老师又要求准备一包二加上三等于几、九减二等于几这样的口算卡，要求孩子们每天读两遍直至这个学期结束——笔者没有调查多少孩子按要求做了，反正笔者家孩子因为已经能比较熟练的口算百位数的加减，所以没买也没背过这些卡片。老师并未因此批评他，但孩子依然对数学课有意见，说“大部分同学都会了，老师还把那几道题说来说去，我们都觉得数学课没意思！”。
肯不厌其烦的对待落后一点的孩子，说明这是一位很负责任的老师。但是以如此单调的重复练习方式来对待不会或者不熟练的孩子，笔者认为并不是一种好办法。
数学是一门抽象的学科，而符号化和严谨的逻辑推理是数学抽象的关键。虽然小学只是入门阶段，但儿童学习数学的核心目的同样在于培养理性精神和严谨的思维方式。而且正因为是在启蒙阶段，孩子们的的抽象逻辑思维刚刚开始萌芽，整体认知从无序向有序发展，此时良好的数学学习是儿童未来数学素养生成与发展的基础。启蒙时期能不能够培养正确的数学思维能力和运用能力、养成良好的思维习惯，对儿童思维的敏捷性、灵活性、深刻性、独创性发展都有着不可忽视的影响，对儿童今后的整体发展具有重要意义[1]。因此，小学数学学习不仅要求孩子们掌握基本的计算技能，更要求培养孩子们的抽象思维、推理能力、创新意识等，以便为其未来生活、工作和学习奠定重要的基础[2]。
那么数小棍和背诵口算卡的方式有利于达到这个要求吗？数数使用的手指头或者木棍，实质类似于我国古代使用的算筹，并没有完全符号化，而且操作中强调的是牢记法则和操作熟练化，对儿童的思维发展尤其是数学思维的发展，并无多大的促进作用。背诵口算卡则只是对记忆速度和准确性的训练和推崇，往往导致很多孩子”知其然而不知其所以然“，出个单纯的计算题回答的很准很快，改变一下语境变成简单的应用题立刻一头雾水不知怎么办——这一点在很多小学生身上都不罕见。笔者家的小朋友幼儿园大班时已经能够和邻家的一年级小朋友搶答很多应用题，甚至有时可以为其解疑答难，但单纯的计算题尤其是较大数字的加减口算则明显速度落后，但经过一年的自然成长，现在他计算的速度和质量早已超出了一年级的教学要求，这也是数学老师在他并没有准备小棍和口算卡的情况下“网开一面”不予追究的原因。
但笔者家的小朋友在既往数学学习的过程中也并未使用过小木棍和口算卡一类的教具，简单的一加一、二加三等是在初步认识数字时用实物一边学数数一边加减慢慢理解掌握的；而认识和计算十以内、二十以内以内数字时笔者自制了如下图所示的、介于直观实物计算和完全符号化的竖式计算之间的数字阶梯。
数字阶梯的优点首先在于能够一目了然符号化的数字之间的关系。因为它实质上是一种数形结合思想的运用，通过“以形助数”来结合抽象的数字符号和形象的阶梯，可以直观的比较抽象化的数字的大小多少，使问题简单化。有些孩子数数能数到一百，却不知道十和十五谁大谁小，谁多谁少；更多的初学加减的孩子，数数七根木棍再数数八根木棍，点数好几遍才能分清哪个是七哪个是八，再排好队看半天才能确认哪个多哪个少。而通过数字阶梯来认识数，在学数数的同时很容易就能够理解数字所代表的的大小多少，不用颠来倒去的折腾，兼具直观与符号化的优势。
同样的，数字阶梯也很便于用于理解相邻数、偶奇数等数学概念。楼上楼下谁和谁是邻居，谁住双数层谁住单数层这种比喻很容易让五至六岁孩子理解这些数学概念，甚至负数的概念通过数字阶梯也可以提前引入，五至六岁儿童可以很轻松的理解掌握。
数字阶梯最大的的优势显示在二十左右的加减法中。在数字一至五的加减计算中，数阶的优点尚不明显。因为总和小，直观的几颗糖或木棒数起来并不需要多长时间，而且这个阶段实物更便于他们的理解。但在进入数字十左右的认识尤其是二十左右的认识和加减学习时，数字阶梯对数字之间关系的显示更加直观简洁，也更符合数学本身的逻辑思想。譬如九加三，用一般教材上显示的数数法，很多孩子要从一开始一直数到十二，而用数字阶梯，我们可以引导孩子直接从九往上数三个数，看到的就是十二；再比如十三减五，用原来的数数法，很多孩子要从十三根棍子中取出五根，再数出剩下的数量，不仅需要的时间长，还因要数的数量多容易出错，而运用数字阶梯，只需要从十三往下数五个，就可以确定得数为八。在这个过程中，运用数字阶梯进行计算的优点不仅在于计算结果的正确性与计算的快捷性，更重要的是数木棍是一种直观情境学习，类似于最原始的算筹运用。而数字阶梯则已进入符号化和逻辑推理阶段，是数学思想的启蒙运用，这对于儿童个体的思维能力发展是一种质的促进，对其今后的发展有着难以预期的积极作用[3]。 数字阶梯和算盘在构造排列上有一定的相似度，但不同的是算盘仍然选择了以实物代表数字，不僅数数时仍需直观物体到符号化之间转换，加减计算时同样不如数形结合紧密的的数字阶梯更明了，更能解释数字间的逻辑关系。而且数字阶梯的运用只是为了便于理解数的关系，作为数数计算与列竖式计算之间的一个过渡阶段，在儿童进入竖式计算学习之后就可以放弃了，因为竖式计算更为明确的揭示了数字之间的十进制关系，并且已经进入完全的符号化。而算盘的使用则容易使部分教育者再次陷入过于强调口诀记忆和技能程序化的泥潭。
口算卡的诵读则属于单纯的记忆练习问题。首先没有结合对数字和加减法实际代表意义的深入理解，单纯的要求诵读实质上就是一种机械记忆而非有意义的学习，练习效果很难持续提高和突破。从要求准备口算卡到目前已有一个多月，每日诵读的任务还没有叫停，这就从侧面证實实际收效并没有达到熟练或者比较熟练的预期要求，因此很难排除这些每日诵读的孩子并不真正理解数字符号和加减口诀意义的可能。
其次，如果孩子确实理解了数字本身和加减所代表的内在含义后，正常的课堂练习已基本可以满足孩子们的练习需要，稍微落后一点的孩子也完全可以通过少量渐进的练习来促进记忆。尤其是如果孩子能够正确回答或判别情境问题里的数量关系，那么偶尔的计算错误、不熟练是完全可以容忍的。因为孩子从理解到表现出完全掌握会有一个延迟反应的过程，随着时间的推进、练习次数的逐步累积会逐步好转，完全没有必要要求孩子们一再练习诵读甚至要求倒背如流。这不仅不再是高效的、有效的学习，而且还会挫伤孩子们的内在学习兴趣，使有趣的数学学习变成一种枯燥的折磨。
作为人类科学技术进步的基础，数学是一种具有方法论性质的科学，数学学习的核心不在于养成熟练的演算技巧，而是养成数学意识和数学思维习惯。学前期和学龄初期是个体数学素养生成与发展的基础阶段，此时看似区别不大的数学启蒙方式，实则影响内隐而长效，可能会将孩子们引向完全不同的发展方向。一个人较长一段时期内甚至一生是以熟练、快捷、准确的记忆水平而自豪，还是以具备理性精神，拥有发现问题、理解问题、解决问题的创新能力而自豪；是以完美的遵循前人固有的规则、服从权威为荣还是乐于探索、以寻求真理为乐[4]，往往在这一时期已经形成隐形的框架，以认知结构的方式关键性的影响此后的学习。
“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”，如此沉重的问题自然不能归咎与小小木棍和口算卡，然而管中窥豹，部分教师和家长僵化的思维和落后的教法，确实在很多时候成了孩子们发展的禁锢。起点差之毫厘，终点去之千里。是以入学之初，教师和家长更应该既了解孩子们的真实发展水平，又理解数学学科的文化意义，并在此基础上选择适当的教学方法，见微知著、防患于未然。
参考文献：
[1]王宪昌，刘银萍. 也谈数学文化与数学教育的关系——兼与张楚廷先生、黄秦安先生商榷[J]. 数学教育学报，2002，03：36-39.
[2]义务教育数学课程标准（2011年版）.[EB/OL].http：//www.pep.com.cn/xxsx/jszx/xskcbj/.2012，02，21 .
[3]郝连明，刘鹏飞，徐乃楠. 中西方数学价值观差异及其影响——兼论中国古代筹算衰退的原因[J]. 吉林师范大学学报（自然科学版），2013，02：154-156.
[4]孙芬，詹紫浪. 数学启蒙教育对数学思维发展的影响[J]. 数学教学研究，2010，05：49-50+59.
作者信息：寇文青.（1975），女，（汉），籍贯河南濮阳，助理馆员，教育学硕士，研究方向：教育社会学
数木棍还是上楼梯，现在看似区别不大的两种数学启蒙方式，实则可能会将孩子们引向喜欢理解创新和乐于听话遵从两个完全不同的发展方向，而机械记忆的过度练习更容易挫伤孩子们的内在学习兴趣，因此小学初期的教师和家长不能不重视数学学科内在的的文化意义，并在此基础上选择适当的教学方法。
关键词：数学文化 数字阶梯 小学教育 启蒙教育
中图分类号：G623.5
一年级小学生入学已一月有余，孩子学校的数学教师在见面会上提出要家长们准备二十根小棍，以备进一步的数学加减法学习——这一要求当场震惊了许多人，一些家长小声嘀咕，二十以内或十以内加减我家孩子早就会了，根本没用过这东西，数小棍的方法也太落后了。
学习数学之初利用直观教具展示以利理解的确是必要的，很多家长初教孩子数数和计算十以内加减时也多是就近取材，用手指头或者其他的直观物体。一年级上册数学课本也有一些利用小棍、糖果做加减练习的例题，比如认识数字一时就在旁边画出一根木棒，或者一颗糖果；认识数字二时就在旁边画出两根木棒，或者两颗糖果；进行简单的加减时，则用两堆木棒分别代表两个数字，由教师或者家长指导孩子数出总数。但问题在于，这些都是在孩子们初始接触数学，还不能理解符号化的一二三四五是什么意义时使用的，而在大部分孩子都能理解数字的含义而只是运算还不够熟练时再依靠这些实物来学习计算，将数的关系具体成一堆木棍和另一堆木棍，岂不是会促使部分孩子计算稍大点的数时“手指不够数脚趾，脚趾不够哭鼻子”？
与这件事情类似的是，几周后时候这位数学老师又要求准备一包二加上三等于几、九减二等于几这样的口算卡，要求孩子们每天读两遍直至这个学期结束——笔者没有调查多少孩子按要求做了，反正笔者家孩子因为已经能比较熟练的口算百位数的加减，所以没买也没背过这些卡片。老师并未因此批评他，但孩子依然对数学课有意见，说“大部分同学都会了，老师还把那几道题说来说去，我们都觉得数学课没意思！”。
肯不厌其烦的对待落后一点的孩子，说明这是一位很负责任的老师。但是以如此单调的重复练习方式来对待不会或者不熟练的孩子，笔者认为并不是一种好办法。
数学是一门抽象的学科，而符号化和严谨的逻辑推理是数学抽象的关键。虽然小学只是入门阶段，但儿童学习数学的核心目的同样在于培养理性精神和严谨的思维方式。而且正因为是在启蒙阶段，孩子们的的抽象逻辑思维刚刚开始萌芽，整体认知从无序向有序发展，此时良好的数学学习是儿童未来数学素养生成与发展的基础。启蒙时期能不能够培养正确的数学思维能力和运用能力、养成良好的思维习惯，对儿童思维的敏捷性、灵活性、深刻性、独创性发展都有着不可忽视的影响，对儿童今后的整体发展具有重要意义[1]。因此，小学数学学习不仅要求孩子们掌握基本的计算技能，更要求培养孩子们的抽象思维、推理能力、创新意识等，以便为其未来生活、工作和学习奠定重要的基础[2]。
那么数小棍和背诵口算卡的方式有利于达到这个要求吗？数数使用的手指头或者木棍，实质类似于我国古代使用的算筹，并没有完全符号化，而且操作中强调的是牢记法则和操作熟练化，对儿童的思维发展尤其是数学思维的发展，并无多大的促进作用。背诵口算卡则只是对记忆速度和准确性的训练和推崇，往往导致很多孩子”知其然而不知其所以然“，出个单纯的计算题回答的很准很快，改变一下语境变成简单的应用题立刻一头雾水不知怎么办——这一点在很多小学生身上都不罕见。笔者家的小朋友幼儿园大班时已经能够和邻家的一年级小朋友搶答很多应用题，甚至有时可以为其解疑答难，但单纯的计算题尤其是较大数字的加减口算则明显速度落后，但经过一年的自然成长，现在他计算的速度和质量早已超出了一年级的教学要求，这也是数学老师在他并没有准备小棍和口算卡的情况下“网开一面”不予追究的原因。
但笔者家的小朋友在既往数学学习的过程中也并未使用过小木棍和口算卡一类的教具，简单的一加一、二加三等是在初步认识数字时用实物一边学数数一边加减慢慢理解掌握的；而认识和计算十以内、二十以内以内数字时笔者自制了如下图所示的、介于直观实物计算和完全符号化的竖式计算之间的数字阶梯。
数字阶梯的优点首先在于能够一目了然符号化的数字之间的关系。因为它实质上是一种数形结合思想的运用，通过“以形助数”来结合抽象的数字符号和形象的阶梯，可以直观的比较抽象化的数字的大小多少，使问题简单化。有些孩子数数能数到一百，却不知道十和十五谁大谁小，谁多谁少；更多的初学加减的孩子，数数七根木棍再数数八根木棍，点数好几遍才能分清哪个是七哪个是八，再排好队看半天才能确认哪个多哪个少。而通过数字阶梯来认识数，在学数数的同时很容易就能够理解数字所代表的的大小多少，不用颠来倒去的折腾，兼具直观与符号化的优势。
同样的，数字阶梯也很便于用于理解相邻数、偶奇数等数学概念。楼上楼下谁和谁是邻居，谁住双数层谁住单数层这种比喻很容易让五至六岁孩子理解这些数学概念，甚至负数的概念通过数字阶梯也可以提前引入，五至六岁儿童可以很轻松的理解掌握。
数字阶梯最大的的优势显示在二十左右的加减法中。在数字一至五的加减计算中，数阶的优点尚不明显。因为总和小，直观的几颗糖或木棒数起来并不需要多长时间，而且这个阶段实物更便于他们的理解。但在进入数字十左右的认识尤其是二十左右的认识和加减学习时，数字阶梯对数字之间关系的显示更加直观简洁，也更符合数学本身的逻辑思想。譬如九加三，用一般教材上显示的数数法，很多孩子要从一开始一直数到十二，而用数字阶梯，我们可以引导孩子直接从九往上数三个数，看到的就是十二；再比如十三减五，用原来的数数法，很多孩子要从十三根棍子中取出五根，再数出剩下的数量，不仅需要的时间长，还因要数的数量多容易出错，而运用数字阶梯，只需要从十三往下数五个，就可以确定得数为八。在这个过程中，运用数字阶梯进行计算的优点不仅在于计算结果的正确性与计算的快捷性，更重要的是数木棍是一种直观情境学习，类似于最原始的算筹运用。而数字阶梯则已进入符号化和逻辑推理阶段，是数学思想的启蒙运用，这对于儿童个体的思维能力发展是一种质的促进，对其今后的发展有着难以预期的积极作用[3]。 数字阶梯和算盘在构造排列上有一定的相似度，但不同的是算盘仍然选择了以实物代表数字，不僅数数时仍需直观物体到符号化之间转换，加减计算时同样不如数形结合紧密的的数字阶梯更明了，更能解释数字间的逻辑关系。而且数字阶梯的运用只是为了便于理解数的关系，作为数数计算与列竖式计算之间的一个过渡阶段，在儿童进入竖式计算学习之后就可以放弃了，因为竖式计算更为明确的揭示了数字之间的十进制关系，并且已经进入完全的符号化。而算盘的使用则容易使部分教育者再次陷入过于强调口诀记忆和技能程序化的泥潭。
口算卡的诵读则属于单纯的记忆练习问题。首先没有结合对数字和加减法实际代表意义的深入理解，单纯的要求诵读实质上就是一种机械记忆而非有意义的学习，练习效果很难持续提高和突破。从要求准备口算卡到目前已有一个多月，每日诵读的任务还没有叫停，这就从侧面证實实际收效并没有达到熟练或者比较熟练的预期要求，因此很难排除这些每日诵读的孩子并不真正理解数字符号和加减口诀意义的可能。
其次，如果孩子确实理解了数字本身和加减所代表的内在含义后，正常的课堂练习已基本可以满足孩子们的练习需要，稍微落后一点的孩子也完全可以通过少量渐进的练习来促进记忆。尤其是如果孩子能够正确回答或判别情境问题里的数量关系，那么偶尔的计算错误、不熟练是完全可以容忍的。因为孩子从理解到表现出完全掌握会有一个延迟反应的过程，随着时间的推进、练习次数的逐步累积会逐步好转，完全没有必要要求孩子们一再练习诵读甚至要求倒背如流。这不仅不再是高效的、有效的学习，而且还会挫伤孩子们的内在学习兴趣，使有趣的数学学习变成一种枯燥的折磨。
作为人类科学技术进步的基础，数学是一种具有方法论性质的科学，数学学习的核心不在于养成熟练的演算技巧，而是养成数学意识和数学思维习惯。学前期和学龄初期是个体数学素养生成与发展的基础阶段，此时看似区别不大的数学启蒙方式，实则影响内隐而长效，可能会将孩子们引向完全不同的发展方向。一个人较长一段时期内甚至一生是以熟练、快捷、准确的记忆水平而自豪，还是以具备理性精神，拥有发现问题、理解问题、解决问题的创新能力而自豪；是以完美的遵循前人固有的规则、服从权威为荣还是乐于探索、以寻求真理为乐[4]，往往在这一时期已经形成隐形的框架，以认知结构的方式关键性的影响此后的学习。
“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”，如此沉重的问题自然不能归咎与小小木棍和口算卡，然而管中窥豹，部分教师和家长僵化的思维和落后的教法，确实在很多时候成了孩子们发展的禁锢。起点差之毫厘，终点去之千里。是以入学之初，教师和家长更应该既了解孩子们的真实发展水平，又理解数学学科的文化意义，并在此基础上选择适当的教学方法，见微知著、防患于未然。
参考文献：
[1]王宪昌，刘银萍. 也谈数学文化与数学教育的关系——兼与张楚廷先生、黄秦安先生商榷[J]. 数学教育学报，2002，03：36-39.
[2]义务教育数学课程标准（2011年版）.[EB/OL].http：//www.pep.com.cn/xxsx/jszx/xskcbj/.2012，02，21 .
[3]郝连明，刘鹏飞，徐乃楠. 中西方数学价值观差异及其影响——兼论中国古代筹算衰退的原因[J]. 吉林师范大学学报（自然科学版），2013，02：154-156.
[4]孙芬，詹紫浪. 数学启蒙教育对数学思维发展的影响[J]. 数学教学研究，2010，05：49-50+59.
作者信息：寇文青.（1975），女，（汉），籍贯河南濮阳，助理馆员，教育学硕士，研究方向：教育社会学