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摘要现代学习的认知理论认为,数学学习的过程实际上是学生的数学认知结构建立、扩大或重新组织的过程。数学教学的根本任务就是造就学生良好的数学认知结构。本文就数学认知结构的含义、特征以及如何建构良好的认知结构进行论述。
关键词数学认知结构 建构 策略
中图分类号:O119文献标识码:A
现代学习的认知理论认为,数学学习的过程实际上是学生的数学认知结构建立、扩大或重新组织的过程。数学教学的根本任务就是造就学生良好的数学认知结构,为后继学习提供保障,最终提高学生的问题解决能力,使学生得到全面发展。本文就数学认知结构的含义、特点以及如何建构良好的认知结构进行论述。
1 数学认知结构的含义
关于认知结构的含义,国内外有不同的观点。美国认知心理学家奥苏伯尔认为,认知结构就是学生头脑里的知识结构,即知识结构通过内化在学习者头脑中形成的观念的内容和组织。数学认知结构是人们在对数学对象、数学知识和数学经验感知与理解的基础上形成的一种心理结构。我国曹才翰教授等曾明确指出:“所谓数学认知结构,就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度,结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构。”①可见数学认知结构是指学生在数学学习中对数学概念的网络化联系、数学命题之间的关系、数学技能以及数学命题的应用条件系统以及数学思想、方法与学生的原有认知结构相互作用形成的一种具有主观能动性和开放性的、立体多层次的整体知识结构。
2 数学认知结构与数学知识结构
数学认知结构与数学知识结构有着密切联系,而且二者的联系已经引起了人们的广泛注意。但是,学生头脑中的认知结构与教材中所安排的知识结构是有差异的。
2.1 信息表征方式不同
教材中的数学知识主要以语言文字、符号、图形等方式详细表达,而头脑中的信息主要是以语义的方式简约表征的,多以直觉的方式储存。正如布鲁纳所说,“详细的资料是靠简化的表达方式保存在记忆里的。”可见,认知结构已经将知识表征和个人智力活动方式融为一体,是二者的有机统一和结合。
2.2 信息的构造方式不同
教材中的数学知识前后是有一定的顺序性和逻辑性,而学生头脑中的知识的顺序性淡化了,以其他的方式构造起来。如有人主张知识在头脑中的构造应该是网络结构。而且由于人们对数学知识的理解、感知、选择和组织的差异,使得信息在头脑中的构造方式也因人而异。例如,研究表明,专家倾向依据高级原则来组织他们的知识,而新手则依据表面特征以零散的孤立的方式储存知识(Chase,Simon,1973年)。②所以对同样的数学知识往往形成不同的认知结构和解决问题的方法。
2.3 知识的完备性不同
教材中的数学知识是完备的、没有缺口的。而头脑中的认知结构是通过人们加工过留在头脑中的,是有缺口的。也就是说,即使是书上写过的,老师讲过的知识,头脑中不一定能完整的领会和掌握,在运用时不一定能达到熟练程度,也不一定能顺利的完成迁移。这就要求帮助学生形成完备的认知结构,以利于学生对知识的理解和运用。综上可以看出,数学知识结构只有通过主体的的内化,发挥学生的主观能动性才能转变为学生的数学认知结构。在这个过程中既要注意二者的联系,更要注意二者的区别。
3 良好的数学认知结构的特征
学生学习书本知识的目的不是机械地记住孤立的知识项目,而是有效的形成组织良好的认知结构。③良好的认知结构有哪些特征呢?根据奥苏伯尔的观点,良好的认知结构应有以下三个特征:(1)可利用性——当学生学习新的数学知识时,他原有的认知结构中具有可以同化新知识的固定点,也就是说他认知结构中应该有来同化新知识的较一般的、概括的、包容广的观念。认知结构中已有的有关知识的概括性越高,包容范围越大,迁移的价值越大,越有助于学习新的知识。(2)可辨别性——当原有的认知结构同化新的数学知识时,新旧知识的异同点可以清晰地被辨别。两者可分辨度越高,则越有助于实现正迁移、避免干扰,从而有助于学习新知识。(3)稳定性——认知结构中起固定作用的观念是牢固稳定的。巩固程度越高,越有助于新知识的学习。④这些主要是侧重于概念原理方面。何小亚则从数学解题的角度提出了良好的认知结构应具有以下四个特征:(1)足够多的观念;(2)足够稳定而又灵活的产生式;(3)层次分明的观念网络结构;(4)一定的问题解决的策略的观念。⑤
4 建构良好认知结构的策略
良好的认知结构有利于学生知识的合理表征和贮存,有利于知识的迁移,促进学习者加深对数学的理解和灵活应用数学知识,有利于发展数学能力。我国古代就有“以其所知,喻其不知,使其知之”的说法。为此要按照良好认知结构的特征来培养学生具有良好的数学认知结构。下面将从教材、教师、学生三方面提出一些建构良好数学认知结构的策略。
4.1教师方面
4.1.1 深入了解学生原有的数学认知结构
古语云:“知己知彼,百战不殆。”教学也不例外,教学中的一个重要的出发点是学生已经知道了什么,正如心理学家奥苏伯尔所说:“影响学习的唯一最重要因素就是学习者已知了什么。并因此进行教学。”深入了解学生原有的数学认知结构,是建构良好数学认知结构的基础。教师只有明确学生原有认知结构中是否具有足够多的学习新知识所需的相关概念后,才能切实把握教学的起点,进行针对性教学。如在“三角函数性质”的教学中,教师可先了解学生是否切实掌握了函数的有关性质,即函数定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等相关知识。了解学生头脑中原有的认知结构是否具有同化“三角函数性质”的相应的知识。经过了解,对于原有认知结构中缺少的有关概念加以补充,那些模糊的和遗忘的概念加以区别或增加其稳定性。这里可采用奥苏伯尔所提倡的“先行组织者”的策略。一方面激活认知结构中已具备的观念,另一方面增加新材料与认知结构中那些类似概念之间的可辨性。
4.1.2 根据知识分类采取适当方式进行教学
由于数学知识可以分为陈述性知识,程序性知识和过程性知识等三类。⑥根据不同类型的知识,教师以不同教学方式为学生提供数学知识结构,从而有利于学生将其内化为良好的数学认知结构。例如,在学习陈述性知识时就应该帮助学生形成命题网络表征,它是“层次网络结构”与“激活扩散结构”的复合。这样可将分散于各单元中的知识沟通起来,引导学生把握知识的整体,领悟其中的规律和实质,更重要的是掌握知识的来龙去脉。对于程序性知识可帮助学生建立双向产生式,即学生不仅仅知道一条“如果……那么……”规则,还应该知道在什么时候使用这条规则。之后再将这些产生式合理组织,可以在解决问题时快速提取。教师要根据数学知识的差别,学生的心理变化,灵活地处理优化教学内容的结构,促进良好认知结构的形成。
4.1.3 加强思想方法的教学
数学教学的目的是使学生能把习得的内容迁移到新情境中。数学的概念、原理是正确的思想、方法的载体,数学的思想方法是隐含在数学概念、原理之中。知识越具体,应用的范围越狭窄,只能用于非常具体的情境,也容易遗忘;概括性越高,其应用范围越广,可应用于任何情境中的类似问题,也有利于保持。而数学思想方法是数学的一般性原理,它有高度的概括性,有助于学习的迁移。因此,要发展学生良好的数学认知结构,就必须加强数学思想方法的教学。教师在课堂教学中为学生安排恰当的教学情境,以暴露数学思维活动的真实过程,使学生切实体验到数学思想、方法的意义和作用是非常重要的。教师应当努力把知识教學提高到思想、方法教学的层次水平上,要针对具体内容研究设置教学情境的方法,以展示数学知识的发生发展过程,反映数学知识之间在数学思想方法上的继承性和发展性,为学生提供一个包含数学思想、方法的数学知识结构体系,以利于学生建立起完整的数学认知结构。
4.2 学生方面
教师为学生构建良好的认知结构只能提供外部条件,关键还是要靠学习者自身,学生是建立良好的认知结构的主体。
4.2.1 在总结中建构良好的认知结构
学生掌握的知识只有做到条件化、结构化、自动化、策略化,才有利于解决问题。尤其是对概念、命题的掌握,知识在头脑中无条理地堆积的话,那么知识越多,越不利于问题的解决。正像乌申斯基所指出的那样:“不可迷恋于没有系统的各种事实,塞满了零碎的、无联系的知识的头脑就像里面一切都摆得毫无秩序的一个仓库,在这里连主人自己也什么东西都找不到。”这就要求学生对学习的知识进行总结,将其组织、抽象、概括、归类等。虽说前面提到了教师在建立知识结构时的作用,但是只有学生积极主动地建构才能起到真正的效果。例如,在学完平行四边形的判定之后,学生要对这些知识进行总结,回忆讲了一些什么定理,它们之间有什么联系,有些什么方法。并且将它们的结构总结出来,最后与老师的总结对比,看看哪些地方不足,哪些地方可取,也可与同学交流共同提高。最好将知识用CPFS结构表征,⑦从不同角度考察知识,可以从章节角度总结,也可以从功能、作用方面重新构造知识。形成不同的概念域,最终形成概念系,并且搞清各结点的逻辑意义和联系。将数学知识进行整合,形成一种数学特有的认知结构。这一切的获得都要学生发挥主观能动性,不断地实践才能达到。
4.2.2 在反思中建构良好的认知结构
数学学习是具体性较差与现实有一定距离的活动,自我意识的作用更加突出,更需要对数学学习加强自我反思。而现实中,学生往往以获得正确答案为满足,不对解题过程进行反思,不对解题经验教训进行反思,不对解题方法进行反思。这样导致了学生数学学习效率低,学习技能弱,学习效果差。学生学习时,要善于剖析自己发现和解决问题的过程;学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧,它们的合理性如何,效果如何,有没有更好的方法;学习中走过了哪些弯路,犯过了哪些错误,原因何在。只有在学习的过程中不断的反思,才能促进良好认知结构的培养。学生如果在得到结论后对思路进行反思,探讨成功的经验或失败的教训,那么思维可在更高层次上进行概括,将数学理论上升到理性水平。在反思的过程中,学生的思维朝者着开放、灵活、精明、新颖的方向发展,在对问题的不断深化中提高自己的概括能力。反思是对自身的思维过程、思维结果进行再认识和检验的过程,在反思的过程中整个认知结构得到重构和完善。
总之,建构起良好的数学认知结构是我们的目标,在这个过程中,需要师生的共同努力,希望以上的策略能对建立良好的数学认知结构有所帮助。
注释
①曹才翰,蔡金法.数学教育学概论[M].南京:江苏教育出版社,1989:52.
②张庆林.当代认知心理学在教学中的应用[M].重庆:西南师范大学出版社,1995:56.
③皮连生.教育心理学(第三版)[M].上海:上海教育出版社,2004:106.
④[美]奥苏伯尔等.教育心理学[M].佘星南,宋钧,译.北京:人民教育出版社,1994:202-222.
⑤何小亚.建构良好的数学认知结构的教学策略[J]数学教育学报,2002.11(1):24-26.
⑥⑦喻平.數学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社,2004:65-74.
关键词数学认知结构 建构 策略
中图分类号:O119文献标识码:A
现代学习的认知理论认为,数学学习的过程实际上是学生的数学认知结构建立、扩大或重新组织的过程。数学教学的根本任务就是造就学生良好的数学认知结构,为后继学习提供保障,最终提高学生的问题解决能力,使学生得到全面发展。本文就数学认知结构的含义、特点以及如何建构良好的认知结构进行论述。
1 数学认知结构的含义
关于认知结构的含义,国内外有不同的观点。美国认知心理学家奥苏伯尔认为,认知结构就是学生头脑里的知识结构,即知识结构通过内化在学习者头脑中形成的观念的内容和组织。数学认知结构是人们在对数学对象、数学知识和数学经验感知与理解的基础上形成的一种心理结构。我国曹才翰教授等曾明确指出:“所谓数学认知结构,就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度,结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构。”①可见数学认知结构是指学生在数学学习中对数学概念的网络化联系、数学命题之间的关系、数学技能以及数学命题的应用条件系统以及数学思想、方法与学生的原有认知结构相互作用形成的一种具有主观能动性和开放性的、立体多层次的整体知识结构。
2 数学认知结构与数学知识结构
数学认知结构与数学知识结构有着密切联系,而且二者的联系已经引起了人们的广泛注意。但是,学生头脑中的认知结构与教材中所安排的知识结构是有差异的。
2.1 信息表征方式不同
教材中的数学知识主要以语言文字、符号、图形等方式详细表达,而头脑中的信息主要是以语义的方式简约表征的,多以直觉的方式储存。正如布鲁纳所说,“详细的资料是靠简化的表达方式保存在记忆里的。”可见,认知结构已经将知识表征和个人智力活动方式融为一体,是二者的有机统一和结合。
2.2 信息的构造方式不同
教材中的数学知识前后是有一定的顺序性和逻辑性,而学生头脑中的知识的顺序性淡化了,以其他的方式构造起来。如有人主张知识在头脑中的构造应该是网络结构。而且由于人们对数学知识的理解、感知、选择和组织的差异,使得信息在头脑中的构造方式也因人而异。例如,研究表明,专家倾向依据高级原则来组织他们的知识,而新手则依据表面特征以零散的孤立的方式储存知识(Chase,Simon,1973年)。②所以对同样的数学知识往往形成不同的认知结构和解决问题的方法。
2.3 知识的完备性不同
教材中的数学知识是完备的、没有缺口的。而头脑中的认知结构是通过人们加工过留在头脑中的,是有缺口的。也就是说,即使是书上写过的,老师讲过的知识,头脑中不一定能完整的领会和掌握,在运用时不一定能达到熟练程度,也不一定能顺利的完成迁移。这就要求帮助学生形成完备的认知结构,以利于学生对知识的理解和运用。综上可以看出,数学知识结构只有通过主体的的内化,发挥学生的主观能动性才能转变为学生的数学认知结构。在这个过程中既要注意二者的联系,更要注意二者的区别。
3 良好的数学认知结构的特征
学生学习书本知识的目的不是机械地记住孤立的知识项目,而是有效的形成组织良好的认知结构。③良好的认知结构有哪些特征呢?根据奥苏伯尔的观点,良好的认知结构应有以下三个特征:(1)可利用性——当学生学习新的数学知识时,他原有的认知结构中具有可以同化新知识的固定点,也就是说他认知结构中应该有来同化新知识的较一般的、概括的、包容广的观念。认知结构中已有的有关知识的概括性越高,包容范围越大,迁移的价值越大,越有助于学习新的知识。(2)可辨别性——当原有的认知结构同化新的数学知识时,新旧知识的异同点可以清晰地被辨别。两者可分辨度越高,则越有助于实现正迁移、避免干扰,从而有助于学习新知识。(3)稳定性——认知结构中起固定作用的观念是牢固稳定的。巩固程度越高,越有助于新知识的学习。④这些主要是侧重于概念原理方面。何小亚则从数学解题的角度提出了良好的认知结构应具有以下四个特征:(1)足够多的观念;(2)足够稳定而又灵活的产生式;(3)层次分明的观念网络结构;(4)一定的问题解决的策略的观念。⑤
4 建构良好认知结构的策略
良好的认知结构有利于学生知识的合理表征和贮存,有利于知识的迁移,促进学习者加深对数学的理解和灵活应用数学知识,有利于发展数学能力。我国古代就有“以其所知,喻其不知,使其知之”的说法。为此要按照良好认知结构的特征来培养学生具有良好的数学认知结构。下面将从教材、教师、学生三方面提出一些建构良好数学认知结构的策略。
4.1教师方面
4.1.1 深入了解学生原有的数学认知结构
古语云:“知己知彼,百战不殆。”教学也不例外,教学中的一个重要的出发点是学生已经知道了什么,正如心理学家奥苏伯尔所说:“影响学习的唯一最重要因素就是学习者已知了什么。并因此进行教学。”深入了解学生原有的数学认知结构,是建构良好数学认知结构的基础。教师只有明确学生原有认知结构中是否具有足够多的学习新知识所需的相关概念后,才能切实把握教学的起点,进行针对性教学。如在“三角函数性质”的教学中,教师可先了解学生是否切实掌握了函数的有关性质,即函数定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等相关知识。了解学生头脑中原有的认知结构是否具有同化“三角函数性质”的相应的知识。经过了解,对于原有认知结构中缺少的有关概念加以补充,那些模糊的和遗忘的概念加以区别或增加其稳定性。这里可采用奥苏伯尔所提倡的“先行组织者”的策略。一方面激活认知结构中已具备的观念,另一方面增加新材料与认知结构中那些类似概念之间的可辨性。
4.1.2 根据知识分类采取适当方式进行教学
由于数学知识可以分为陈述性知识,程序性知识和过程性知识等三类。⑥根据不同类型的知识,教师以不同教学方式为学生提供数学知识结构,从而有利于学生将其内化为良好的数学认知结构。例如,在学习陈述性知识时就应该帮助学生形成命题网络表征,它是“层次网络结构”与“激活扩散结构”的复合。这样可将分散于各单元中的知识沟通起来,引导学生把握知识的整体,领悟其中的规律和实质,更重要的是掌握知识的来龙去脉。对于程序性知识可帮助学生建立双向产生式,即学生不仅仅知道一条“如果……那么……”规则,还应该知道在什么时候使用这条规则。之后再将这些产生式合理组织,可以在解决问题时快速提取。教师要根据数学知识的差别,学生的心理变化,灵活地处理优化教学内容的结构,促进良好认知结构的形成。
4.1.3 加强思想方法的教学
数学教学的目的是使学生能把习得的内容迁移到新情境中。数学的概念、原理是正确的思想、方法的载体,数学的思想方法是隐含在数学概念、原理之中。知识越具体,应用的范围越狭窄,只能用于非常具体的情境,也容易遗忘;概括性越高,其应用范围越广,可应用于任何情境中的类似问题,也有利于保持。而数学思想方法是数学的一般性原理,它有高度的概括性,有助于学习的迁移。因此,要发展学生良好的数学认知结构,就必须加强数学思想方法的教学。教师在课堂教学中为学生安排恰当的教学情境,以暴露数学思维活动的真实过程,使学生切实体验到数学思想、方法的意义和作用是非常重要的。教师应当努力把知识教學提高到思想、方法教学的层次水平上,要针对具体内容研究设置教学情境的方法,以展示数学知识的发生发展过程,反映数学知识之间在数学思想方法上的继承性和发展性,为学生提供一个包含数学思想、方法的数学知识结构体系,以利于学生建立起完整的数学认知结构。
4.2 学生方面
教师为学生构建良好的认知结构只能提供外部条件,关键还是要靠学习者自身,学生是建立良好的认知结构的主体。
4.2.1 在总结中建构良好的认知结构
学生掌握的知识只有做到条件化、结构化、自动化、策略化,才有利于解决问题。尤其是对概念、命题的掌握,知识在头脑中无条理地堆积的话,那么知识越多,越不利于问题的解决。正像乌申斯基所指出的那样:“不可迷恋于没有系统的各种事实,塞满了零碎的、无联系的知识的头脑就像里面一切都摆得毫无秩序的一个仓库,在这里连主人自己也什么东西都找不到。”这就要求学生对学习的知识进行总结,将其组织、抽象、概括、归类等。虽说前面提到了教师在建立知识结构时的作用,但是只有学生积极主动地建构才能起到真正的效果。例如,在学完平行四边形的判定之后,学生要对这些知识进行总结,回忆讲了一些什么定理,它们之间有什么联系,有些什么方法。并且将它们的结构总结出来,最后与老师的总结对比,看看哪些地方不足,哪些地方可取,也可与同学交流共同提高。最好将知识用CPFS结构表征,⑦从不同角度考察知识,可以从章节角度总结,也可以从功能、作用方面重新构造知识。形成不同的概念域,最终形成概念系,并且搞清各结点的逻辑意义和联系。将数学知识进行整合,形成一种数学特有的认知结构。这一切的获得都要学生发挥主观能动性,不断地实践才能达到。
4.2.2 在反思中建构良好的认知结构
数学学习是具体性较差与现实有一定距离的活动,自我意识的作用更加突出,更需要对数学学习加强自我反思。而现实中,学生往往以获得正确答案为满足,不对解题过程进行反思,不对解题经验教训进行反思,不对解题方法进行反思。这样导致了学生数学学习效率低,学习技能弱,学习效果差。学生学习时,要善于剖析自己发现和解决问题的过程;学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧,它们的合理性如何,效果如何,有没有更好的方法;学习中走过了哪些弯路,犯过了哪些错误,原因何在。只有在学习的过程中不断的反思,才能促进良好认知结构的培养。学生如果在得到结论后对思路进行反思,探讨成功的经验或失败的教训,那么思维可在更高层次上进行概括,将数学理论上升到理性水平。在反思的过程中,学生的思维朝者着开放、灵活、精明、新颖的方向发展,在对问题的不断深化中提高自己的概括能力。反思是对自身的思维过程、思维结果进行再认识和检验的过程,在反思的过程中整个认知结构得到重构和完善。
总之,建构起良好的数学认知结构是我们的目标,在这个过程中,需要师生的共同努力,希望以上的策略能对建立良好的数学认知结构有所帮助。
注释
①曹才翰,蔡金法.数学教育学概论[M].南京:江苏教育出版社,1989:52.
②张庆林.当代认知心理学在教学中的应用[M].重庆:西南师范大学出版社,1995:56.
③皮连生.教育心理学(第三版)[M].上海:上海教育出版社,2004:106.
④[美]奥苏伯尔等.教育心理学[M].佘星南,宋钧,译.北京:人民教育出版社,1994:202-222.
⑤何小亚.建构良好的数学认知结构的教学策略[J]数学教育学报,2002.11(1):24-26.
⑥⑦喻平.數学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社,2004:65-74.