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升入高中学习的学生,面对数学会产生许多困惑:原来在初中还挺管用的学习方法怎么不灵了?数学课堂上感觉还蛮好的,感觉听明白了,但做起题来却感到束手无策;课前预习觉得挺简单,但完成训练题目却很难……凡此种种,都是学生数学思维障碍造成的,这给数学教师提出了一个严峻的问题,那就是如何针对学生的数学思维障碍实施有效的突破。下面结合自己多年的教学实践谈谈对这一问题的看法,愿与各位同仁商榷。
一、高中学生数学思维障碍的具体表现
由于作为学习主体的学生的思维习惯、方法各不相同,数学思维障碍产生的原因也不尽相同,因此,高中数学思维障碍的表现各异,具体表现为以下几点:
1.数学思维的肤浅性
由于学生在学习过程中对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解,一般学生仅仅停留在表象的概括水平上,不能脱离具体表象而形成抽象的概念,自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果是:①学生在分析和解决数学问题时,往往只顺着事物的发展过程去思考问题,注重由因到果的思维习惯,不注重变换思维的方式,缺乏从多角度去探索解决问题的途径和方法。②缺乏足够的抽象思维能力,学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题,而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质,转化为已知的数学模型或过程去分析解决。
2.数学思维的差异性
由于每个学生的数学基础不尽相同,其思维方式也各有特点,因此,不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不尽相同,从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样,学生在解决数学问题时,一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件,抓不住问题中的确定条件,影响问题的解决。如非负实数x、y满足x+2y=1,求x2+y2的最大、最小值。在解决这个问题时,如对x、y的范围没有足够的认识(0≤x≤1,0≤y≤1/2),那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理,对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断,缺乏对自我思维进程的调控,从而造成障碍。如函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)对任意实数x都成立,证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称。对于这个问题,一些基础好的同学都不大会做,我就动员学生看书,在函数这一章节中找相关的内容看,待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后,学生也就能较顺利的解决这一问题了。
3.数学思维定势的消极性
由于高中学生已经有相当丰富的解题经验,因此,有些学生往往对自己的某些想法深信不疑,很难使其放弃一些陈旧的解题经验,思维陷入僵化状态,不能根据新的问题的特点作出灵活的反应,常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如初学立体几何时,一提到兩直线垂直,学生马上意识到这两直线必相交,从而造成错误的认识。
由此可见,学生数学思维障碍的形成,不仅不利于学生数学思维的进一步发展,而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以,在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。
二、高中学生数学思维障碍的有效突破
1.培养学生学习数学的兴趣,提高学生学好高中数学的信心。教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况,尤其在讲解新知识时,要严格遵循学生认知发展的阶段性特点,照顾到学生认知水平的个性差异,强调学生的主体意识,发展学生的主动精神,培养学生良好的意志品质。兴趣是最好的老师,学生对数学学习有了兴趣,才能产生数学思维的兴奋灶,也就能更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性,针对不同学生的实际情况,因材施教,分别给他们提出新的更高的奋斗目标,提高学生学好高中数学的信心。
例如:对于高一新生,我们都要复习一下二次函数的内容,而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、最小值的求法学生普遍感到比较困难,为此我作了如下题型设计,对突破学生的这个难点有很大的帮助,而且在整个操作过程中,学生普遍情绪亢奋,思维始终保持活跃。板书设计如下:
①求出下列函数在x∈[0,3]时的最大、最小值:(1)y=(x-1)2+1,(2)y=(x+1)2+1,(3)y=(x-4)2+1
②求函数y=x2-2ax+a2+2,x∈[0,3]时的最小值。
③求函数y=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值。
上述设计层层递进,每做完一题,适时指出解决这类问题的要点,大大地调动了学生学习的积极性,提高了课堂效率。
2.重视数学思想方法教学,指导学生提高数学意识。提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择,它既不是对基础知识的具体应用,也不是对应用能力的评价,数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做,至于做得好坏,当属技能问题,有时一些技能问题不是学生不懂,而是不知怎么做才合理,有的学生面对数学问题,首先想到的是套那个公式,模仿那道做过的题目求解,对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手,无法解决,这是数学意识落后的表现。数学教学中,在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时,我们应该加强数学意识教学,指导学生以意识带动双基,将数学意识渗透到具体问题之中。因此,在数学教学中只有加强数学意识的教学,如“因果转化意识”、“类比转化意识”等的教学,才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。
3.消除思维定势的消极作用。数学教学不仅仅是传授数学知识,培养学生的思维能力也应是教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架,包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。
例如:在学习了“函数的奇偶性”后,学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题,为此可设计如下问题:判断函数在区间[2 ―6,2a]上的奇偶性。不少学生由f(―x)=―f(x)立即得到f(x)为奇函数。教师设问:①区间[2 ―6,2a]有什么意义?②y=x2一定是偶函数吗?通过对这两个问题的思考学生意识到函数只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数。
使学生暴露观点的方法很多。教师可以用与学生谈心的方法,可以用精心设计的诊断性题目,事先了解学生可能产生的错误想法,要运用延迟评价的原则,即待所有学生的观点充分暴露后,再提出矛盾,以免暴露不完全,解决不彻底。也可设置疑难,展开讨论。通过暴露学生的思维过程,能消除消极的思维定势在解题中的影响。在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动,培养学生善于思考、独立思考的方法,不满足于用常规方法取得正确答案,而是多尝试、探索用最简单、最好的方法解决问题。
时代已向高中数学教学提出了更高的要求。只要我们坚持以学生为主体,以培养学生的思维发展为己任,就一定会提高高中数学教学质量的。
一、高中学生数学思维障碍的具体表现
由于作为学习主体的学生的思维习惯、方法各不相同,数学思维障碍产生的原因也不尽相同,因此,高中数学思维障碍的表现各异,具体表现为以下几点:
1.数学思维的肤浅性
由于学生在学习过程中对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解,一般学生仅仅停留在表象的概括水平上,不能脱离具体表象而形成抽象的概念,自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果是:①学生在分析和解决数学问题时,往往只顺着事物的发展过程去思考问题,注重由因到果的思维习惯,不注重变换思维的方式,缺乏从多角度去探索解决问题的途径和方法。②缺乏足够的抽象思维能力,学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题,而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质,转化为已知的数学模型或过程去分析解决。
2.数学思维的差异性
由于每个学生的数学基础不尽相同,其思维方式也各有特点,因此,不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不尽相同,从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样,学生在解决数学问题时,一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件,抓不住问题中的确定条件,影响问题的解决。如非负实数x、y满足x+2y=1,求x2+y2的最大、最小值。在解决这个问题时,如对x、y的范围没有足够的认识(0≤x≤1,0≤y≤1/2),那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理,对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断,缺乏对自我思维进程的调控,从而造成障碍。如函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)对任意实数x都成立,证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称。对于这个问题,一些基础好的同学都不大会做,我就动员学生看书,在函数这一章节中找相关的内容看,待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后,学生也就能较顺利的解决这一问题了。
3.数学思维定势的消极性
由于高中学生已经有相当丰富的解题经验,因此,有些学生往往对自己的某些想法深信不疑,很难使其放弃一些陈旧的解题经验,思维陷入僵化状态,不能根据新的问题的特点作出灵活的反应,常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如初学立体几何时,一提到兩直线垂直,学生马上意识到这两直线必相交,从而造成错误的认识。
由此可见,学生数学思维障碍的形成,不仅不利于学生数学思维的进一步发展,而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以,在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。
二、高中学生数学思维障碍的有效突破
1.培养学生学习数学的兴趣,提高学生学好高中数学的信心。教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况,尤其在讲解新知识时,要严格遵循学生认知发展的阶段性特点,照顾到学生认知水平的个性差异,强调学生的主体意识,发展学生的主动精神,培养学生良好的意志品质。兴趣是最好的老师,学生对数学学习有了兴趣,才能产生数学思维的兴奋灶,也就能更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性,针对不同学生的实际情况,因材施教,分别给他们提出新的更高的奋斗目标,提高学生学好高中数学的信心。
例如:对于高一新生,我们都要复习一下二次函数的内容,而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、最小值的求法学生普遍感到比较困难,为此我作了如下题型设计,对突破学生的这个难点有很大的帮助,而且在整个操作过程中,学生普遍情绪亢奋,思维始终保持活跃。板书设计如下:
①求出下列函数在x∈[0,3]时的最大、最小值:(1)y=(x-1)2+1,(2)y=(x+1)2+1,(3)y=(x-4)2+1
②求函数y=x2-2ax+a2+2,x∈[0,3]时的最小值。
③求函数y=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值。
上述设计层层递进,每做完一题,适时指出解决这类问题的要点,大大地调动了学生学习的积极性,提高了课堂效率。
2.重视数学思想方法教学,指导学生提高数学意识。提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择,它既不是对基础知识的具体应用,也不是对应用能力的评价,数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做,至于做得好坏,当属技能问题,有时一些技能问题不是学生不懂,而是不知怎么做才合理,有的学生面对数学问题,首先想到的是套那个公式,模仿那道做过的题目求解,对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手,无法解决,这是数学意识落后的表现。数学教学中,在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时,我们应该加强数学意识教学,指导学生以意识带动双基,将数学意识渗透到具体问题之中。因此,在数学教学中只有加强数学意识的教学,如“因果转化意识”、“类比转化意识”等的教学,才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。
3.消除思维定势的消极作用。数学教学不仅仅是传授数学知识,培养学生的思维能力也应是教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架,包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。
例如:在学习了“函数的奇偶性”后,学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题,为此可设计如下问题:判断函数在区间[2 ―6,2a]上的奇偶性。不少学生由f(―x)=―f(x)立即得到f(x)为奇函数。教师设问:①区间[2 ―6,2a]有什么意义?②y=x2一定是偶函数吗?通过对这两个问题的思考学生意识到函数只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数。
使学生暴露观点的方法很多。教师可以用与学生谈心的方法,可以用精心设计的诊断性题目,事先了解学生可能产生的错误想法,要运用延迟评价的原则,即待所有学生的观点充分暴露后,再提出矛盾,以免暴露不完全,解决不彻底。也可设置疑难,展开讨论。通过暴露学生的思维过程,能消除消极的思维定势在解题中的影响。在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动,培养学生善于思考、独立思考的方法,不满足于用常规方法取得正确答案,而是多尝试、探索用最简单、最好的方法解决问题。
时代已向高中数学教学提出了更高的要求。只要我们坚持以学生为主体,以培养学生的思维发展为己任,就一定会提高高中数学教学质量的。