论文部分内容阅读
摘 要：高中数学对学生来说，有些内容容易理解，有些内容比较形式化. 学生本身对数学的认知水平是不尽相同的，在高二文理分科之后尤为明显. 文科生因为其自身特点，决定了教师教学应该有不同于理科生的教学方法，以形象化教学策略为主. 本文简要阐述文科生数学教学的形象化策略是怎样进行的.
关键词：形象化；图形化；教学；特殊化；多元
《普通高中数学课程标准》明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识. 数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的，因此，高中数学课程应该返璞归真，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.”
正因为高中数学中存在较多的抽象概念，因此高中数学教学对文科生而言，有些过于形式化了. 华东师范大学张奠宙教授曾说：“好的教师在于将抽象的数学知识用通俗易懂的语言进行描述，能够通过各种形象的教学手段对学生进行讲解.” 因此，笔者认为，对文科生进行数学教学，应参照张教授对中学数学教育的建议，采用以形式化教学为主的策略.
笔者任教高中数学多年，对旧版本教材中数学教学的印象是“一个知识点、三方面注意”，因为数学教学是较为抽象的，因此气氛沉闷，文科生在这样的数学课上效率也变得低下. 笔者通过自身多年教授文科生的经历，浅谈形象化教学的策略.
[?] 特殊化处理方式
例1 （高三导数复习）设函数y=f（x），x∈R的导函数为f ′（x），且f（x）=f（-x），f ′（x） 分析：教师对此类问题的分析，往往按照“构造函数”进行处理，考虑到ef（2），f（3），e2f（-1），观察此三个数，易发现这三个数可以变为e1f（2），e0f（3），e2f（1），于是在脑海中构造函数进行教学.
解1：通过观察可知，构造函数g（x）=e3-x·f（x），导数g′（x）=e3-x·[f ′（x）-f（x）]（注意：对文科生而言，此处e3-x可以采用导数的除法法则求之，从而避开复合函数求导），由于f ′（x） 辨析：教师采用的方法比较系统、严密，对于理科生而言较为合适，对于理性思维较弱的大多数文科生而言，这样的方法即使其听懂了，也难以在类似的题目中进行演绎，因此比较合适文科生的解决方法是采用特殊化处理方式.
解2：考虑到f（x）=f（-x），f ′（x） 说明：高中数学中常常有这样的问题，有时用特殊化的方法轻松地解决了问题的瓶颈，这正是合情推理和演绎推理在解决客观题和填空题中的运用，值得教师向文科生推广，培养其处理抽象问题时运用特殊法的能力.
练习：数列{an}满足a1=1，an+1=an，其中λ∈R，n=1，2，….给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N*，ai>0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N*），aiai+1<0；
③?λ∈R，m∈N*，当i>m（i∈N*）时，总有ai<0.
其中正确的命题是________. （写出所有正确命题的序号）（答案：①③）
[?] 图形化处理方式
苏教版必修3并未明确指出基本事件的概念（参见第118页），只提到基本事件有如下特点：
（1）基本事件都是两两互斥的；
（2）任一事件，均可以表示成各种基本事件的和.
从这里，可以清楚地认识到基本事件只是一类随机事件，但是各个基本事件出现的可能性并不一定相同. 但是，无论是教师还是学生，常常将基本事件不假思索地认为是等可能的，这是一种误区. 笔者将其图形化，很清晰地展示了考纲和教材所要求的基本事件是怎样的一种基本事件！
（1）基本事件有等可能与不等可能之分，但我们平时教学中往往并不审视这些方法总数是否是等可能的，因此将这样的想法带进概率教学中是有极大的危害的！
（2）一个问题的基本事件有多少类，其实是问方法总数有多少种，此时若问题的题意不明确，不同的角度便能得到不同的方法总数，也许是等可能的基本事件，也许是不等可能的基本事件.
（3）教材和考纲所要学生解决的是以等可能为背景出现的基本事件构建的概率问题，因此必须将概率问题转化为等可能背景求解.
我们用苏教版必修3概率一章中的“探究”就可以清楚解释这一现象：投掷两个骰子，为什么不用点数和来选择班级号码？众所周知，各个和出现是非等可能的，是不公平的. 来看一个具体问题：
例2 在长度为6的线段AB上任取两点（端点除外） ，将线段AB分成三条线段，若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率.
解1：从结果去考虑，三条线段所有可能结果为（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三种，因此这三条线段可以构成三角形的概率为.
辨析：其实解答1只有3类基本事件，但是若按此求得，那是错误的！因为，这三类基本事件并非等可能出现，故不是高中生所能解决的等可能性的问题，更不能套用古典概型公式求解！为此，需要转化角度来解决.
解2：不妨设三条线段长度从左至右分别为x，y，6-x-y（x，y∈N*），则所有结果构成的集合为： Ω={（x，y） 0 众所周知，高中生解决的概率问题，基本事件必须是等可能出现的，因此只能转化为解法2来解决与基本事件相关的概率试题！因此，用上述两幅图，清晰地向文科生展示了如何理解基本事件的重要性.
[?] 多元化处理方式
例3 （恒成立问题）对于任意的正整数n，数列an=n2+λn是递增数列恒成立，求实数λ的取值范围.
学生A：因为an=n2+λn是递增数列，其解析式为二次函数，故只需对称轴x=-≤1，解得λ≥-2.
教师：反应非常快！有无其他方法？
学生B：我认为a2=n2+λn为递增数列，只需对an求导，得导数式2n+λ≥0. 解得λ≥-2n，所以λ≥-2.
教师：很不错，利用了导数知识，综合应用能力比较强.那还有其他方法吗？
学生C：考查an+1和an的差，an+1-an=2n+1+λ，只需差大于零时对n∈N+恒成立，所以λ>-3.
教师：这给我们提供了一个新思路，第三种解法与前两种解法的结论矛盾，谁对谁错？大家可以互相讨论.
经过一番讨论，有两位学生发表他们对上述三种解答的反思.
学生D：第三种解法肯定是正确的.
教师：那么学生A和B的解法错在哪里呢？
学生E（反思）：前两种方法忽略了函数的定义域，这个函数的定义域为正整数集，画出图形，此图形是离散的，因此并不需要函数在[1，+∞）上严格单调递增，对称轴可以向右移到x=处，此时a1=a2，故只需-<，得λ>-3.
教师（反思）：讲得太好了！虽然学生A和B的解法使数列an=n2+λn成为递增数列，但却忽视了数列是特殊函数的前提，因此他们的解并非是本题的充要条件. 可以通过函数f（x）=x2+λx的图象对其进行进一步分析，数列an=n2+λn上的点是离散的.
让文科生积极在课堂教学中进行基本问题的参与，努力将课堂解题的平台还给学生，以多元化的教学方式进行渗透，有助于文科生数学学习的提高.
总之，文科生数学教学要适合文科生的数学认知水平和抽象思维的发展程度，就高中生而言，尽可能地以形象化处理的策略为主，如本文中所描述的三种教学方式，鉴于笔者教学经验有限，以本文抛砖引玉，为文科生数学学习奉献更多的形象化教学策略.
关键词：形象化；图形化；教学；特殊化；多元
《普通高中数学课程标准》明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识. 数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的，因此，高中数学课程应该返璞归真，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.”
正因为高中数学中存在较多的抽象概念，因此高中数学教学对文科生而言，有些过于形式化了. 华东师范大学张奠宙教授曾说：“好的教师在于将抽象的数学知识用通俗易懂的语言进行描述，能够通过各种形象的教学手段对学生进行讲解.” 因此，笔者认为，对文科生进行数学教学，应参照张教授对中学数学教育的建议，采用以形式化教学为主的策略.
笔者任教高中数学多年，对旧版本教材中数学教学的印象是“一个知识点、三方面注意”，因为数学教学是较为抽象的，因此气氛沉闷，文科生在这样的数学课上效率也变得低下. 笔者通过自身多年教授文科生的经历，浅谈形象化教学的策略.
[?] 特殊化处理方式
例1 （高三导数复习）设函数y=f（x），x∈R的导函数为f ′（x），且f（x）=f（-x），f ′（x）
解1：通过观察可知，构造函数g（x）=e3-x·f（x），导数g′（x）=e3-x·[f ′（x）-f（x）]（注意：对文科生而言，此处e3-x可以采用导数的除法法则求之，从而避开复合函数求导），由于f ′（x）
解2：考虑到f（x）=f（-x），f ′（x）
练习：数列{an}满足a1=1，an+1=an，其中λ∈R，n=1，2，….给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N*，ai>0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N*），aiai+1<0；
③?λ∈R，m∈N*，当i>m（i∈N*）时，总有ai<0.
其中正确的命题是________. （写出所有正确命题的序号）（答案：①③）
[?] 图形化处理方式
苏教版必修3并未明确指出基本事件的概念（参见第118页），只提到基本事件有如下特点：
（1）基本事件都是两两互斥的；
（2）任一事件，均可以表示成各种基本事件的和.
从这里，可以清楚地认识到基本事件只是一类随机事件，但是各个基本事件出现的可能性并不一定相同. 但是，无论是教师还是学生，常常将基本事件不假思索地认为是等可能的，这是一种误区. 笔者将其图形化，很清晰地展示了考纲和教材所要求的基本事件是怎样的一种基本事件！
（1）基本事件有等可能与不等可能之分，但我们平时教学中往往并不审视这些方法总数是否是等可能的，因此将这样的想法带进概率教学中是有极大的危害的！
（2）一个问题的基本事件有多少类，其实是问方法总数有多少种，此时若问题的题意不明确，不同的角度便能得到不同的方法总数，也许是等可能的基本事件，也许是不等可能的基本事件.
（3）教材和考纲所要学生解决的是以等可能为背景出现的基本事件构建的概率问题，因此必须将概率问题转化为等可能背景求解.
我们用苏教版必修3概率一章中的“探究”就可以清楚解释这一现象：投掷两个骰子，为什么不用点数和来选择班级号码？众所周知，各个和出现是非等可能的，是不公平的. 来看一个具体问题：
例2 在长度为6的线段AB上任取两点（端点除外） ，将线段AB分成三条线段，若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率.
解1：从结果去考虑，三条线段所有可能结果为（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三种，因此这三条线段可以构成三角形的概率为.
辨析：其实解答1只有3类基本事件，但是若按此求得，那是错误的！因为，这三类基本事件并非等可能出现，故不是高中生所能解决的等可能性的问题，更不能套用古典概型公式求解！为此，需要转化角度来解决.
解2：不妨设三条线段长度从左至右分别为x，y，6-x-y（x，y∈N*），则所有结果构成的集合为： Ω={（x，y） 0
[?] 多元化处理方式
例3 （恒成立问题）对于任意的正整数n，数列an=n2+λn是递增数列恒成立，求实数λ的取值范围.
学生A：因为an=n2+λn是递增数列，其解析式为二次函数，故只需对称轴x=-≤1，解得λ≥-2.
教师：反应非常快！有无其他方法？
学生B：我认为a2=n2+λn为递增数列，只需对an求导，得导数式2n+λ≥0. 解得λ≥-2n，所以λ≥-2.
教师：很不错，利用了导数知识，综合应用能力比较强.那还有其他方法吗？
学生C：考查an+1和an的差，an+1-an=2n+1+λ，只需差大于零时对n∈N+恒成立，所以λ>-3.
教师：这给我们提供了一个新思路，第三种解法与前两种解法的结论矛盾，谁对谁错？大家可以互相讨论.
经过一番讨论，有两位学生发表他们对上述三种解答的反思.
学生D：第三种解法肯定是正确的.
教师：那么学生A和B的解法错在哪里呢？
学生E（反思）：前两种方法忽略了函数的定义域，这个函数的定义域为正整数集，画出图形，此图形是离散的，因此并不需要函数在[1，+∞）上严格单调递增，对称轴可以向右移到x=处，此时a1=a2，故只需-<，得λ>-3.
教师（反思）：讲得太好了！虽然学生A和B的解法使数列an=n2+λn成为递增数列，但却忽视了数列是特殊函数的前提，因此他们的解并非是本题的充要条件. 可以通过函数f（x）=x2+λx的图象对其进行进一步分析，数列an=n2+λn上的点是离散的.
让文科生积极在课堂教学中进行基本问题的参与，努力将课堂解题的平台还给学生，以多元化的教学方式进行渗透，有助于文科生数学学习的提高.
总之，文科生数学教学要适合文科生的数学认知水平和抽象思维的发展程度，就高中生而言，尽可能地以形象化处理的策略为主，如本文中所描述的三种教学方式，鉴于笔者教学经验有限，以本文抛砖引玉，为文科生数学学习奉献更多的形象化教学策略.