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摘要：以一道高二学业质量调研试题为例，说明高中数学“隐圆”（满足一定条件的动点轨迹是圆或圆弧）问题的特点：设计和求解可以联系的内容、想到的思路非常多，可以较好地考查学生的数学知识结构、内在联系以及多元表征、本质理解，考查学生数学思维的深刻性、灵活性和创造性等。“隐圆”问题的解法有：平面几何方法，解析几何方法中的直接法、向量法、解三角形法、面积法、三角变换法。由此得到教学启示：多元表征，丰富概念认识;重视过程，体会思想方法;优化解法，培养创造性思维。
关键词：“隐圆”问题多元表征重视过程优化解法
苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学第13题如下：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=r2和点A（0，-3）、B（0，3），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则半径r的取值范围是。
这是一道近年来高考及各级各类模拟考试数学卷常考的“隐圆”（满足一定条件的动点轨迹是圆或圆弧）问题。学生也多次解答过类似的题目，比如“圆C上存在点P，使得∠APB=90°”“圆C上存在点P，使得PAPB=k（k>0）”等。然而，此题调研的结果是，正确率非常低。究其原因，绝大多数学生不知道点P的轨迹是两段圆弧（优弧），甚至没有形的意識;少数学生只考虑y轴右侧的一段圆弧。
下面，深入分析此类问题的特点和解法，并在此基础上反思平时的数学教学。
一、“隐圆”问题的特点
“圆的方程”是高考数学的重要考点（江苏省高考数学的8个C级考点之一）和考查热点。这是因为在中学数学课程中，“圆”是综合性非常强的内容：涉及平面几何（包括解三角形）、解析几何（包括直线方程）以及三角函数、向量等内容。因此，与圆有关的问题的设计和求解可以联系的内容、想到的思路非常多，可以较好地考查学生的数学知识结构、内在联系以及多元表征、本质理解，考查学生数学思维的深刻性、灵活性和创造性等。而“隐圆”问题又涉及动点轨迹的视角转换、化静为动、变中不变思想，能很好地考查学生的数学能力和素养。
从根本上看，“圆”是平面几何的内容。平面几何一直是数学的难点之一，因而也是教育数学改造的重点之一。欧几里得的《几何原本》把当时人类掌握的相当丰富但杂乱无章的几何知识“熔于一炉”，铸成了一个空前严整的科学体系，不仅在科学领域取得了成功，而且在教育领域取得了成功。但是，欧几里得的体系仍然有一些不足：（1）没有一个突出的中心（俯瞰全局的制高点），逻辑结构是串联式而不是放射性的;（2）没有提供一套强有力的、通用的解题方法，以全等三角形和相似三角形为主要解题工具，离不开对辅助线的想象和创造;（3）与数学的其他分支，如代数等缺少联系。因此，后人对欧几里得的体系有过很多补充和改造，比如面积方法、三角函数概念、解析几何思想（与代数的联系）、向量体系等。
二、“隐圆”问题的解法
解决“隐圆”问题的关键是确定动点的轨迹是圆或圆弧。下面，以上述试题为例，聚焦点P轨迹的求法，谈一谈“隐圆”问题的多种解法。
纵观五种解析几何方法，不难发现，从关于tan ∠APB的关系式入手，计算过程较为简捷;而从关于cos∠APB或sin ∠APB的关系式入手，计算过程较为繁琐。实际上，这是因为正切只涉及水平方向和竖直方向上的长度，这在平面直角坐标系中用点的坐标来表示比较简单;而余弦、正弦还涉及“斜的”长度，这在平面直角坐标系中用点的坐标来表示比较复杂。由此进一步可见各种方法的“殊途同归”。
三、教学启示
（一）多元表征，丰富概念认识
解决上述试题时，绝大多数学生“看不出”点P的轨迹是两段圆弧（优弧）——想不到平面几何方法（先确定图形，再求出方程），说明他们对圆的认识还不够丰富，理解还不够深刻。对此，教学中，教师不能停留在几何定义和标准方程、一般方程中，还要引导学生多元表征，从几何和代数两个方面思考、总结还有哪些条件可以表示圆（圆弧）。实际上，“动点到一定点的距离为定值”“动点到两定点的距离之比为定值（不等于1）”“动点到两定点的距离平方和为定值”“动点与两定点的连线互相垂直”“动点对两定点的张角是定角”“在△ABC中，a2+b2-ab=c2”“函数f（x）=1-x2（或式子1-x2）”……都可以表示圆或圆弧（其中都隐含着圆或圆弧），从而有关问题都可以转化为圆的问题，利用圆的性质解决。于无圆处“看出”圆是一种能力，教学需要在此处着力。
数学知识是一个有着丰富联系的结构体系。教学中，教师不能“就事论事”，而要多方面发掘知识、问题背后的各种联系，从而完善学生的知识结构——知识结构直接影响学生的迁移和应变能力，而迁移和应变能力可以说是学习最终的目的。
（二）重视过程，体会思想方法
显然，我们很难列尽各种形式的圆;即使全部列出，也未必能在特定的情境中“看”出来。对于上述试题，学生“看不出”点P的轨迹是两段圆弧（优弧）也是正常的，但遗憾的是，求不出点P满足的轨迹方程——在想不到平面几何方法的情况下，也完不成解析几何的方法（先求出方程，再确定图形）。这说明他们对整体思维的体会还不够深入，运用还不够灵活。
上述方法（三）就是学生比较容易想到的解析几何方法。其基本思路是：直接设出点P的坐标，根据点P所满足的条件列出式子进行化简。对学生来说，这一方法的困难之处在于对x2+（y+3）2·x2+（y-3）2的化简：先关注整体，运用平方差公式，得到（x2+y2+3）2-（23y）2;再关注整体，立足于x2+y2进行化简……
因此，教学中，教师不能急功近利，过分重视结果，只顾灌输知识和布置“刷题”，而要高瞻远瞩，同时重视过程，既深挖知识和习题背后隐藏的思想与方法，又给予足够的时空让学生自主探究、充分交流，从而自然而不强加地培养和提升学生的能力和素养。
（三）优化解法，培养创造性思维
教学中，教师要引导学生多角度思考，实现一题多解;特别是对于有困难的解法，要透彻分析，找出原因，寻求优化，从而培养学生的创造性思维。比如，上述试题是以角的条件确定的“隐圆”问题。对于其解析几何解法，学生容易想到利用向量的夹角公式列出式子进行化简，但是涉及边长之积，会出现含有字母的根式和平方式，难以处理。此时，除了利用整体思维进行化简之外，还可以寻找另外的关系重新列出式子，“回避”边长之积。对于角的条件，还可以想到正弦定理、余弦定理等解三角形方法。考虑到正弦定理要涉及多个角，余弦定理还是会涉及边长之积，所以不可行或不能优化。继续想到三角形面积的“两边及夹角”公式和三角恒等变换公式，得到上述方法（五）和方法（三）的结合（即利用tan ∠APB=AB·hAP·BP）以及方法（六）。
当然，教师还要引导学生多角度思考，实现一题多变;特别是对于一类问题，要改变背景、变换条件、刷新方法，从而培养学生的创造性思维。比如，“隐圆”问题常常出现直角条件，学生利用向量的夹角公式或勾股定理等处理起来都较为方便。上述试题便将直角改为60°角，加大了难度，需要优化解法，才能快速解决。
参考文献：
[1] 张景中，曹培生.从数学教育到教育数学（典藏版）[M].北京：中国少年儿童出版社，2011.
[2] 徐章韬.从全等、相似到面积、三角——教育数学研究之七[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（1）.
关键词：“隐圆”问题多元表征重视过程优化解法
苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学第13题如下：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=r2和点A（0，-3）、B（0，3），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则半径r的取值范围是。
这是一道近年来高考及各级各类模拟考试数学卷常考的“隐圆”（满足一定条件的动点轨迹是圆或圆弧）问题。学生也多次解答过类似的题目，比如“圆C上存在点P，使得∠APB=90°”“圆C上存在点P，使得PAPB=k（k>0）”等。然而，此题调研的结果是，正确率非常低。究其原因，绝大多数学生不知道点P的轨迹是两段圆弧（优弧），甚至没有形的意識;少数学生只考虑y轴右侧的一段圆弧。
下面，深入分析此类问题的特点和解法，并在此基础上反思平时的数学教学。
一、“隐圆”问题的特点
“圆的方程”是高考数学的重要考点（江苏省高考数学的8个C级考点之一）和考查热点。这是因为在中学数学课程中，“圆”是综合性非常强的内容：涉及平面几何（包括解三角形）、解析几何（包括直线方程）以及三角函数、向量等内容。因此，与圆有关的问题的设计和求解可以联系的内容、想到的思路非常多，可以较好地考查学生的数学知识结构、内在联系以及多元表征、本质理解，考查学生数学思维的深刻性、灵活性和创造性等。而“隐圆”问题又涉及动点轨迹的视角转换、化静为动、变中不变思想，能很好地考查学生的数学能力和素养。
从根本上看，“圆”是平面几何的内容。平面几何一直是数学的难点之一，因而也是教育数学改造的重点之一。欧几里得的《几何原本》把当时人类掌握的相当丰富但杂乱无章的几何知识“熔于一炉”，铸成了一个空前严整的科学体系，不仅在科学领域取得了成功，而且在教育领域取得了成功。但是，欧几里得的体系仍然有一些不足：（1）没有一个突出的中心（俯瞰全局的制高点），逻辑结构是串联式而不是放射性的;（2）没有提供一套强有力的、通用的解题方法，以全等三角形和相似三角形为主要解题工具，离不开对辅助线的想象和创造;（3）与数学的其他分支，如代数等缺少联系。因此，后人对欧几里得的体系有过很多补充和改造，比如面积方法、三角函数概念、解析几何思想（与代数的联系）、向量体系等。
二、“隐圆”问题的解法
解决“隐圆”问题的关键是确定动点的轨迹是圆或圆弧。下面，以上述试题为例，聚焦点P轨迹的求法，谈一谈“隐圆”问题的多种解法。
纵观五种解析几何方法，不难发现，从关于tan ∠APB的关系式入手，计算过程较为简捷;而从关于cos∠APB或sin ∠APB的关系式入手，计算过程较为繁琐。实际上，这是因为正切只涉及水平方向和竖直方向上的长度，这在平面直角坐标系中用点的坐标来表示比较简单;而余弦、正弦还涉及“斜的”长度，这在平面直角坐标系中用点的坐标来表示比较复杂。由此进一步可见各种方法的“殊途同归”。
三、教学启示
（一）多元表征，丰富概念认识
解决上述试题时，绝大多数学生“看不出”点P的轨迹是两段圆弧（优弧）——想不到平面几何方法（先确定图形，再求出方程），说明他们对圆的认识还不够丰富，理解还不够深刻。对此，教学中，教师不能停留在几何定义和标准方程、一般方程中，还要引导学生多元表征，从几何和代数两个方面思考、总结还有哪些条件可以表示圆（圆弧）。实际上，“动点到一定点的距离为定值”“动点到两定点的距离之比为定值（不等于1）”“动点到两定点的距离平方和为定值”“动点与两定点的连线互相垂直”“动点对两定点的张角是定角”“在△ABC中，a2+b2-ab=c2”“函数f（x）=1-x2（或式子1-x2）”……都可以表示圆或圆弧（其中都隐含着圆或圆弧），从而有关问题都可以转化为圆的问题，利用圆的性质解决。于无圆处“看出”圆是一种能力，教学需要在此处着力。
数学知识是一个有着丰富联系的结构体系。教学中，教师不能“就事论事”，而要多方面发掘知识、问题背后的各种联系，从而完善学生的知识结构——知识结构直接影响学生的迁移和应变能力，而迁移和应变能力可以说是学习最终的目的。
（二）重视过程，体会思想方法
显然，我们很难列尽各种形式的圆;即使全部列出，也未必能在特定的情境中“看”出来。对于上述试题，学生“看不出”点P的轨迹是两段圆弧（优弧）也是正常的，但遗憾的是，求不出点P满足的轨迹方程——在想不到平面几何方法的情况下，也完不成解析几何的方法（先求出方程，再确定图形）。这说明他们对整体思维的体会还不够深入，运用还不够灵活。
上述方法（三）就是学生比较容易想到的解析几何方法。其基本思路是：直接设出点P的坐标，根据点P所满足的条件列出式子进行化简。对学生来说，这一方法的困难之处在于对x2+（y+3）2·x2+（y-3）2的化简：先关注整体，运用平方差公式，得到（x2+y2+3）2-（23y）2;再关注整体，立足于x2+y2进行化简……
因此，教学中，教师不能急功近利，过分重视结果，只顾灌输知识和布置“刷题”，而要高瞻远瞩，同时重视过程，既深挖知识和习题背后隐藏的思想与方法，又给予足够的时空让学生自主探究、充分交流，从而自然而不强加地培养和提升学生的能力和素养。
（三）优化解法，培养创造性思维
教学中，教师要引导学生多角度思考，实现一题多解;特别是对于有困难的解法，要透彻分析，找出原因，寻求优化，从而培养学生的创造性思维。比如，上述试题是以角的条件确定的“隐圆”问题。对于其解析几何解法，学生容易想到利用向量的夹角公式列出式子进行化简，但是涉及边长之积，会出现含有字母的根式和平方式，难以处理。此时，除了利用整体思维进行化简之外，还可以寻找另外的关系重新列出式子，“回避”边长之积。对于角的条件，还可以想到正弦定理、余弦定理等解三角形方法。考虑到正弦定理要涉及多个角，余弦定理还是会涉及边长之积，所以不可行或不能优化。继续想到三角形面积的“两边及夹角”公式和三角恒等变换公式，得到上述方法（五）和方法（三）的结合（即利用tan ∠APB=AB·hAP·BP）以及方法（六）。
当然，教师还要引导学生多角度思考，实现一题多变;特别是对于一类问题，要改变背景、变换条件、刷新方法，从而培养学生的创造性思维。比如，“隐圆”问题常常出现直角条件，学生利用向量的夹角公式或勾股定理等处理起来都较为方便。上述试题便将直角改为60°角，加大了难度，需要优化解法，才能快速解决。
参考文献：
[1] 张景中，曹培生.从数学教育到教育数学（典藏版）[M].北京：中国少年儿童出版社，2011.
[2] 徐章韬.从全等、相似到面积、三角——教育数学研究之七[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（1）.