论文部分内容阅读
摘要:以一道高二学业质量调研试题为例,说明高中数学“隐圆”(满足一定条件的动点轨迹是圆或圆弧)问题的特点:设计和求解可以联系的内容、想到的思路非常多,可以较好地考查学生的数学知识结构、内在联系以及多元表征、本质理解,考查学生数学思维的深刻性、灵活性和创造性等。“隐圆”问题的解法有:平面几何方法,解析几何方法中的直接法、向量法、解三角形法、面积法、三角变换法。由此得到教学启示:多元表征,丰富概念认识;重视过程,体会思想方法;优化解法,培养创造性思维。
关键词:“隐圆”问题多元表征重视过程优化解法
苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学第13题如下:在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2和点A(0,-3)、B(0,3),若圆C上存在点P,使得∠APB=60°,则半径r的取值范围是。
这是一道近年来高考及各级各类模拟考试数学卷常考的“隐圆”(满足一定条件的动点轨迹是圆或圆弧)问题。学生也多次解答过类似的题目,比如“圆C上存在点P,使得∠APB=90°”“圆C上存在点P,使得PAPB=k(k>0)”等。然而,此题调研的结果是,正确率非常低。究其原因,绝大多数学生不知道点P的轨迹是两段圆弧(优弧),甚至没有形的意識;少数学生只考虑y轴右侧的一段圆弧。
下面,深入分析此类问题的特点和解法,并在此基础上反思平时的数学教学。
一、“隐圆”问题的特点
“圆的方程”是高考数学的重要考点(江苏省高考数学的8个C级考点之一)和考查热点。这是因为在中学数学课程中,“圆”是综合性非常强的内容:涉及平面几何(包括解三角形)、解析几何(包括直线方程)以及三角函数、向量等内容。因此,与圆有关的问题的设计和求解可以联系的内容、想到的思路非常多,可以较好地考查学生的数学知识结构、内在联系以及多元表征、本质理解,考查学生数学思维的深刻性、灵活性和创造性等。而“隐圆”问题又涉及动点轨迹的视角转换、化静为动、变中不变思想,能很好地考查学生的数学能力和素养。
从根本上看,“圆”是平面几何的内容。平面几何一直是数学的难点之一,因而也是教育数学改造的重点之一。欧几里得的《几何原本》把当时人类掌握的相当丰富但杂乱无章的几何知识“熔于一炉”,铸成了一个空前严整的科学体系,不仅在科学领域取得了成功,而且在教育领域取得了成功。但是,欧几里得的体系仍然有一些不足:(1)没有一个突出的中心(俯瞰全局的制高点),逻辑结构是串联式而不是放射性的;(2)没有提供一套强有力的、通用的解题方法,以全等三角形和相似三角形为主要解题工具,离不开对辅助线的想象和创造;(3)与数学的其他分支,如代数等缺少联系。因此,后人对欧几里得的体系有过很多补充和改造,比如面积方法、三角函数概念、解析几何思想(与代数的联系)、向量体系等。
二、“隐圆”问题的解法
解决“隐圆”问题的关键是确定动点的轨迹是圆或圆弧。下面,以上述试题为例,聚焦点P轨迹的求法,谈一谈“隐圆”问题的多种解法。
纵观五种解析几何方法,不难发现,从关于tan ∠APB的关系式入手,计算过程较为简捷;而从关于cos∠APB或sin ∠APB的关系式入手,计算过程较为繁琐。实际上,这是因为正切只涉及水平方向和竖直方向上的长度,这在平面直角坐标系中用点的坐标来表示比较简单;而余弦、正弦还涉及“斜的”长度,这在平面直角坐标系中用点的坐标来表示比较复杂。由此进一步可见各种方法的“殊途同归”。
三、教学启示
(一)多元表征,丰富概念认识
解决上述试题时,绝大多数学生“看不出”点P的轨迹是两段圆弧(优弧)——想不到平面几何方法(先确定图形,再求出方程),说明他们对圆的认识还不够丰富,理解还不够深刻。对此,教学中,教师不能停留在几何定义和标准方程、一般方程中,还要引导学生多元表征,从几何和代数两个方面思考、总结还有哪些条件可以表示圆(圆弧)。实际上,“动点到一定点的距离为定值”“动点到两定点的距离之比为定值(不等于1)”“动点到两定点的距离平方和为定值”“动点与两定点的连线互相垂直”“动点对两定点的张角是定角”“在△ABC中,a2+b2-ab=c2”“函数f(x)=1-x2(或式子1-x2)”……都可以表示圆或圆弧(其中都隐含着圆或圆弧),从而有关问题都可以转化为圆的问题,利用圆的性质解决。于无圆处“看出”圆是一种能力,教学需要在此处着力。
数学知识是一个有着丰富联系的结构体系。教学中,教师不能“就事论事”,而要多方面发掘知识、问题背后的各种联系,从而完善学生的知识结构——知识结构直接影响学生的迁移和应变能力,而迁移和应变能力可以说是学习最终的目的。
(二)重视过程,体会思想方法
显然,我们很难列尽各种形式的圆;即使全部列出,也未必能在特定的情境中“看”出来。对于上述试题,学生“看不出”点P的轨迹是两段圆弧(优弧)也是正常的,但遗憾的是,求不出点P满足的轨迹方程——在想不到平面几何方法的情况下,也完不成解析几何的方法(先求出方程,再确定图形)。这说明他们对整体思维的体会还不够深入,运用还不够灵活。
上述方法(三)就是学生比较容易想到的解析几何方法。其基本思路是:直接设出点P的坐标,根据点P所满足的条件列出式子进行化简。对学生来说,这一方法的困难之处在于对x2+(y+3)2·x2+(y-3)2的化简:先关注整体,运用平方差公式,得到(x2+y2+3)2-(23y)2;再关注整体,立足于x2+y2进行化简……
因此,教学中,教师不能急功近利,过分重视结果,只顾灌输知识和布置“刷题”,而要高瞻远瞩,同时重视过程,既深挖知识和习题背后隐藏的思想与方法,又给予足够的时空让学生自主探究、充分交流,从而自然而不强加地培养和提升学生的能力和素养。
(三)优化解法,培养创造性思维
教学中,教师要引导学生多角度思考,实现一题多解;特别是对于有困难的解法,要透彻分析,找出原因,寻求优化,从而培养学生的创造性思维。比如,上述试题是以角的条件确定的“隐圆”问题。对于其解析几何解法,学生容易想到利用向量的夹角公式列出式子进行化简,但是涉及边长之积,会出现含有字母的根式和平方式,难以处理。此时,除了利用整体思维进行化简之外,还可以寻找另外的关系重新列出式子,“回避”边长之积。对于角的条件,还可以想到正弦定理、余弦定理等解三角形方法。考虑到正弦定理要涉及多个角,余弦定理还是会涉及边长之积,所以不可行或不能优化。继续想到三角形面积的“两边及夹角”公式和三角恒等变换公式,得到上述方法(五)和方法(三)的结合(即利用tan ∠APB=AB·hAP·BP)以及方法(六)。
当然,教师还要引导学生多角度思考,实现一题多变;特别是对于一类问题,要改变背景、变换条件、刷新方法,从而培养学生的创造性思维。比如,“隐圆”问题常常出现直角条件,学生利用向量的夹角公式或勾股定理等处理起来都较为方便。上述试题便将直角改为60°角,加大了难度,需要优化解法,才能快速解决。
参考文献:
[1] 张景中,曹培生.从数学教育到教育数学(典藏版)[M].北京:中国少年儿童出版社,2011.
[2] 徐章韬.从全等、相似到面积、三角——教育数学研究之七[J].教育研究与评论(中学教育教学),2019(1).
关键词:“隐圆”问题多元表征重视过程优化解法
苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学第13题如下:在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2和点A(0,-3)、B(0,3),若圆C上存在点P,使得∠APB=60°,则半径r的取值范围是。
这是一道近年来高考及各级各类模拟考试数学卷常考的“隐圆”(满足一定条件的动点轨迹是圆或圆弧)问题。学生也多次解答过类似的题目,比如“圆C上存在点P,使得∠APB=90°”“圆C上存在点P,使得PAPB=k(k>0)”等。然而,此题调研的结果是,正确率非常低。究其原因,绝大多数学生不知道点P的轨迹是两段圆弧(优弧),甚至没有形的意識;少数学生只考虑y轴右侧的一段圆弧。
下面,深入分析此类问题的特点和解法,并在此基础上反思平时的数学教学。
一、“隐圆”问题的特点
“圆的方程”是高考数学的重要考点(江苏省高考数学的8个C级考点之一)和考查热点。这是因为在中学数学课程中,“圆”是综合性非常强的内容:涉及平面几何(包括解三角形)、解析几何(包括直线方程)以及三角函数、向量等内容。因此,与圆有关的问题的设计和求解可以联系的内容、想到的思路非常多,可以较好地考查学生的数学知识结构、内在联系以及多元表征、本质理解,考查学生数学思维的深刻性、灵活性和创造性等。而“隐圆”问题又涉及动点轨迹的视角转换、化静为动、变中不变思想,能很好地考查学生的数学能力和素养。
从根本上看,“圆”是平面几何的内容。平面几何一直是数学的难点之一,因而也是教育数学改造的重点之一。欧几里得的《几何原本》把当时人类掌握的相当丰富但杂乱无章的几何知识“熔于一炉”,铸成了一个空前严整的科学体系,不仅在科学领域取得了成功,而且在教育领域取得了成功。但是,欧几里得的体系仍然有一些不足:(1)没有一个突出的中心(俯瞰全局的制高点),逻辑结构是串联式而不是放射性的;(2)没有提供一套强有力的、通用的解题方法,以全等三角形和相似三角形为主要解题工具,离不开对辅助线的想象和创造;(3)与数学的其他分支,如代数等缺少联系。因此,后人对欧几里得的体系有过很多补充和改造,比如面积方法、三角函数概念、解析几何思想(与代数的联系)、向量体系等。
二、“隐圆”问题的解法
解决“隐圆”问题的关键是确定动点的轨迹是圆或圆弧。下面,以上述试题为例,聚焦点P轨迹的求法,谈一谈“隐圆”问题的多种解法。
纵观五种解析几何方法,不难发现,从关于tan ∠APB的关系式入手,计算过程较为简捷;而从关于cos∠APB或sin ∠APB的关系式入手,计算过程较为繁琐。实际上,这是因为正切只涉及水平方向和竖直方向上的长度,这在平面直角坐标系中用点的坐标来表示比较简单;而余弦、正弦还涉及“斜的”长度,这在平面直角坐标系中用点的坐标来表示比较复杂。由此进一步可见各种方法的“殊途同归”。
三、教学启示
(一)多元表征,丰富概念认识
解决上述试题时,绝大多数学生“看不出”点P的轨迹是两段圆弧(优弧)——想不到平面几何方法(先确定图形,再求出方程),说明他们对圆的认识还不够丰富,理解还不够深刻。对此,教学中,教师不能停留在几何定义和标准方程、一般方程中,还要引导学生多元表征,从几何和代数两个方面思考、总结还有哪些条件可以表示圆(圆弧)。实际上,“动点到一定点的距离为定值”“动点到两定点的距离之比为定值(不等于1)”“动点到两定点的距离平方和为定值”“动点与两定点的连线互相垂直”“动点对两定点的张角是定角”“在△ABC中,a2+b2-ab=c2”“函数f(x)=1-x2(或式子1-x2)”……都可以表示圆或圆弧(其中都隐含着圆或圆弧),从而有关问题都可以转化为圆的问题,利用圆的性质解决。于无圆处“看出”圆是一种能力,教学需要在此处着力。
数学知识是一个有着丰富联系的结构体系。教学中,教师不能“就事论事”,而要多方面发掘知识、问题背后的各种联系,从而完善学生的知识结构——知识结构直接影响学生的迁移和应变能力,而迁移和应变能力可以说是学习最终的目的。
(二)重视过程,体会思想方法
显然,我们很难列尽各种形式的圆;即使全部列出,也未必能在特定的情境中“看”出来。对于上述试题,学生“看不出”点P的轨迹是两段圆弧(优弧)也是正常的,但遗憾的是,求不出点P满足的轨迹方程——在想不到平面几何方法的情况下,也完不成解析几何的方法(先求出方程,再确定图形)。这说明他们对整体思维的体会还不够深入,运用还不够灵活。
上述方法(三)就是学生比较容易想到的解析几何方法。其基本思路是:直接设出点P的坐标,根据点P所满足的条件列出式子进行化简。对学生来说,这一方法的困难之处在于对x2+(y+3)2·x2+(y-3)2的化简:先关注整体,运用平方差公式,得到(x2+y2+3)2-(23y)2;再关注整体,立足于x2+y2进行化简……
因此,教学中,教师不能急功近利,过分重视结果,只顾灌输知识和布置“刷题”,而要高瞻远瞩,同时重视过程,既深挖知识和习题背后隐藏的思想与方法,又给予足够的时空让学生自主探究、充分交流,从而自然而不强加地培养和提升学生的能力和素养。
(三)优化解法,培养创造性思维
教学中,教师要引导学生多角度思考,实现一题多解;特别是对于有困难的解法,要透彻分析,找出原因,寻求优化,从而培养学生的创造性思维。比如,上述试题是以角的条件确定的“隐圆”问题。对于其解析几何解法,学生容易想到利用向量的夹角公式列出式子进行化简,但是涉及边长之积,会出现含有字母的根式和平方式,难以处理。此时,除了利用整体思维进行化简之外,还可以寻找另外的关系重新列出式子,“回避”边长之积。对于角的条件,还可以想到正弦定理、余弦定理等解三角形方法。考虑到正弦定理要涉及多个角,余弦定理还是会涉及边长之积,所以不可行或不能优化。继续想到三角形面积的“两边及夹角”公式和三角恒等变换公式,得到上述方法(五)和方法(三)的结合(即利用tan ∠APB=AB·hAP·BP)以及方法(六)。
当然,教师还要引导学生多角度思考,实现一题多变;特别是对于一类问题,要改变背景、变换条件、刷新方法,从而培养学生的创造性思维。比如,“隐圆”问题常常出现直角条件,学生利用向量的夹角公式或勾股定理等处理起来都较为方便。上述试题便将直角改为60°角,加大了难度,需要优化解法,才能快速解决。
参考文献:
[1] 张景中,曹培生.从数学教育到教育数学(典藏版)[M].北京:中国少年儿童出版社,2011.
[2] 徐章韬.从全等、相似到面积、三角——教育数学研究之七[J].教育研究与评论(中学教育教学),2019(1).