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江苏南京航空航天大学附属高级中学210007
摘要：新课程教学要求教师根据不同的内容目标及学生的实际情况，给学生留下延伸、拓展的空间和时间，使每一位学生都得到应有的发展． 本文将结合教学实践探讨设置延伸拓展材料的一些途径，仅供参考．
关键词：新课程；设置；延伸拓展材料
《普通高中数学课程标准（实验）》指出，教师应根据不同的内容目标及学生的实际情况，给学生留下延伸、拓展的空间和时间，对有关课题作进一步的探索、研究． 教师要鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心体验与创造来学习数学，要为不同的学生尽可能设置适合他们的学习素材，使每一位学生都得到应有的发展． 为此，在数学教学中设置延伸拓展材料，就显得十分重要和迫切了．
延伸拓展材料就是从学生的实际需求出发，基于学生实际的知识水平、认知能力、知识结构，以问题的形式或探究课题的形式适度延伸拓展数学教学内容，通过有效的教学设计、教学形式、教学方法来实现学生对知识的理解、掌握，从而获取知识，并在新知识的学习中得到运用、延续和深化．
新教材中有许多开放性和探索性的问题，包括思考题、问题探究及拓展练习等，另外还有一些阅读材料. 这些都是我们设置延伸拓展材料时可以使用的重要的教学资源．
[⇩]利用教材中的概念、公式等设置延伸拓展材料
概念教学是数学教学的重要内容，为了加深学生对概念的理解和掌握，常常需要设置延伸拓展材料．
案例1在《函数的奇偶性》的教学中，在得到奇函数和偶函数的概念后设置延伸拓展材料.
问题1具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点？怎么说明？
问题2已知奇函数f（x）在y轴右边的图象如图1所示，试画出函数f（x）在y轴左边的图象，你有什么发现？
图1
在学生交流得出“奇函数在对称区间上的单调性相同”后，提出下述问题：
问题3已知奇函数f（x）在区间［a，b］上是增函数，求证：f（x）在区间［－b，－a］上是增函数．
问题4偶函数有类似的结论吗？为什么？
问题5已知奇函数f（x）在区间［a，b］上的解析式，试求出f（x）在区间［－b，－a］上的解析式．
例如，已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时， f（x）＝x（x＋1），求x＜0时的f （x）．
这个案例既拓展了奇函数、偶函数的重要性质，又加深了学生对这两种函数概念的理解和掌握．
案例2在《基本不等式的证明（一）》的教学中，得到基本不等式≤（a≥0，b≥0）后，设置延伸拓展材料.
问题1如果a，b是非负数，那么a＋b≥2成立吗？
问题2如果a，b∈R，那么ab≤
2成立吗？
问题3如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab成立吗？
问题4如果a，b，c∈R，那么a3＋b3＋c3≥3abc成立吗？请课后研究．
这个案例是将基本不等式的各个主要变式悉数研究一遍，提高了学生对基本不等式的认识，为接下来的学习打下基础．
[⇩]利用教材中的例题和习题设置延伸拓展材料
教材中的例题和习题是教学中设置延伸拓展材料的资源，是解决问题的方法，是获得拓展材料的渠道，是培养学生思维能力的载体．
案例3在《余弦定理》一课中，有如下例题：
在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，试判断该三角形的形状．
课本中的解法是利用正弦定理及余弦定理将“角的正弦和余弦之间的关系”转化成“边与边之间的数量关系”，再进行代数变形进而得到答案． 在师生共同完成这个解法后，教师可以设置如下的延伸拓展材料：
问题1上面的解法是从“边”的角度来判断三角形的形状，你能从“角”的角度来判断三角形的形状吗？请试一试．
问题2比较两种解法，你有什么启发和感悟？
问题3课本中有关三角形形状的判断问题是否都能从“边”的角度和“角”的角度来判断？请尝试并进行比较．
本例通过在解题方法上的拓展，丰富了学生的解题经验，可以提高学生整体处理这类问题的能力，促使学生学会思考．
案例4在《圆与圆的位置关系》一课的教材中，有如下例题：
判断圆（x＋2）2＋（y－2）2＝1与圆（x－2）2＋（y－5）2＝16的位置关系.
利用两圆的圆心距与两圆的半径可以得出这两圆外切的结论． 在完成这个例题后，教师可以设置如下延伸拓展材料.
问题1求出这两个圆的切点坐标．
问题2如果将这两个圆的方程相减，得到一条直线方程，这条直线与这两个圆有什么关系？
问题3如果将相交两个圆的方程相减，得到一条直线方程，这条直线与这两个圆有什么关系？
本例通过拓展延伸，让学生探索一个全新的研究课题，可大大提升他们的认知水平． 求解问题1时，学生可以将这个问题转化成解两个圆方程组成的二元二次方程组，也可以转化成解两个圆的圆心确定的直线方程与一个圆方程组成的二元二次方程组，还可以构造几何图形的相似，再利用线段成比例解决问题． 求解问题2时可用多种方法来解决． 通过解决问题3，可以向学生介绍解析法中“设而不求”的技巧，还可以将问题2、问题3的解决方法融汇一体，从中突出极限思想、运动变化的观点，以此拓展学生的数学思维．
[⇩]利用教材“思考”栏目中的问题设置延伸拓展材料
案例5在《对数函数》的内容中，课本设置了以下的“思考”问题.
思考1函数y＝logax与函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的定义域、值域之间有什么关系？
思考2一般地，当a＞0，a≠1时，函数y＝ax与y＝logax的图象有什么关系？
课本设置了“链接”：函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数．
在完成这个内容后，教师可设置如下延伸拓展材料，要求学生课后完成.
问题设计一个指数函数与对数函数的对照表格，其中包含函数的一般形式、图象、定义域、值域、函数值变化情况以及单调性、奇偶性等方面．
在这个案例中，虽然教材对互为反函数的两个函数图象之间的关系不作要求，但设置这样的延伸拓展材料可以使学生对这部分内容形成整体认识，也可以帮助他们回顾研究函数的一般方法．
案例6在《空间两点之间的距离》的内容中，课本设置了以下的“思考”问题.
思考连结平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的线段P1P2的中点M的坐标为
，
，那么，已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），线段P1P2的中点M的坐标是什么呢？
根据这个问题，教师可以设置如下延伸拓展材料.
问题求出点P（3，－2，4）关于点A（0，1，－3）的对称点的坐标．
在这个案例中，学生通过类比、猜想、分析、演绎，可以提高对线段中点坐标的认识．
[⇩]利用学生学习中出现的问题设置延伸拓展材料
学生在学习数学的过程中，经常会出现一些认识上的偏差，特别是解题中出现的错误，所以教学中要善于分析学生产生错误的原因，不时地进行延伸拓展，让学生的错误成为有效的教学资源．
案例7当x取什么值时，x2＋的值最小？最小值是多少？
学生在练习或作业时经常出现如下解法.
解析x2＋＝
x＋2－18．
因为
x＋2≥0，所以x2＋≥－18． 所以x2＋的最小值是－18．
为此，教师设置延伸拓展材料：
问题函数y＝x＋的值域是什么？大致图象是怎样的？
在这个案例中，通过这个拓展题，加深了学生对基本不等式的理解，并对一类重要函数y＝x＋（a＞0）的图象和性质有了更全面的了解．
案例8已知空间三点A（－1，0，1），B（2，4，3），C（5，8，5），求证：A，B，C在同一直线上．
在解决问题的过程中，学生类比平面直线方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0），将空间直线方程设为Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）．
为此，教师可以设置如下延伸拓展材料.
问题1空间直线方程究竟是不是Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）的形式？要求学生对此作出理性分析．
学生从两点不能确定这个方程，说出空间直线方程不是Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）的形式，并进一步猜测方程Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）可能是空间平面方程．
问题2怎么说明空间方程Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）表示平面？
问题3空间直线方程的形式究竟是什么？（课后探究）
通过延伸拓展，可以教会学生如何面对新问题、新知识，怎么进行理性分析与思考，如何来进行辨析，直到作出准确判断，这培养了学生的质疑精神和创造能力．
[⇩]利用教材上的探究、拓展内容设置延伸拓展材料
教科书在习题这一栏，专门设计了探究、拓展性问题，它的存在为进行延伸拓展学习提供了素材，也为部分在数学上学有所长的学生提供了进一步发展的空间．
案例9（必修1第44页探究、拓展第12题）已知函数f（x）的定义域是F，函数g（x）的定义域是G，且对于任意的x∈G，g（x）∈F，试根据下表中所给的条件，用“单调增函数”“单调减函数”“不能确定”填空.
[f（x）&g（x）&f［g（x）］&f（x）＋g（x）&单调
增函数&单调
增函数&&&单调
增函数&单调
减函数&&&单调
减函数&单调
减函数&&&单调
减函数&单调
增函数&&&]
根据这个问题，教师可设置如下延伸拓展材料.
问题1如何由f（x）与g（x）的单调性研究f［g（x）］的单调性？
问题2f［g（x）］的单调性与f（x），g（x）的单调性的关系是怎样的？
问题3f（x）＋g（x）的单调性与f（x），g（x）的单调性的关系是怎样的？
通过解决以上问题，既拓展了学生的知识，又发展了学生的抽象思维能力，还深化了学生对函数单调性的认识．
总之，教师在设置延伸拓展材料时既要把握好教学要求，又要根据学生的能力把握好难度、深度，使延伸拓展材料能真正为教学服务，为学生的发展服务．
摘要：新课程教学要求教师根据不同的内容目标及学生的实际情况，给学生留下延伸、拓展的空间和时间，使每一位学生都得到应有的发展． 本文将结合教学实践探讨设置延伸拓展材料的一些途径，仅供参考．
关键词：新课程；设置；延伸拓展材料
《普通高中数学课程标准（实验）》指出，教师应根据不同的内容目标及学生的实际情况，给学生留下延伸、拓展的空间和时间，对有关课题作进一步的探索、研究． 教师要鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心体验与创造来学习数学，要为不同的学生尽可能设置适合他们的学习素材，使每一位学生都得到应有的发展． 为此，在数学教学中设置延伸拓展材料，就显得十分重要和迫切了．
延伸拓展材料就是从学生的实际需求出发，基于学生实际的知识水平、认知能力、知识结构，以问题的形式或探究课题的形式适度延伸拓展数学教学内容，通过有效的教学设计、教学形式、教学方法来实现学生对知识的理解、掌握，从而获取知识，并在新知识的学习中得到运用、延续和深化．
新教材中有许多开放性和探索性的问题，包括思考题、问题探究及拓展练习等，另外还有一些阅读材料. 这些都是我们设置延伸拓展材料时可以使用的重要的教学资源．
[⇩]利用教材中的概念、公式等设置延伸拓展材料
概念教学是数学教学的重要内容，为了加深学生对概念的理解和掌握，常常需要设置延伸拓展材料．
案例1在《函数的奇偶性》的教学中，在得到奇函数和偶函数的概念后设置延伸拓展材料.
问题1具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点？怎么说明？
问题2已知奇函数f（x）在y轴右边的图象如图1所示，试画出函数f（x）在y轴左边的图象，你有什么发现？
图1
在学生交流得出“奇函数在对称区间上的单调性相同”后，提出下述问题：
问题3已知奇函数f（x）在区间［a，b］上是增函数，求证：f（x）在区间［－b，－a］上是增函数．
问题4偶函数有类似的结论吗？为什么？
问题5已知奇函数f（x）在区间［a，b］上的解析式，试求出f（x）在区间［－b，－a］上的解析式．
例如，已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时， f（x）＝x（x＋1），求x＜0时的f （x）．
这个案例既拓展了奇函数、偶函数的重要性质，又加深了学生对这两种函数概念的理解和掌握．
案例2在《基本不等式的证明（一）》的教学中，得到基本不等式≤（a≥0，b≥0）后，设置延伸拓展材料.
问题1如果a，b是非负数，那么a＋b≥2成立吗？
问题2如果a，b∈R，那么ab≤
2成立吗？
问题3如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab成立吗？
问题4如果a，b，c∈R，那么a3＋b3＋c3≥3abc成立吗？请课后研究．
这个案例是将基本不等式的各个主要变式悉数研究一遍，提高了学生对基本不等式的认识，为接下来的学习打下基础．
[⇩]利用教材中的例题和习题设置延伸拓展材料
教材中的例题和习题是教学中设置延伸拓展材料的资源，是解决问题的方法，是获得拓展材料的渠道，是培养学生思维能力的载体．
案例3在《余弦定理》一课中，有如下例题：
在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，试判断该三角形的形状．
课本中的解法是利用正弦定理及余弦定理将“角的正弦和余弦之间的关系”转化成“边与边之间的数量关系”，再进行代数变形进而得到答案． 在师生共同完成这个解法后，教师可以设置如下的延伸拓展材料：
问题1上面的解法是从“边”的角度来判断三角形的形状，你能从“角”的角度来判断三角形的形状吗？请试一试．
问题2比较两种解法，你有什么启发和感悟？
问题3课本中有关三角形形状的判断问题是否都能从“边”的角度和“角”的角度来判断？请尝试并进行比较．
本例通过在解题方法上的拓展，丰富了学生的解题经验，可以提高学生整体处理这类问题的能力，促使学生学会思考．
案例4在《圆与圆的位置关系》一课的教材中，有如下例题：
判断圆（x＋2）2＋（y－2）2＝1与圆（x－2）2＋（y－5）2＝16的位置关系.
利用两圆的圆心距与两圆的半径可以得出这两圆外切的结论． 在完成这个例题后，教师可以设置如下延伸拓展材料.
问题1求出这两个圆的切点坐标．
问题2如果将这两个圆的方程相减，得到一条直线方程，这条直线与这两个圆有什么关系？
问题3如果将相交两个圆的方程相减，得到一条直线方程，这条直线与这两个圆有什么关系？
本例通过拓展延伸，让学生探索一个全新的研究课题，可大大提升他们的认知水平． 求解问题1时，学生可以将这个问题转化成解两个圆方程组成的二元二次方程组，也可以转化成解两个圆的圆心确定的直线方程与一个圆方程组成的二元二次方程组，还可以构造几何图形的相似，再利用线段成比例解决问题． 求解问题2时可用多种方法来解决． 通过解决问题3，可以向学生介绍解析法中“设而不求”的技巧，还可以将问题2、问题3的解决方法融汇一体，从中突出极限思想、运动变化的观点，以此拓展学生的数学思维．
[⇩]利用教材“思考”栏目中的问题设置延伸拓展材料
案例5在《对数函数》的内容中，课本设置了以下的“思考”问题.
思考1函数y＝logax与函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的定义域、值域之间有什么关系？
思考2一般地，当a＞0，a≠1时，函数y＝ax与y＝logax的图象有什么关系？
课本设置了“链接”：函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数．
在完成这个内容后，教师可设置如下延伸拓展材料，要求学生课后完成.
问题设计一个指数函数与对数函数的对照表格，其中包含函数的一般形式、图象、定义域、值域、函数值变化情况以及单调性、奇偶性等方面．
在这个案例中，虽然教材对互为反函数的两个函数图象之间的关系不作要求，但设置这样的延伸拓展材料可以使学生对这部分内容形成整体认识，也可以帮助他们回顾研究函数的一般方法．
案例6在《空间两点之间的距离》的内容中，课本设置了以下的“思考”问题.
思考连结平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的线段P1P2的中点M的坐标为
，
，那么，已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），线段P1P2的中点M的坐标是什么呢？
根据这个问题，教师可以设置如下延伸拓展材料.
问题求出点P（3，－2，4）关于点A（0，1，－3）的对称点的坐标．
在这个案例中，学生通过类比、猜想、分析、演绎，可以提高对线段中点坐标的认识．
[⇩]利用学生学习中出现的问题设置延伸拓展材料
学生在学习数学的过程中，经常会出现一些认识上的偏差，特别是解题中出现的错误，所以教学中要善于分析学生产生错误的原因，不时地进行延伸拓展，让学生的错误成为有效的教学资源．
案例7当x取什么值时，x2＋的值最小？最小值是多少？
学生在练习或作业时经常出现如下解法.
解析x2＋＝
x＋2－18．
因为
x＋2≥0，所以x2＋≥－18． 所以x2＋的最小值是－18．
为此，教师设置延伸拓展材料：
问题函数y＝x＋的值域是什么？大致图象是怎样的？
在这个案例中，通过这个拓展题，加深了学生对基本不等式的理解，并对一类重要函数y＝x＋（a＞0）的图象和性质有了更全面的了解．
案例8已知空间三点A（－1，0，1），B（2，4，3），C（5，8，5），求证：A，B，C在同一直线上．
在解决问题的过程中，学生类比平面直线方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0），将空间直线方程设为Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）．
为此，教师可以设置如下延伸拓展材料.
问题1空间直线方程究竟是不是Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）的形式？要求学生对此作出理性分析．
学生从两点不能确定这个方程，说出空间直线方程不是Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）的形式，并进一步猜测方程Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）可能是空间平面方程．
问题2怎么说明空间方程Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不同时为0）表示平面？
问题3空间直线方程的形式究竟是什么？（课后探究）
通过延伸拓展，可以教会学生如何面对新问题、新知识，怎么进行理性分析与思考，如何来进行辨析，直到作出准确判断，这培养了学生的质疑精神和创造能力．
[⇩]利用教材上的探究、拓展内容设置延伸拓展材料
教科书在习题这一栏，专门设计了探究、拓展性问题，它的存在为进行延伸拓展学习提供了素材，也为部分在数学上学有所长的学生提供了进一步发展的空间．
案例9（必修1第44页探究、拓展第12题）已知函数f（x）的定义域是F，函数g（x）的定义域是G，且对于任意的x∈G，g（x）∈F，试根据下表中所给的条件，用“单调增函数”“单调减函数”“不能确定”填空.
[f（x）&g（x）&f［g（x）］&f（x）＋g（x）&单调
增函数&单调
增函数&&&单调
增函数&单调
减函数&&&单调
减函数&单调
减函数&&&单调
减函数&单调
增函数&&&]
根据这个问题，教师可设置如下延伸拓展材料.
问题1如何由f（x）与g（x）的单调性研究f［g（x）］的单调性？
问题2f［g（x）］的单调性与f（x），g（x）的单调性的关系是怎样的？
问题3f（x）＋g（x）的单调性与f（x），g（x）的单调性的关系是怎样的？
通过解决以上问题，既拓展了学生的知识，又发展了学生的抽象思维能力，还深化了学生对函数单调性的认识．
总之，教师在设置延伸拓展材料时既要把握好教学要求，又要根据学生的能力把握好难度、深度，使延伸拓展材料能真正为教学服务，为学生的发展服务．