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1、认识数学模型
在数学学习的过程中,所积累的知识经验经过加工,会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型,我们称之为解题基本模型。
学生平时的作业,基本上都是数学模型的识别和应用。课堂上讲什么公式定理,课后围绕这个公式定理模型来解题:验证定理的条件,演算定理的结论;给出公式中的若干个量,求其他量;公式定理的连续使用;增加充分条件(或必要条件)的层次;与其他知识作点小综合等。此时,数学模型的干扰性较小,所以学生普遍不感到困难,但到期末或中考时,就辨别不清数学模型了,其实期末或中考的绝大多数题都能用基本数学模型来解决。
通过数学模型思考问题,既可防止无关信息的负面干扰,又能以“块到块”的思维模式,从方法论的角度提高思维的敏捷性。在解题教学过程中,引导学生主动识别、提炼基本数学模型的过程,其实也就是引导学生主动研究自身的解题思维流程、明晰解题过程中的算法结构、进行策略反思的过程。而识别和应用基本模型的过程,也就是用统一的基本模型沟通相关问题,有效促进解题过程的思维定势正向迁移,化生为熟、化非常规为标准题的化归过程。以下我们将结合具体的例子来谈谈基本数学模型的提炼、识别和应用。
2、透过习题提炼数学模型
例1.如图(1)所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?
解析:如图(2)①,只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P,则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小,(因为两点之间线段最短)。(证明:如图(2)②,在L上任取一点P1,连结P1A,P1B,P1C,因为P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边,所以结论成立。)
【说明】解题后,对解题过程中所用到的知识、方法、思维流程进行反思回顾,让学生在解题过程中积累经验,总结提炼基本数学模型:运用“轴对称变换”把折线段的和转化为同一直线上的线段和,从而依据“两点之间线段最短”得到距离之和最短,基本图形如图(2)①。
3、数学模型的识别应用
3.1直接识别,直接应用
例2.如图(3),在菱形ABCD中,AB=4a,E在BC上,EC=2a,∠BAD=120°,点P在BD上,则PE+PC的最小值是( )
(A)6a , (B)5a , (C)4a,(D) 2 a。
解析:如图(4),因为菱形是轴对称图形,所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1,只要连结CE1,CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有30°角的直角三角形,PC+PE=CE1=2 a 。所以选(D)。
类似的题目还有:
例3. 如图(5),已知⊙O的直径AB=2cm,半径OC⊥AB,点D在弧AC上,且弧AD为60°,点P在半径OC上移动,则AP+DP的最小值是( )。
例4.如图(6),要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短?小聪根据实际情况,以街道旁为x轴,建立了如图4所示的平面直角坐标系,测得A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(6,5),则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是(2)。
【说明】在提炼出模型之前,许多学生对类似的问题无从下手,思维无法打开,在提炼出模型之后,学生的解题过程自然流畅,简洁明快。同时,从基本的图形“直线同侧两点”这一模式 到具体的圆、菱形、直角坐标系等图形的简单变式,使学生进一步丰富模型的应用情境,加深了对模型特征条件的认识,也使学生初步体会到提炼识别基本数学模型的价值,进而获得成功体验。
3.2转化识别,化归应用
例5.如图(7),∠AOB=30°,角内有一点P,PO=10cm,两边上各有一点Q、R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值是。
解析:如图(8),作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1P2,分别交OA、OB与Q、R,则Q、R即为所求的点。此时△PQR的周长最小。因为△PQR的周长就是的P1P2长(两点之间线段最短)。由作图可知:∠P1OA=∠POA,∠P2OB=∠POB,∠P1OP2=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=60°,O P1=OP=O P2,所以△P1O P2是等边三角形。则P1P2=10cm,即△PQR的周长最小是10cm。
【说明】直接识别应用是对模型的简单模仿应用,学生对模型的认识还比较肤浅,教师必须延伸和拓展学生对模型作进一步的认识,引导学生更深入把握模型的应用特征。例3把三角形的周长最小问题通过两次轴对称变换转化为了同一直线上的线段和问题,让学生在熟练应用模型的基础上又有了新的认识,也初步体会了基本模型在具体问题中的简单构造运用。
3.3分解整合,创造应用
例6.求函数Y=+的最小值。
解析:把原函数转化为Y=+, 如图(9),分别以PM=(3-X)、AM=1为边和以PN=(X+3)、BN=5为边构建使(3-X) 和(X+3)在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB,两条斜边的长就是PA=和PB=,因此,求Y的最小值就是求PA+PB的最小值,根据“轴对称变换”基本模型,只要求出BA1的长便是,Y的最小值6 。
【说明】通过构造图形,利用数形结合的方法创造性地把函数最值问题转化为运用“轴对称变换”这一基本图形解决的问题。由于有了前面模型的提炼识别应用过程,在此,许多学生便能轻易理解这一问题的解决过程。在数学课堂和课外,数学老师应该适时对提炼的模型进行应用拓展,为学有余力同学创造提升能力的契机,锻炼他们的数学综合思维能力,发展他们的数学才能。”
4.揭示模型,解密压轴
在近年的中考题中,通过上述基本模型来解决的压轴题也常有出现,通过基本模型提炼、识别和应用这一过程,学生对这一基本模型印象深刻,在中考此类问题的解决中能迅速找到突破口。
4.1以坐标轴直线为对称轴的一次轴对称变换题型
例7.(2009年浙江衢州) 如图(10),已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上.
(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2)平移抛物线 y=ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式;
②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
解析:本例(1) 将点A(-4,8)的坐标代入y=ax2,解得a=.将点B(2,n)的坐标代入y=x2,求得点B的坐标为(2,2),根据基本模型可知,如图(11),则点B关于x轴对称点P的坐标为(2,-2).直线AP的解析式是y=-x+ . 令y=0,得x=.即所求点Q的坐标是( ,0).
本例(2) ②左右平移抛物线y=x2,因为线段A′B′和CD的长是定值,所以要使四边形A′B′CD的周长最短,只要使A′D+CB′最短;
第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有A′D+CB′>AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短。
第二种情况:设抛物线向左平移了b个单位,则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b,8)和B′(2-b,2).因为CD=2,因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b,2),要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短.点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b,-8),直线A′′B′′的解析式为y=x+b+2 .要使A′D+DB′′最短,点D应在直线A′′B′′上,将点D(-4,0)代入直线A′′B′′的解析式,解得 b=.故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短,此时抛物线的函数解析式为 y=(x+)2. 4.2以非坐标轴直线为对称轴的一次轴对称变换题型
例8.(08年辽宁)如图(13),在直角坐标系中,直线y=-x- 与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-x+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求过A,B,C 三点抛物线的解析式并求出顶点 的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP 为直角三角形,若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小,若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
解析:本例中题(3)也是基本模型的构造,只是对称轴为直线AC,点B或点F关于直线AC的对称点的坐标不易找到。解题的关键是由点A、B、C、F的坐标判断出直线AC⊥BC,∠ABC=30°, ∠BCF=60°,由特殊三角形解得点B关于直线AC的对称点B′(-3,-2) ,如图(14);或点F关于直线AC的对称点H(0,-) ,如图(15);继而求得点M(,-) 。
4.3 以坐标轴直线为对称轴的两次轴对称变换题型
例9.(2006北京市)已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于A(0,3)与x轴交于点B(1,0)、C(5,0)两点,
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式;
(3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达 轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长。
解析:本例中题(3)是这一模型结合二次函数的变式题,解题的关键是弄清图形的位置关系,辨析图形中的折线段(动点的路径)如何能通过一次或几次的轴对称变换,转化为同一直线上的几条线段的和。
显然,由题意可得抛物线的解析式y=x-x+3,画出图形,如图(16),由点M(0, )、点M关于x轴的对称点M′(0, -)和点A(0,3)关于抛物线的对称轴x=3的对称点A′(6,3),运用两次轴对称变换及两点之间线段最短可知ME= M′E,AF= A′F,连结A′M′,A′M′的长就是所求点P运动的最短总路径的长。由勾股定理可求出A′M′= 。所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为 。
【说明】不难看出,如果学生在平时学习过程中经历过模型的提炼、识别和应用,那么在中考此类问题解决过程中就可借助模型进行思考,迅速免除其他附加条件的干扰,从“点到点”的思维模式提升到了“块到块”的思维模式,不但思维过程简洁流畅,而且解题突破快。
5数学模型识别应用的意义
通过上面具体数学模型的提炼识别应用这一过程,我们从解题思想的角度看,这是一种化归思想的实现形式。首先是化生为熟、化归为已解决的问题;其次是化繁为简,化非常规题为标准模式。从思维的角度看,这是思维定势的正迁移。从方法论的角度看,体现了“基本问题”的想法,从“基本问题”出发去解决更多、更复杂的问题。
在解题教学过程中通过模型的识别应用,能培养学生解题反思和模型的提炼识别能力,促进学生牢固掌握基础知识和基本能力,促进知识的有效迁移,同化和深化对问题的理解,提高学生的解题效率。
教师在教学过程中要善于提炼基本数学模型,引导学生识别基本模型,以不变应万变,让那些不易掌握的解题技巧暴露出本质,使学生克服思维障碍,跃上解题能力的新高度。
参考文献:
[1]G.波利亚 怎样解题:数学教学法的新面貌[M].上海:上海科技教育出版社,2002
[2] 罗增儒 数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2001
[3] 袁仲丁 “类化”和“异化”[J].中国数学教育(初中),2006,6
(余杭区良渚中学311113)
在数学学习的过程中,所积累的知识经验经过加工,会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型,我们称之为解题基本模型。
学生平时的作业,基本上都是数学模型的识别和应用。课堂上讲什么公式定理,课后围绕这个公式定理模型来解题:验证定理的条件,演算定理的结论;给出公式中的若干个量,求其他量;公式定理的连续使用;增加充分条件(或必要条件)的层次;与其他知识作点小综合等。此时,数学模型的干扰性较小,所以学生普遍不感到困难,但到期末或中考时,就辨别不清数学模型了,其实期末或中考的绝大多数题都能用基本数学模型来解决。
通过数学模型思考问题,既可防止无关信息的负面干扰,又能以“块到块”的思维模式,从方法论的角度提高思维的敏捷性。在解题教学过程中,引导学生主动识别、提炼基本数学模型的过程,其实也就是引导学生主动研究自身的解题思维流程、明晰解题过程中的算法结构、进行策略反思的过程。而识别和应用基本模型的过程,也就是用统一的基本模型沟通相关问题,有效促进解题过程的思维定势正向迁移,化生为熟、化非常规为标准题的化归过程。以下我们将结合具体的例子来谈谈基本数学模型的提炼、识别和应用。
2、透过习题提炼数学模型
例1.如图(1)所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?
解析:如图(2)①,只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P,则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小,(因为两点之间线段最短)。(证明:如图(2)②,在L上任取一点P1,连结P1A,P1B,P1C,因为P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边,所以结论成立。)
【说明】解题后,对解题过程中所用到的知识、方法、思维流程进行反思回顾,让学生在解题过程中积累经验,总结提炼基本数学模型:运用“轴对称变换”把折线段的和转化为同一直线上的线段和,从而依据“两点之间线段最短”得到距离之和最短,基本图形如图(2)①。
3、数学模型的识别应用
3.1直接识别,直接应用
例2.如图(3),在菱形ABCD中,AB=4a,E在BC上,EC=2a,∠BAD=120°,点P在BD上,则PE+PC的最小值是( )
(A)6a , (B)5a , (C)4a,(D) 2 a。
解析:如图(4),因为菱形是轴对称图形,所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1,只要连结CE1,CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有30°角的直角三角形,PC+PE=CE1=2 a 。所以选(D)。
类似的题目还有:
例3. 如图(5),已知⊙O的直径AB=2cm,半径OC⊥AB,点D在弧AC上,且弧AD为60°,点P在半径OC上移动,则AP+DP的最小值是( )。
例4.如图(6),要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短?小聪根据实际情况,以街道旁为x轴,建立了如图4所示的平面直角坐标系,测得A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(6,5),则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是(2)。
【说明】在提炼出模型之前,许多学生对类似的问题无从下手,思维无法打开,在提炼出模型之后,学生的解题过程自然流畅,简洁明快。同时,从基本的图形“直线同侧两点”这一模式 到具体的圆、菱形、直角坐标系等图形的简单变式,使学生进一步丰富模型的应用情境,加深了对模型特征条件的认识,也使学生初步体会到提炼识别基本数学模型的价值,进而获得成功体验。
3.2转化识别,化归应用
例5.如图(7),∠AOB=30°,角内有一点P,PO=10cm,两边上各有一点Q、R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值是。
解析:如图(8),作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1P2,分别交OA、OB与Q、R,则Q、R即为所求的点。此时△PQR的周长最小。因为△PQR的周长就是的P1P2长(两点之间线段最短)。由作图可知:∠P1OA=∠POA,∠P2OB=∠POB,∠P1OP2=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=60°,O P1=OP=O P2,所以△P1O P2是等边三角形。则P1P2=10cm,即△PQR的周长最小是10cm。
【说明】直接识别应用是对模型的简单模仿应用,学生对模型的认识还比较肤浅,教师必须延伸和拓展学生对模型作进一步的认识,引导学生更深入把握模型的应用特征。例3把三角形的周长最小问题通过两次轴对称变换转化为了同一直线上的线段和问题,让学生在熟练应用模型的基础上又有了新的认识,也初步体会了基本模型在具体问题中的简单构造运用。
3.3分解整合,创造应用
例6.求函数Y=+的最小值。
解析:把原函数转化为Y=+, 如图(9),分别以PM=(3-X)、AM=1为边和以PN=(X+3)、BN=5为边构建使(3-X) 和(X+3)在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB,两条斜边的长就是PA=和PB=,因此,求Y的最小值就是求PA+PB的最小值,根据“轴对称变换”基本模型,只要求出BA1的长便是,Y的最小值6 。
【说明】通过构造图形,利用数形结合的方法创造性地把函数最值问题转化为运用“轴对称变换”这一基本图形解决的问题。由于有了前面模型的提炼识别应用过程,在此,许多学生便能轻易理解这一问题的解决过程。在数学课堂和课外,数学老师应该适时对提炼的模型进行应用拓展,为学有余力同学创造提升能力的契机,锻炼他们的数学综合思维能力,发展他们的数学才能。”
4.揭示模型,解密压轴
在近年的中考题中,通过上述基本模型来解决的压轴题也常有出现,通过基本模型提炼、识别和应用这一过程,学生对这一基本模型印象深刻,在中考此类问题的解决中能迅速找到突破口。
4.1以坐标轴直线为对称轴的一次轴对称变换题型
例7.(2009年浙江衢州) 如图(10),已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上.
(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2)平移抛物线 y=ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式;
②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
解析:本例(1) 将点A(-4,8)的坐标代入y=ax2,解得a=.将点B(2,n)的坐标代入y=x2,求得点B的坐标为(2,2),根据基本模型可知,如图(11),则点B关于x轴对称点P的坐标为(2,-2).直线AP的解析式是y=-x+ . 令y=0,得x=.即所求点Q的坐标是( ,0).
本例(2) ②左右平移抛物线y=x2,因为线段A′B′和CD的长是定值,所以要使四边形A′B′CD的周长最短,只要使A′D+CB′最短;
第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有A′D+CB′>AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短。
第二种情况:设抛物线向左平移了b个单位,则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b,8)和B′(2-b,2).因为CD=2,因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b,2),要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短.点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b,-8),直线A′′B′′的解析式为y=x+b+2 .要使A′D+DB′′最短,点D应在直线A′′B′′上,将点D(-4,0)代入直线A′′B′′的解析式,解得 b=.故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短,此时抛物线的函数解析式为 y=(x+)2. 4.2以非坐标轴直线为对称轴的一次轴对称变换题型
例8.(08年辽宁)如图(13),在直角坐标系中,直线y=-x- 与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-x+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求过A,B,C 三点抛物线的解析式并求出顶点 的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP 为直角三角形,若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小,若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
解析:本例中题(3)也是基本模型的构造,只是对称轴为直线AC,点B或点F关于直线AC的对称点的坐标不易找到。解题的关键是由点A、B、C、F的坐标判断出直线AC⊥BC,∠ABC=30°, ∠BCF=60°,由特殊三角形解得点B关于直线AC的对称点B′(-3,-2) ,如图(14);或点F关于直线AC的对称点H(0,-) ,如图(15);继而求得点M(,-) 。
4.3 以坐标轴直线为对称轴的两次轴对称变换题型
例9.(2006北京市)已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于A(0,3)与x轴交于点B(1,0)、C(5,0)两点,
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式;
(3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达 轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长。
解析:本例中题(3)是这一模型结合二次函数的变式题,解题的关键是弄清图形的位置关系,辨析图形中的折线段(动点的路径)如何能通过一次或几次的轴对称变换,转化为同一直线上的几条线段的和。
显然,由题意可得抛物线的解析式y=x-x+3,画出图形,如图(16),由点M(0, )、点M关于x轴的对称点M′(0, -)和点A(0,3)关于抛物线的对称轴x=3的对称点A′(6,3),运用两次轴对称变换及两点之间线段最短可知ME= M′E,AF= A′F,连结A′M′,A′M′的长就是所求点P运动的最短总路径的长。由勾股定理可求出A′M′= 。所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为 。
【说明】不难看出,如果学生在平时学习过程中经历过模型的提炼、识别和应用,那么在中考此类问题解决过程中就可借助模型进行思考,迅速免除其他附加条件的干扰,从“点到点”的思维模式提升到了“块到块”的思维模式,不但思维过程简洁流畅,而且解题突破快。
5数学模型识别应用的意义
通过上面具体数学模型的提炼识别应用这一过程,我们从解题思想的角度看,这是一种化归思想的实现形式。首先是化生为熟、化归为已解决的问题;其次是化繁为简,化非常规题为标准模式。从思维的角度看,这是思维定势的正迁移。从方法论的角度看,体现了“基本问题”的想法,从“基本问题”出发去解决更多、更复杂的问题。
在解题教学过程中通过模型的识别应用,能培养学生解题反思和模型的提炼识别能力,促进学生牢固掌握基础知识和基本能力,促进知识的有效迁移,同化和深化对问题的理解,提高学生的解题效率。
教师在教学过程中要善于提炼基本数学模型,引导学生识别基本模型,以不变应万变,让那些不易掌握的解题技巧暴露出本质,使学生克服思维障碍,跃上解题能力的新高度。
参考文献:
[1]G.波利亚 怎样解题:数学教学法的新面貌[M].上海:上海科技教育出版社,2002
[2] 罗增儒 数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2001
[3] 袁仲丁 “类化”和“异化”[J].中国数学教育(初中),2006,6
(余杭区良渚中学311113)