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摘要：首次积分法是一种求解非线性偏微分方程解的有效方法，在本文中，我们利用首次积分法获得了推广的Camassa-Holm方程的精确尖波解。
关键词：首次积分法;推广的Camassa-Holm方程;尖波解
中图分类号：O175.29文献标识码：A文章编号：2095-7394（2014）02-0072-04
0引言
非线性波动方程是非线性科学研究的一个重要分支，其求解问题一直是非线性科学研究中的前沿和热点。非线性波动方程精确解的研究不仅有助于理解孤立子理论的本质属性和代数结构，而且对相应自然现象的合理解释及实际应用将起到重要的作用，因此利用各种方法寻求非线性波方程的精确解是一件非常重要而有意义的工作.近年来，许多寻求非线性波方程精确解的方法被提出，如齐次平衡法[1]，tanh-function法[2]，Jacobi椭圆函数展开法[3]，F-展开法[4]，Sub-ODE法[5]，Backlund变换法[6]，Darboux变换法[7]等。
基于交换代数环理论的首次积分法首先由冯[8]在求解Burgers-KDV方程时被提出，最近首次积分法被广泛使用来求非线性波方程的精确解[9-10]。
考虑下面推广的Camassa-Holm方程
ut+2kux-b1uxxx+auux=bux=buxuxx-uuxxx，（1）
本文的主要工作是利用首次积分法获得方程（1）的精确尖波解.
1首次积分法
考虑下面的非线性偏微分方程
Fi（ui，uit，uix，uitt，uixx，uixt，…）=0，i=1，2，…，n，（2）
作行波变换
ui（x，t）=ui（ξ），ξ=x-Vt，（3）
将（2）代入（1），得到下面的常微分方程
Hi（u，u′，u″，…）=0，（4）
引入新变量，设
Xi（ξ）=ui（ξ），Yi（ξ）=X′i（ξ）（5）
由（5）可得常微分方程组
X′i（ξ）=Yi（ξ），（6）
Y′i（ξ）=G（Xi（ξ），Yi（ξ）），（7）
应用除法定理可以得到（6），（7）的一个首次积分，从而将（6），（7）变成一个可以积分的一阶常微分方程，解此常微分方程即可得到方程（2）的精确解。
利用首次积分法要用到如下的除法定理。
除法定理设P（ω，z）和都是复数域上的多项式，P（ω，z）在复数域上不可约，如果P（ω，z）的所有零点都是Q（ω，z）的零点，则一定存在复数域上的多项式G（ω，z），使得Q（ω，z）=P（ω，z）G（ω，z）。
2方程（1）的精确尖波解
假设
u（x，t）=u（ξ），ξ=x-Vt，（8）
其中V是波速.
将（8）代入（1）得到下面的常微分方程
-Vu′+2ku′+Vu+auu′=bu′u+uu，（9）
在（9）中对ξ积分有
R+（2k-V）u+Vu″+a2u2=b-12u′2+uu″，（10）
其中R为积分常数。
江苏理工学院学报第20卷
第2期
马强，江波：首次积分法求非线性微分方程的精确尖波解
由（5），（6）和（7），得到
dXdξ=Y，（11）
dYdξ=R+（2k-V）X+a2X2-b-12Y2X-V，（12）
作如下的变换
dξ=（X-V）dτ，（13）
则有
dXdτ=（X-V）Y，（14）
dYdτ=R+（2k-V）X+α2X2-b-12Y2。（15）
根据首次积分法，设X（ξ），Y（ξ）是方程组（14），（15）的非平凡解且存在复数域上关于X，Y的不可约多项式，使得
Q（X，Y）=∑mi=0ai（X（τ））Y（τ）i=0，（16）
其中ai（X），i=0，1，…，m是关于X的多项式，且am（X）≠0，方程（16）称为（14），（15）的首次积分。由除法定理知存在复数域上的多项式g（X）+h（X）Y使得
dQdτ=QX dXdτ+QY dYdτ=g（X）+h（X）Y∑mi=0ai（X（τ））Y（τ）i。（17）
下面对（16）中m=1的情形进行研究。
令方程（17）两边Yi，i=0，1，2的系数相等，有
a1（X）R+（2k-V）X+a2X2=a0（X）g（X），（18）
a′0（X）（X-V）=a1（X）g（X）=a0（X）h（X），（19）
a′1（X）（X-V）=h（X）+b-12a1（X）。（20）
因为ai（X），i=0，1，h（X）都是多项式，由（20）知h（X）是常数，显然对a0（X），a1（X）最简单的情形是取h（X）=1-b2，从而a1（X）是一个常数，为计算方便，不妨设a1（X）=1。又由（19）知
g（X）=a′0（X）（X-V）-1-b2a0（X），（21）
所以deg（g）X））=deg（a0（X）），进一步结合（18）得deg（g（X））=deg（a0（X））=1.
设a0（X）=A0+A1X，g（X）=B0+B1X，Ai，Bi，i=1，2为待定的常数，将它们代入（18），（21）并令方程两边Xi，i=0，1，2的系数相等，得到下面的代数方程组
A0B0=R，A0B1+A1B0=2k-V，A1B1=a2，1-b2A0+B0=-A1V，1-b2A1+B1=A1，（22） 解方程组得
A0=±2k-V+2bk-bV+aVa（1+b）b，A1=±a1+b，B0=±1+b（2bk-bV-aV-2k+V）2ba，
B1=±a（1+b）2，R=（2bk-bV-aV-2K+V）（2k-V+2bk-bV+aV）2ab2，（23）
将解（23）代入（16）得
Y（τ）=±a1+bX+2k-V+2bk-bV+aVa（1+b）b，（24）
由（24）和方程（11），（12）得
dXdξ=±a1+bX+2k-V+2bk-bV+aVa（1+b）b，（25）
解方程（25）得方程（1）的精确尖波解
u（x，t）=2k-V+2bk-bV+aVab+Ce-a1+b|x-Vt|，（26）
其中C为任意常数。
3结论
本文利用首次积分法成功获得了推广的Camassa-Holm方程的精确尖波解，并且推广了已有的结果。首次积分法是一种行之有效的求解非线性微分方程解的方法，利用它可以求出更多非线性微分方程的解。
参考文献：
[1]Wang M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations[J].Phys，Lett.A，1995，199：169-172.
[2]Parkes E J，Duffy B R.An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to nonlinear evolution equations[J].Comput.Phys.Commun，1996，98：288-300.
[3]Yan Z Y.Abundant families of Jacibo elliptic function solutions of the （2+1）-dimensional integrable Davey-Stewartson -type eqution via a new method[J].Chaos.Soliton.Fract，2003，18：299-309.
[4]Wang M L，Li X Z，Zhang J L.Sub-ODE method and solitary wave solutions for higher order nonlinear Schrodinger equation[J].Phys.Lett.A，2007，363：96-101.
[5]Chen Y，Li B，Zhang H Q.Auto-Backlund transformation and exact solutions for modified nonlinear dispersive mK（m，n） equations[J].Chaos.Soliton.Fract，2003，17：693.
[6]Matveev V B，Salle M A.Darbooux Transformation and Soliton[M].Berlin：Springer，1991.
[7]Feng Z S.The first integral method to study the Burgers-KDV equation[J].J.Phys.A：Math.Gen，2002 ，35：343-349 .
[8]Feng Z S，Wang X H.The first integral method to the two-dimensional Burgers-KDV equation[J].Phys.Lett.A，2003，308：173-178.
[9]Raslan K R .The first integral method for solving some important nonliear partial differential equations[J].Nonlinear Dynam，2008，53 ：281.
[10]Deng X J.Exact peaked wave solution of CH- equation by the first integral method[J].Appl.Math.Comput，2008，206 ：321-326.
关键词：首次积分法;推广的Camassa-Holm方程;尖波解
中图分类号：O175.29文献标识码：A文章编号：2095-7394（2014）02-0072-04
0引言
非线性波动方程是非线性科学研究的一个重要分支，其求解问题一直是非线性科学研究中的前沿和热点。非线性波动方程精确解的研究不仅有助于理解孤立子理论的本质属性和代数结构，而且对相应自然现象的合理解释及实际应用将起到重要的作用，因此利用各种方法寻求非线性波方程的精确解是一件非常重要而有意义的工作.近年来，许多寻求非线性波方程精确解的方法被提出，如齐次平衡法[1]，tanh-function法[2]，Jacobi椭圆函数展开法[3]，F-展开法[4]，Sub-ODE法[5]，Backlund变换法[6]，Darboux变换法[7]等。
基于交换代数环理论的首次积分法首先由冯[8]在求解Burgers-KDV方程时被提出，最近首次积分法被广泛使用来求非线性波方程的精确解[9-10]。
考虑下面推广的Camassa-Holm方程
ut+2kux-b1uxxx+auux=bux=buxuxx-uuxxx，（1）
本文的主要工作是利用首次积分法获得方程（1）的精确尖波解.
1首次积分法
考虑下面的非线性偏微分方程
Fi（ui，uit，uix，uitt，uixx，uixt，…）=0，i=1，2，…，n，（2）
作行波变换
ui（x，t）=ui（ξ），ξ=x-Vt，（3）
将（2）代入（1），得到下面的常微分方程
Hi（u，u′，u″，…）=0，（4）
引入新变量，设
Xi（ξ）=ui（ξ），Yi（ξ）=X′i（ξ）（5）
由（5）可得常微分方程组
X′i（ξ）=Yi（ξ），（6）
Y′i（ξ）=G（Xi（ξ），Yi（ξ）），（7）
应用除法定理可以得到（6），（7）的一个首次积分，从而将（6），（7）变成一个可以积分的一阶常微分方程，解此常微分方程即可得到方程（2）的精确解。
利用首次积分法要用到如下的除法定理。
除法定理设P（ω，z）和都是复数域上的多项式，P（ω，z）在复数域上不可约，如果P（ω，z）的所有零点都是Q（ω，z）的零点，则一定存在复数域上的多项式G（ω，z），使得Q（ω，z）=P（ω，z）G（ω，z）。
2方程（1）的精确尖波解
假设
u（x，t）=u（ξ），ξ=x-Vt，（8）
其中V是波速.
将（8）代入（1）得到下面的常微分方程
-Vu′+2ku′+Vu+auu′=bu′u+uu，（9）
在（9）中对ξ积分有
R+（2k-V）u+Vu″+a2u2=b-12u′2+uu″，（10）
其中R为积分常数。
江苏理工学院学报第20卷
第2期
马强，江波：首次积分法求非线性微分方程的精确尖波解
由（5），（6）和（7），得到
dXdξ=Y，（11）
dYdξ=R+（2k-V）X+a2X2-b-12Y2X-V，（12）
作如下的变换
dξ=（X-V）dτ，（13）
则有
dXdτ=（X-V）Y，（14）
dYdτ=R+（2k-V）X+α2X2-b-12Y2。（15）
根据首次积分法，设X（ξ），Y（ξ）是方程组（14），（15）的非平凡解且存在复数域上关于X，Y的不可约多项式，使得
Q（X，Y）=∑mi=0ai（X（τ））Y（τ）i=0，（16）
其中ai（X），i=0，1，…，m是关于X的多项式，且am（X）≠0，方程（16）称为（14），（15）的首次积分。由除法定理知存在复数域上的多项式g（X）+h（X）Y使得
dQdτ=QX dXdτ+QY dYdτ=g（X）+h（X）Y∑mi=0ai（X（τ））Y（τ）i。（17）
下面对（16）中m=1的情形进行研究。
令方程（17）两边Yi，i=0，1，2的系数相等，有
a1（X）R+（2k-V）X+a2X2=a0（X）g（X），（18）
a′0（X）（X-V）=a1（X）g（X）=a0（X）h（X），（19）
a′1（X）（X-V）=h（X）+b-12a1（X）。（20）
因为ai（X），i=0，1，h（X）都是多项式，由（20）知h（X）是常数，显然对a0（X），a1（X）最简单的情形是取h（X）=1-b2，从而a1（X）是一个常数，为计算方便，不妨设a1（X）=1。又由（19）知
g（X）=a′0（X）（X-V）-1-b2a0（X），（21）
所以deg（g）X））=deg（a0（X）），进一步结合（18）得deg（g（X））=deg（a0（X））=1.
设a0（X）=A0+A1X，g（X）=B0+B1X，Ai，Bi，i=1，2为待定的常数，将它们代入（18），（21）并令方程两边Xi，i=0，1，2的系数相等，得到下面的代数方程组
A0B0=R，A0B1+A1B0=2k-V，A1B1=a2，1-b2A0+B0=-A1V，1-b2A1+B1=A1，（22） 解方程组得
A0=±2k-V+2bk-bV+aVa（1+b）b，A1=±a1+b，B0=±1+b（2bk-bV-aV-2k+V）2ba，
B1=±a（1+b）2，R=（2bk-bV-aV-2K+V）（2k-V+2bk-bV+aV）2ab2，（23）
将解（23）代入（16）得
Y（τ）=±a1+bX+2k-V+2bk-bV+aVa（1+b）b，（24）
由（24）和方程（11），（12）得
dXdξ=±a1+bX+2k-V+2bk-bV+aVa（1+b）b，（25）
解方程（25）得方程（1）的精确尖波解
u（x，t）=2k-V+2bk-bV+aVab+Ce-a1+b|x-Vt|，（26）
其中C为任意常数。
3结论
本文利用首次积分法成功获得了推广的Camassa-Holm方程的精确尖波解，并且推广了已有的结果。首次积分法是一种行之有效的求解非线性微分方程解的方法，利用它可以求出更多非线性微分方程的解。
参考文献：
[1]Wang M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations[J].Phys，Lett.A，1995，199：169-172.
[2]Parkes E J，Duffy B R.An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to nonlinear evolution equations[J].Comput.Phys.Commun，1996，98：288-300.
[3]Yan Z Y.Abundant families of Jacibo elliptic function solutions of the （2+1）-dimensional integrable Davey-Stewartson -type eqution via a new method[J].Chaos.Soliton.Fract，2003，18：299-309.
[4]Wang M L，Li X Z，Zhang J L.Sub-ODE method and solitary wave solutions for higher order nonlinear Schrodinger equation[J].Phys.Lett.A，2007，363：96-101.
[5]Chen Y，Li B，Zhang H Q.Auto-Backlund transformation and exact solutions for modified nonlinear dispersive mK（m，n） equations[J].Chaos.Soliton.Fract，2003，17：693.
[6]Matveev V B，Salle M A.Darbooux Transformation and Soliton[M].Berlin：Springer，1991.
[7]Feng Z S.The first integral method to study the Burgers-KDV equation[J].J.Phys.A：Math.Gen，2002 ，35：343-349 .
[8]Feng Z S，Wang X H.The first integral method to the two-dimensional Burgers-KDV equation[J].Phys.Lett.A，2003，308：173-178.
[9]Raslan K R .The first integral method for solving some important nonliear partial differential equations[J].Nonlinear Dynam，2008，53 ：281.
[10]Deng X J.Exact peaked wave solution of CH- equation by the first integral method[J].Appl.Math.Comput，2008，206 ：321-326.