【摘要】该文首先介绍了所讨论问题的背景以及一般的研究方法，给出了一些重要的概念和定理.之后介绍了一阶常微分方程初值问题的上下解方法，用上下解方法讨论了一阶常微分方程解的存在性和唯一性.
　　【关键词】常微分方程；初值问题；上下解方法
　　非线性泛函分析是现代分析的一个主要分支，已成为现代数学中重要的研究方向之一，它是处理许多非线性问题的重要和有力工具，其主要研究方法有：上下解方法、迭合度理论、不动点理论、变分法等，它们可以对非线性问题给出合理而精确的解释，特别在解决微分方程问题中更是有其重大意义.在微分方程研究中，上下解方法是一种很常用的方法，该文讨论了一阶常微分方程初值问题：u′=f(t,u),u(0)=x0，得到解的迭代原理以及解的存在性和唯一性.
　　1.上下解的概念
　　该文给出一阶常微分方程初值问题上下解的概念，主要讨论初值问题.
　　u′=f(t,u),u(0)=x0.(1.1)
　　其中f(t,x)：J×R1→R1连续.
　　设T>0为常数，J=［0,T］，C(J,R1)={u(t)|u(t):J→R1连续}，且C(J,R1)中的半序由锥P={u∈C(J,R1)|u(t)≥0,vt∈J}导出，C1(J,R1)={u(t)|u(t):J→R1连续可微}.
　　定义1 若v′(t)∈C1(J,R1)满足
　　v′(t)≤f(t,v(t)),vt∈J,v(0)≤x0.(1.2)
　　则称v(t)是初值问题(1.1)的一个下解;
　　若w′(t)≥C1(J,R1)满足
　　w′(t)≥f(t,w(t)),vt∈J,w(0)≥x0.(1.3)
　　则称w(t)是初值问题(1.1)的一个上解.
　　2.上下解方法的应用
　　主要给出利用上下解方法所得到的一阶常微分方程初值问题(1.1)解的存在性和唯一性.
　　定理1 设v(t),w(t)∈C1(J,R1)分别是初值问题(1.1)的下解和上解.若存在常数L>0，使得f(t,x)-f(t,y)≤L(x-y),对vt∈J，x≥y,则v(t)≤w(t),vt∈J.
　　定理2 设存在常数L>0,使得f(t,x)-f(t,y)≤L(x-y),对vt∈J，x≥y，则初值问题(1.1)至多有一个定义在J上的解.
　　定理3 设f(t,x):J×R1→R1连续,v0(t),w0(t)∈C1(J,R1)分别是初值问题(1.1)的下解和上解，v0(t)≤w0(t)，vt∈J.又设存在常数M≥0，使得f(t,x)-f(t,y)≥-M(x-y),v(t,x)∈D1,y≤x,其中D1={(t,x)∈J×R1|v0(t)≤x≤w0(t)}，则初值问题(1.1)在D={u∈C(J,R1)|v0(t)≤u≤w0(t)}中必有最小解v*(t)和最大解w*(t)，并且分别以v0(t)，w0(t)为初始元，作迭代序列：
　　vn(t)=e-Mt{x0+∫t0eMs［f(s,vn-1(s))+Mvn-1(s)］ds}，n=1,2,3,….
　　wn(t)=e-Mt{x0+∫t0eMs［f(s,wn-1(s))+Mwn-1(s)］ds}，n=1,2,3,….
　　则{vn(t)},{wn(t)}分别在J上单调一致收敛于v*(t)，w*(t).
　　定理4 设f(t,x):J×R1连续，v0(t)，w0(t)∈C1(J，R1)分别是初值问题(1.1)的下解和上解，v0(t)≤w0(t)，vt∈J，则初值问题(1.1)在D={u∈C(J,R1)|v0(t)≤u≤w0(t)}中至少有一个解.
　　定理5 设f(t,x):J×R1→R1连续，v0(t),w0(t)∈C1(J,R1)分别是初值问题(1.1)的下解和上解.若存在常数L>0，使得f(t,x)-f(t,y)≤L(x-y),对vt∈J，x≥y,则初值问题(1.1)有唯一解且在D={u∈C(J,R1)|v0(t)≤u≤w0(t)}中.
　　证明 由于v0(t)，w0(t)∈C1(J,R1)分别是初值问题(1.1)的下解和上解，且存在常数L>0，使得f(t,x)-f(t,y)≤L(x-y),对vt∈J，x≥y,则由定理1知，v0(t)≤w0(t)，vt∈J，由定理2，定理4，则初值问题(1.1)有唯一解且在D={u∈C(J,R1)|v0(t)≤u≤w0(t)}中.
　　定理6 设f(t,x):J×R1→R1连续，f(t,x)≤f(t,y)，对vt∈J，x≥y,则初值问题(1.1)在J上有唯一解.
　　证明 由于f(t,x):J×R1→R1连续，f(t,x)≤f(t,y)，对vt∈J，x≥y,则显然必存在常数L>0，使得f(t,x)-f(t,y)≤L(x-y),对vt∈J，x≥y.又由上下解存在定理知，存在上下解，则由定理5知初值问题(1.1)在J上有唯一解.
　　3.结束语
　　该文对于一阶常微分方程初值问题，得到该方程的上下解存在定理，运用上下解方法得到最大最小拟解的存在性和单调迭代原理，同时得到初值问题上下解的大小关系、解的存在性定理和在有解的情况下解的估计.文章中运用上下解方法得到了证明了一些定理，充分说明了一阶常微分方程解的存在性和唯一性.
　　【参考文献】
　　［1］郭大钧，孙经先，刘兆理.非线性常微分方程泛函方法［M］.济南：山东科学技术出版社，2005.
　　［2］刘笑颖.Banach空间含间断项的微分——积分方程终值问题的解［J］.数学杂志，2004(3).
　　［3］吕亚峰.几类微分方程边值问题解的存在性［J］.曲阜师范大学学报，2004.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文