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摘要：“拓展延伸”这一课堂环节，常常被单一片面的难题探究垄断，学生在学习了新的知识与方法后，大多无法从中获取应有的信心、拓宽视野、引发思考，相反还会被难题“吓倒”，不敢深入开展后续学习。本文就此提出了几个有效的“拓展延伸”方法，并举例说明。
关键词：数学课堂;拓展延伸;方法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）03-020
数学教学活动，特别是数学课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。[1]在初中数学课堂教学中，“拓展延伸”这一环节常常被单一的难题探究代替，长此以往，学生的视野被局限，这对增强学生的数学学习兴趣、提高学生的数学素养很不利。本文从几则实例出发，谈一谈设计“拓展延伸”这一环节的不同方法。
一、体现核心素养，发展应用意识
《数学课程标准（2011版）》提出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。学生在数学学习中应经历实际问题、数学抽象、数学问题、解释实际的过程，即从实际问题中抽象出数学问题、解决数学问题、用数学问题解释实际问题这样的过程。同时发展的还要有应用意识，学生能学会用数学的眼光看问题，用数学的方法解决问题，用数学的思维反思问题。
以“反比例函数”这节概念课为例，本节课可以设置如下“拓展延伸”：对于反比例函数表达式y=20x，它还可以表示怎样的实际问题中变量之间的关系呢？请你举例说明。
情境一：（行程问题）甲乙两地之间相距20km，某人从甲地到乙地所需的時间y与速度x之间的关系可以表示为y=20x;
情境二：（销售问题）已知买某种水果共用20元，所买水果的数量y与单价x之间的关系可以表示为y=20x;
情境三：（面积问题）已知一个长方形的面积为20m2，长方形的长y与宽x之间的关系可以表示为y=20x;
情境四：（压强问题）某木板承受的压力为20N，该木板对地面的压强y与木板面积x之间的关系可以表示为y=20x;
……
从渗透模型思想的角度设置“拓展延伸”的问题，有效发展学生的应用意识，既能培养学生的核心素养，又能充分联系整个学段里学生常见的实际背景。与此类似的还有一次函数、一元一次方程、分式等，都可以以此设问，巩固所学新知，发展应用意识。
二、体现数学文化，涵育数学素养
数学文化作为数学课程中不可缺少的一员，对培养学生热爱数学的情怀，提升学生的数学素养意义重大。实际教学中，教师往往重思想方法，轻数学文化、重解题分析，轻教育价值。基于数学文化的教学设计中，我们可以通过数学家的故事、数学知识的产生发展过程、“做数学”的不同方式等多维切入，让学生在有趣、有味、有蕴的拓展延伸中潜移默化地提升自身综合数学素养。
案例1 勾股定理 “拓展延伸”环节，请同学们观看小视频“数学史的大事件——勾股定理发展简史”，在视频中了解中国有记载的《周髀算经》中对勾股定理得记载与证明，了解毕达哥拉斯学派发现勾股定理的经过与典故，同时提出勾股定理的证明又有怎样的方法与故事呢？激发学生的兴趣，引发学生的主动思考。
案例2 黄金分割 认识了黄金分割的概念后，“拓展延伸”环节呈现了黄金分割的历史，黄金分割在摄影、音乐、美术等艺术创作中的实例以及黄金分割在建筑艺术、人体美学中的应用，还包括鹦鹉螺壳的排列规律、夏天空调的人体最适宜温度、地球纬度的黄金地带、国歌的曲谱节奏划分等等。从自然到社会，处处可见黄金分割的影子。学生从中感受到数学之美，无比震撼。
案例3 实数 经历了数由“自然数→有理数→无理数→实数”不断扩充的过程，让学生真实感受数是应需要而生的。从远古人类的计数需要，到减法产生0，再到费马、欧拉、哥德马赫、陈景润等数学家们对数的痴迷研究，从分数、负数的引进，再到毕达哥拉斯学派发现无理数的存在，自然引发学生对实数以外的数（虚数、复数）的向往。在此过程中学生不断体会人类理性思维的伟大力量，对数学体系的系统性、严密性有了更多的认识与感悟。
选择适当的课例，通过图片、动画、小视频等多种形式呈现数学史的相关内容，一方面增强课堂趣味性，另一方面引导学生在充实高效的课堂学习之后感受数学的博大精深，感受几何学的发展历程与数学的简洁严谨之美，学习数学家坚持不懈、追求真理的科学精神，发挥数学学科育人的功效。
三、体现知识结构，培养整体观念
基于整体观的整体性教学，可以充分体现知识结构，培养学生的系统思维。教师应从基本知识、基本技能、基本活动经验与基本思想方法等不同角度进行整体性教学设计，长期渗透学生的全局意识、整体观都将得以提升。
案例 章节起始课“反比例函数”“拓展延伸”环节问题设置如下：认识了反比例函数的概念之后，你能说说接下来要研究什么内容吗？
生1：反比例函数的图像和性质。
生2：我认为还有反比例函数的应用，反比例函数与方程的关系。
师：你是怎么知道接下来的学习内容的呢？
生3：反比例函数也是函数的一种，所以我们可以类比已经学过的一次函数来研究它。一次函数的学习我们经历了“认识一次函数的概念→探究一次函数的图像与性质→应用一次函数解决问题→探究一次函数与方程、不等式的关系”这样的学习套路，我想反比例函数应该也是这样的研究方向。
师：大家总结得非常好，反比例函数是函数的一种，它的研究一定符合函数的一般套路，也就是说，我们可以用整体的眼光来看待今天所学的反比例函数，把它归到已有的函数体系中，那么未来的学习就尽在我们的掌握之中了。
纵观初中数学课程内容，分式、分式方程、一元二次方程、二次函数等代数内容，四边形、圆、锐角三角函数等几何内容都可以以此拓展，数学思想方法也应保持整体一致性，学生在螺旋式的学习过程中不断感悟知识结构的整体性，自身的知识体系也将日益完善。
（作者单位：南京市竹山中学，江苏 南京210000）
关键词：数学课堂;拓展延伸;方法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）03-020
数学教学活动，特别是数学课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。[1]在初中数学课堂教学中，“拓展延伸”这一环节常常被单一的难题探究代替，长此以往，学生的视野被局限，这对增强学生的数学学习兴趣、提高学生的数学素养很不利。本文从几则实例出发，谈一谈设计“拓展延伸”这一环节的不同方法。
一、体现核心素养，发展应用意识
《数学课程标准（2011版）》提出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。学生在数学学习中应经历实际问题、数学抽象、数学问题、解释实际的过程，即从实际问题中抽象出数学问题、解决数学问题、用数学问题解释实际问题这样的过程。同时发展的还要有应用意识，学生能学会用数学的眼光看问题，用数学的方法解决问题，用数学的思维反思问题。
以“反比例函数”这节概念课为例，本节课可以设置如下“拓展延伸”：对于反比例函数表达式y=20x，它还可以表示怎样的实际问题中变量之间的关系呢？请你举例说明。
情境一：（行程问题）甲乙两地之间相距20km，某人从甲地到乙地所需的時间y与速度x之间的关系可以表示为y=20x;
情境二：（销售问题）已知买某种水果共用20元，所买水果的数量y与单价x之间的关系可以表示为y=20x;
情境三：（面积问题）已知一个长方形的面积为20m2，长方形的长y与宽x之间的关系可以表示为y=20x;
情境四：（压强问题）某木板承受的压力为20N，该木板对地面的压强y与木板面积x之间的关系可以表示为y=20x;
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从渗透模型思想的角度设置“拓展延伸”的问题，有效发展学生的应用意识，既能培养学生的核心素养，又能充分联系整个学段里学生常见的实际背景。与此类似的还有一次函数、一元一次方程、分式等，都可以以此设问，巩固所学新知，发展应用意识。
二、体现数学文化，涵育数学素养
数学文化作为数学课程中不可缺少的一员，对培养学生热爱数学的情怀，提升学生的数学素养意义重大。实际教学中，教师往往重思想方法，轻数学文化、重解题分析，轻教育价值。基于数学文化的教学设计中，我们可以通过数学家的故事、数学知识的产生发展过程、“做数学”的不同方式等多维切入，让学生在有趣、有味、有蕴的拓展延伸中潜移默化地提升自身综合数学素养。
案例1 勾股定理 “拓展延伸”环节，请同学们观看小视频“数学史的大事件——勾股定理发展简史”，在视频中了解中国有记载的《周髀算经》中对勾股定理得记载与证明，了解毕达哥拉斯学派发现勾股定理的经过与典故，同时提出勾股定理的证明又有怎样的方法与故事呢？激发学生的兴趣，引发学生的主动思考。
案例2 黄金分割 认识了黄金分割的概念后，“拓展延伸”环节呈现了黄金分割的历史，黄金分割在摄影、音乐、美术等艺术创作中的实例以及黄金分割在建筑艺术、人体美学中的应用，还包括鹦鹉螺壳的排列规律、夏天空调的人体最适宜温度、地球纬度的黄金地带、国歌的曲谱节奏划分等等。从自然到社会，处处可见黄金分割的影子。学生从中感受到数学之美，无比震撼。
案例3 实数 经历了数由“自然数→有理数→无理数→实数”不断扩充的过程，让学生真实感受数是应需要而生的。从远古人类的计数需要，到减法产生0，再到费马、欧拉、哥德马赫、陈景润等数学家们对数的痴迷研究，从分数、负数的引进，再到毕达哥拉斯学派发现无理数的存在，自然引发学生对实数以外的数（虚数、复数）的向往。在此过程中学生不断体会人类理性思维的伟大力量，对数学体系的系统性、严密性有了更多的认识与感悟。
选择适当的课例，通过图片、动画、小视频等多种形式呈现数学史的相关内容，一方面增强课堂趣味性，另一方面引导学生在充实高效的课堂学习之后感受数学的博大精深，感受几何学的发展历程与数学的简洁严谨之美，学习数学家坚持不懈、追求真理的科学精神，发挥数学学科育人的功效。
三、体现知识结构，培养整体观念
基于整体观的整体性教学，可以充分体现知识结构，培养学生的系统思维。教师应从基本知识、基本技能、基本活动经验与基本思想方法等不同角度进行整体性教学设计，长期渗透学生的全局意识、整体观都将得以提升。
案例 章节起始课“反比例函数”“拓展延伸”环节问题设置如下：认识了反比例函数的概念之后，你能说说接下来要研究什么内容吗？
生1：反比例函数的图像和性质。
生2：我认为还有反比例函数的应用，反比例函数与方程的关系。
师：你是怎么知道接下来的学习内容的呢？
生3：反比例函数也是函数的一种，所以我们可以类比已经学过的一次函数来研究它。一次函数的学习我们经历了“认识一次函数的概念→探究一次函数的图像与性质→应用一次函数解决问题→探究一次函数与方程、不等式的关系”这样的学习套路，我想反比例函数应该也是这样的研究方向。
师：大家总结得非常好，反比例函数是函数的一种，它的研究一定符合函数的一般套路，也就是说，我们可以用整体的眼光来看待今天所学的反比例函数，把它归到已有的函数体系中，那么未来的学习就尽在我们的掌握之中了。
纵观初中数学课程内容，分式、分式方程、一元二次方程、二次函数等代数内容，四边形、圆、锐角三角函数等几何内容都可以以此拓展，数学思想方法也应保持整体一致性，学生在螺旋式的学习过程中不断感悟知识结构的整体性，自身的知识体系也将日益完善。
（作者单位：南京市竹山中学，江苏 南京210000）