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在我们数学学习过程中,有一个恒等式大家一定都很熟悉—|m+n|2-|m-n|2=4mn,其实这个恒等式在解题中有着独到的作用。由这个不等式不难推出如下结论:
结论一:设mn等于常数P
(1)当|m-n|取最小值x0时,|m+n|取最个小值■;
(2)当|m-n|取最大值y0时,|m+n|取最大值■;
(3)当|m+n|取最小值x0时,|m-n|取最小值■;
(4)当|m+n|取最大值y0时,|m-n|取最大值■.
结论二:设|m+n|等于常数S.
(1)当|m-n|取最小值x0时,mn取最大值■(S2-x02);
(2)当|m-n|取最大值y0时,mn取最小值■(S2-y02);
结论三:设|m-n|等于常数S.
(1)当|m+n|取最小值x0时,mn取最小值■■;
(2)当|m+n|取最大值y0时,mn取最大值■(y02-S2).
以上结论看似较多,其实做题时根据式子结构特点,写出原恒等式具体分析即可,
不要死记这些结论。分析以上结论可以发现,由此可巧妙解决一些最值问题(二元均值不等式仅是它的特例)。
例1 已知a>0,b>0,求函数f(x)=bx+■(0 分析:本例内容及变式多次被高考选用,因而掌握好它的解法是十分必要的,抓住题中隐含的|bx+■|2-|bx-■|2=4ab|,对比恒等式|m+n|2-|m-n|2=4mn及其推论,注意到a,b,x∈R+,变形得:f(x)=bx+■=■
当且仅当|bx-■|取最小值时f(x)取最小值.
令bx-■=0解得.x=■
(1)若c≥■,则当x=■即|bx-■|=0时,f(x)取最小值2■.
(2)若c<■,由0 得bx<■,则|bx-■|=■+(-bx)
由于■、-bx都是(0,c]的x的减函数,则|bx-■|也是(0,c]上的x的减函数,当x取最大值c时,|bx-■|取最小值,f(x)min=f(c)=bx+■.
例2 周长为定值P的矩形的面积最大值等于______
分析:设矩形的长、宽分别为x,y,则x+y=■P.
于是由|m+n|2-|m-n|2=4mn得矩形面积S=xy=■P2-■|x-y|2,当x=y时,|xy-|取最小值0,从而Smax=■P2.
例3 求函数y=■(x≤-4)的值域.
分析:设x+2=t,由x≤-4知t≤-2,则
y=■(t≤-2),则■=t+■
|t+■|2-|t-■|2=4即|t+■|=■,由t≤-2知t<■,|t-■|=■+(-t)在(-∞,-2]上是减函数.
当t=-2时(此时x=-4),|t-■|取最小值,|t+■|取最小值|-2+■|=■,即■≥■,|y|≤■,又由■=t+■(t≤-2)知y<0,从而得到函数的值域:{y|-■≤y<0}.
例4 求函数y=(sin2x+1)(cos2x+3)的值域.
分析:[(sin2x+1)+(cos2x+3)]2-[(sin2x+1)-(cos2x+3)]2
=4(sin2x+1)(cos2x+3)=4y
整理得 y=-■(sin2x-cos2x-2)2+■
=-■|cos2x+2|2+■
从而由1≤|cos2x+2|≤3可推出函数的值域:{y|4≤y≤6}.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
结论一:设mn等于常数P
(1)当|m-n|取最小值x0时,|m+n|取最个小值■;
(2)当|m-n|取最大值y0时,|m+n|取最大值■;
(3)当|m+n|取最小值x0时,|m-n|取最小值■;
(4)当|m+n|取最大值y0时,|m-n|取最大值■.
结论二:设|m+n|等于常数S.
(1)当|m-n|取最小值x0时,mn取最大值■(S2-x02);
(2)当|m-n|取最大值y0时,mn取最小值■(S2-y02);
结论三:设|m-n|等于常数S.
(1)当|m+n|取最小值x0时,mn取最小值■■;
(2)当|m+n|取最大值y0时,mn取最大值■(y02-S2).
以上结论看似较多,其实做题时根据式子结构特点,写出原恒等式具体分析即可,
不要死记这些结论。分析以上结论可以发现,由此可巧妙解决一些最值问题(二元均值不等式仅是它的特例)。
例1 已知a>0,b>0,求函数f(x)=bx+■(0
当且仅当|bx-■|取最小值时f(x)取最小值.
令bx-■=0解得.x=■
(1)若c≥■,则当x=■即|bx-■|=0时,f(x)取最小值2■.
(2)若c<■,由0
由于■、-bx都是(0,c]的x的减函数,则|bx-■|也是(0,c]上的x的减函数,当x取最大值c时,|bx-■|取最小值,f(x)min=f(c)=bx+■.
例2 周长为定值P的矩形的面积最大值等于______
分析:设矩形的长、宽分别为x,y,则x+y=■P.
于是由|m+n|2-|m-n|2=4mn得矩形面积S=xy=■P2-■|x-y|2,当x=y时,|xy-|取最小值0,从而Smax=■P2.
例3 求函数y=■(x≤-4)的值域.
分析:设x+2=t,由x≤-4知t≤-2,则
y=■(t≤-2),则■=t+■
|t+■|2-|t-■|2=4即|t+■|=■,由t≤-2知t<■,|t-■|=■+(-t)在(-∞,-2]上是减函数.
当t=-2时(此时x=-4),|t-■|取最小值,|t+■|取最小值|-2+■|=■,即■≥■,|y|≤■,又由■=t+■(t≤-2)知y<0,从而得到函数的值域:{y|-■≤y<0}.
例4 求函数y=(sin2x+1)(cos2x+3)的值域.
分析:[(sin2x+1)+(cos2x+3)]2-[(sin2x+1)-(cos2x+3)]2
=4(sin2x+1)(cos2x+3)=4y
整理得 y=-■(sin2x-cos2x-2)2+■
=-■|cos2x+2|2+■
从而由1≤|cos2x+2|≤3可推出函数的值域:{y|4≤y≤6}.
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