在我们数学学习过程中，有一个恒等式大家一定都很熟悉—|m+n|2-|m-n|2=4mn，其实这个恒等式在解题中有着独到的作用。由这个不等式不难推出如下结论：
　　结论一：设mn等于常数P
　　（1）当|m-n|取最小值x0时，|m+n|取最个小值■；
　　（2）当|m-n|取最大值y0时，|m+n|取最大值■；
　　（3）当|m+n|取最小值x0时，|m-n|取最小值■；
　　（4）当|m+n|取最大值y0时，|m-n|取最大值■.
　　结论二：设|m+n|等于常数S.
　　（1）当|m-n|取最小值x0时，mn取最大值■（S2-x02）；
　　（2）当|m-n|取最大值y0时，mn取最小值■（S2-y02）；
　　结论三：设|m-n|等于常数S.
　　（1）当|m+n|取最小值x0时，mn取最小值■■；
　　（2）当|m+n|取最大值y0时，mn取最大值■（y02-S2）.
　　以上结论看似较多，其实做题时根据式子结构特点，写出原恒等式具体分析即可，
　　不要死记这些结论。分析以上结论可以发现，由此可巧妙解决一些最值问题（二元均值不等式仅是它的特例）。
　　例1 已知a>0，b>0，求函数f(x)=bx+■(0　　分析：本例内容及变式多次被高考选用，因而掌握好它的解法是十分必要的，抓住题中隐含的|bx+■|2-|bx-■|2=4ab|，对比恒等式|m+n|2-|m-n|2=4mn及其推论，注意到a，b，x∈R+，变形得:f(x)=bx+■=■
　　 当且仅当|bx-■|取最小值时f(x)取最小值.
　　令bx-■=0解得.x=■
　　（1）若c≥■，则当x=■即|bx-■|=0时，f(x)取最小值2■.
　　（2）若c<■，由0　　得bx<■，则|bx-■|=■+(-bx)
　　由于■、-bx都是(0,c]的x的减函数,则|bx-■|也是(0,c]上的x的减函数，当x取最大值c时，|bx-■|取最小值，f(x)min=f(c)=bx+■.
　　例2 周长为定值P的矩形的面积最大值等于______
　　分析：设矩形的长、宽分别为x,y，则x+y=■P.
　　于是由|m+n|2-|m-n|2=4mn得矩形面积S=xy=■P2-■|x-y|2，当x=y时，|xy-|取最小值0，从而Smax=■P2.
　　例3 求函数y=■(x≤-4)的值域.
　　分析：设x+2=t，由x≤-4知t≤-2，则
　　y=■（t≤-2），则■=t+■
　　|t+■|2-|t-■|2=4即|t+■|=■，由t≤-2知t<■,|t-■|=■+(-t)在(-∞，-2]上是减函数.
　　当t=-2时（此时x=-4），|t-■|取最小值，|t+■|取最小值|-2+■|=■，即■≥■，|y|≤■，又由■=t+■（t≤-2）知y<0，从而得到函数的值域：{y|-■≤y<0}.
　　例4 求函数y=(sin2x+1)(cos2x+3)的值域.
　　分析：[(sin2x+1)+(cos2x+3)]2-[(sin2x+1)-(cos2x+3)]2
　　 =4(sin2x+1)(cos2x+3)=4y
　　整理得 y=-■(sin2x-cos2x-2)2+■
　　 =-■|cos2x+2|2+■
　　从而由1≤|cos2x+2|≤3可推出函数的值域：{y|4≤y≤6}.
　　
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