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说到比较，在各科教学中都很常见。著名教育家乌申斯基就说过：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”《现代汉语词典》对“比较”的解释是：“就两种或两种以上同类的事物辨别异同或高下。”布鲁姆等人确定的认知目标领域中，比较是“理解”“分析”“评价”水平上的具体行为动词，也就是说，比较是理性思维在具体学习行为上的“投射”。那么，如何运用比较来积累数学思维活动经验呢？结合教学实例，我从以下几方面进行了探究。
一、“求同”，积累归纳的经验
（一）“异”中求“同”
数学知识中有很多内容都有紧密的联系，许多知识内容看似基本上没有任何联系，但是对题目进行仔细分析后，反而能发掘出其中的共同特性，而掌握这些特性就能积累更多数学的经验，有效归纳数学知识，领悟数学思维逻辑。因此，在教学中，教师要有意识地引导学生对一些貌似迥异的数学材料进行分析，让学生比较隐藏其中的共性特性，进而归纳出该知识的本质特点，让学生经历从“眼前之竹”的“异”升华到“胸中之竹”的“同”。
在教学苏教版教材“分数的认识”一课时，学生通过“折一折”“涂一涂”表示出一张长方形纸的“二分之一”。当学生展示各不相同的作品时（有的横着对折，有的竖着对折，还有的斜着对折，得到的形状有长方形、三角形等），教师抛出问题：分的结果不同，为什么涂色部分都是长方形的二分之一呢？引发学生对这些作品进行比较，透过表面的“异”发现这些作品内蕴的“同”：都是把长方形平均分成两份，涂色的是其中的一份。在这里，操作是为比较提供素材，而“异中求同”则是为了突出了分数的本质特征，当学生找到了其间的共性时，“二分之一”这个分数的意义也就呼之欲出了。
（二）“变”中求“同”
数学理论知识内容的起源其实都是从生活实践中变化而来的，这也是数学的魅力，也是因为有变化，所以才会出现多样、复杂的数学公式和理论，但是其中也有很多的共同点，因为对于作答相同的题目，利用经过不同变化的理论，反而会得出同样的答案。因此，变化是永恒的，从“变”的角度发现“同”，也就是函数思想的运用。在苏教版教材小学数学的各个阶段，均有函数思想的渗透，积累这样的思维经验，能为今后进一步学习奠定思维基础。
在苏教版教材“多边形的内角和”一课中，学生探索多边形内角和计算方法时，他们已有知识基础是“三角形的内角和为180度”。教师可依次呈现四边形、五边形、六边形，让学生动手分一分，感受可分成的三角形个数的变化规律：四边形可分成两个三角形，五边形可分成三个三角形……随着边数的增加，可分成的三角形个数也相应增加。在此基础上，让学生说说有没有发现什么规律。学生很快就能发现，三角形的个数总是比边数少2，也就是说，不断变化的三角形的个数和多边形的边数之间存在一定的数量关系。至此，学生得出数量关系式：三角形的个数=多边形的边数-2。从“变化”中寻求“不变”，逐步揭示了变化中蕴含的恒定规律，这正是数学思维的魅力所在。
二、“辨异”，积累分析的经验
（一）执果索“异”
结果往往是学习中学生最能直观感受数学逻辑的材料。前面讲到，数学理论源自生活实际的推导，但是当用数学理论推导生活实际中的事物时，往往会产生不同种类、形式的结果，这也体现了数学理论概念的灵活性，体现了结果中的“异”。学生懂得了执果索“异”，那么在解决数学问题的过程中，就会形成多样的方法，从而有效培养学生的发散思维。因此，数学学习中，对同一问题的不同探究结果进行比较，进而抽丝剥茧，推究差异产生的原因，是形成分析能力的重要途径。
教学苏教版教材“分数的认识”一课时，学生用形状、大小不同的纸表示出了“四分之一”，教师引导学生比较：既然都表示同一個分数，为什么会大小不同呢？大小不同的物体能用同一个分数表示吗？通过对实物“四分之一”意义的溯源，推出原因：第一，被平均分的纸张大小不一样，也就是“单位‘1’”不同，分得的部分也就不同；第二，它们都是把“单位‘1’”平均分成了4份，表示其中的1份，所以都可以用“四分之一”表示。从而进一步理解分数的意义：分数是基于“单位‘1’”比较所得到的结果，体现的是两者之间的关系。
（二）由因导“异”
不同的条件从不同的角度看待会产生不同的思路和看法。对于数学学习中的题目，当给的条件相同，但是所问的内容不同时，我们进行对比就会发现，数学理论对结果的导向性存在较大的矛盾，而这也是数学思维本身的一大特质，学生要懂得根据所问内容的区别来掌握相同理论的运用方法，根据“因”求证“异”，促进数学逻辑思维的发展。数学中有很多容易混淆的知识，究其原因，还是没有清晰地认识其间的区别。若能抓住“对立之处”，也就是“混淆点”的形成过程进行动态比较，就能形成深刻的认识。
如教学苏教版教材四年级“找规律”一课时，对于“首尾相同”和“首尾不同”两种情况，尽管都讲解了，但学生在实际解决问题过程中往往难以区分。在教学实践中，可以运用动态比较理清过程：让学生通过分别“摆一摆”“画一画”得到“首尾不同”和“首尾相同”两种情况，并根据图进一步观察并比较这两种情况在操作过程中的异同点。学生逐步从具体形象思维到抽象思维明晰“混淆点”，发现算理：“首尾不同”时，两种物体一一对应，所以它们的数量相等；而“首尾相同”时，两种物体一一对应后必定有一种物体还余1，所以在首尾位置上的物体要多1。
三、“联系”，积累构建的经验
（一）新旧链接
布鲁纳说：无论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的知识结构。教学中，要用联系的观点进行新知识和旧知识的链接，把数学知识结构转化为学生的认知结构，使学生自觉尝试从旧知到新知的生长。如苏教版教材六年级“百分数的认识”一课，本课的生长点是“分数的意义”。教师引导学生解决“谁投球最准”的问题，让学生经历了“比较投球命中率”的过程，也就是将分数“进化”成百分数的过程，帮助学生借助“分数的意义”自主理解“百分数的意义”，实现从分数到百分数的迁移生长。
（二）方法融会
在解决数学问题的过程中，学生会产生不同的解法。对于这些解法，如能引导学生融会贯通，发现其“殊途同归”的实质，则有利于学生形成会变通的思维。例如，在推导梯形面积计算公式时，有的学生用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，得到：（上底 下底）×高÷2；有的学生将梯形分成两个三角形，得到：上底×高÷2 下底×高÷2；也有的学生把梯形沿着中线剪开，再拼成一个平行四边形，得到：（上底 下底）×（高÷2）。将这些貌似不同的方法进行比较整理，发现都可以表达为：（上底 下底）×高÷2。在数形结合的探索和各种思路的碰撞中，学生的思维得到拓展和发散，最终发现“万变不离其宗”，所有思路全部落实到“转化”这一核心策略，所有算式也全部归于梯形面积计算公式，从而获得变通的思维经验。
（三）正误对话
大哲学家黑格尔说：“错误本身乃是达到真理的一个必然环节。”数学课堂上，“正”“误”往往同时发生，这两者都真实地反映着学生的思维活动、心理活动和学习情况。例如，在教学两位数加一位数的笔算时，学生尝试计算6 48，出现了正、误两种竖式，教师请学生对比评述。有的学生指出：这个竖式把6和十位对齐了。有的学生接着补充：6在个位上，应该和8对齐。还有的学生进一步提出：这个算式等于48 6，可以列成48 6的竖式吗？在层层深入的对话中，学生对“误”进行了剖析，对“正”（数位对齐）有了更准确、深刻的认识，获得了反思能力的提升。
综上所述，要想学生能学习更深层次的数学知识，探究更深奥的数学世界，学生就必须探究数学理论中蕴含的联系，坚定地追求数学公式的本质，经过一步步的探究了解数学思维的起源，从而奠定良好的数学思维能力。学生的数学思维活动虽然比较隐秘，但它是学生发展数学学科核心素养的基础和元动力。若能恰当运用比较的方法，从学生的知识和心理起点出发，精心选取并组织教学材料，创设“求同”“辨异”“联系”等思维活动的契机，则能让学生在辨析、推理、构建、反思等过程中沟通知识间的异同、承接、递进，从而优化学习过程，积累思维活动经验，提高思维能力。
一、“求同”，积累归纳的经验
（一）“异”中求“同”
数学知识中有很多内容都有紧密的联系，许多知识内容看似基本上没有任何联系，但是对题目进行仔细分析后，反而能发掘出其中的共同特性，而掌握这些特性就能积累更多数学的经验，有效归纳数学知识，领悟数学思维逻辑。因此，在教学中，教师要有意识地引导学生对一些貌似迥异的数学材料进行分析，让学生比较隐藏其中的共性特性，进而归纳出该知识的本质特点，让学生经历从“眼前之竹”的“异”升华到“胸中之竹”的“同”。
在教学苏教版教材“分数的认识”一课时，学生通过“折一折”“涂一涂”表示出一张长方形纸的“二分之一”。当学生展示各不相同的作品时（有的横着对折，有的竖着对折，还有的斜着对折，得到的形状有长方形、三角形等），教师抛出问题：分的结果不同，为什么涂色部分都是长方形的二分之一呢？引发学生对这些作品进行比较，透过表面的“异”发现这些作品内蕴的“同”：都是把长方形平均分成两份，涂色的是其中的一份。在这里，操作是为比较提供素材，而“异中求同”则是为了突出了分数的本质特征，当学生找到了其间的共性时，“二分之一”这个分数的意义也就呼之欲出了。
（二）“变”中求“同”
数学理论知识内容的起源其实都是从生活实践中变化而来的，这也是数学的魅力，也是因为有变化，所以才会出现多样、复杂的数学公式和理论，但是其中也有很多的共同点，因为对于作答相同的题目，利用经过不同变化的理论，反而会得出同样的答案。因此，变化是永恒的，从“变”的角度发现“同”，也就是函数思想的运用。在苏教版教材小学数学的各个阶段，均有函数思想的渗透，积累这样的思维经验，能为今后进一步学习奠定思维基础。
在苏教版教材“多边形的内角和”一课中，学生探索多边形内角和计算方法时，他们已有知识基础是“三角形的内角和为180度”。教师可依次呈现四边形、五边形、六边形，让学生动手分一分，感受可分成的三角形个数的变化规律：四边形可分成两个三角形，五边形可分成三个三角形……随着边数的增加，可分成的三角形个数也相应增加。在此基础上，让学生说说有没有发现什么规律。学生很快就能发现，三角形的个数总是比边数少2，也就是说，不断变化的三角形的个数和多边形的边数之间存在一定的数量关系。至此，学生得出数量关系式：三角形的个数=多边形的边数-2。从“变化”中寻求“不变”，逐步揭示了变化中蕴含的恒定规律，这正是数学思维的魅力所在。
二、“辨异”，积累分析的经验
（一）执果索“异”
结果往往是学习中学生最能直观感受数学逻辑的材料。前面讲到，数学理论源自生活实际的推导，但是当用数学理论推导生活实际中的事物时，往往会产生不同种类、形式的结果，这也体现了数学理论概念的灵活性，体现了结果中的“异”。学生懂得了执果索“异”，那么在解决数学问题的过程中，就会形成多样的方法，从而有效培养学生的发散思维。因此，数学学习中，对同一问题的不同探究结果进行比较，进而抽丝剥茧，推究差异产生的原因，是形成分析能力的重要途径。
教学苏教版教材“分数的认识”一课时，学生用形状、大小不同的纸表示出了“四分之一”，教师引导学生比较：既然都表示同一個分数，为什么会大小不同呢？大小不同的物体能用同一个分数表示吗？通过对实物“四分之一”意义的溯源，推出原因：第一，被平均分的纸张大小不一样，也就是“单位‘1’”不同，分得的部分也就不同；第二，它们都是把“单位‘1’”平均分成了4份，表示其中的1份，所以都可以用“四分之一”表示。从而进一步理解分数的意义：分数是基于“单位‘1’”比较所得到的结果，体现的是两者之间的关系。
（二）由因导“异”
不同的条件从不同的角度看待会产生不同的思路和看法。对于数学学习中的题目，当给的条件相同，但是所问的内容不同时，我们进行对比就会发现，数学理论对结果的导向性存在较大的矛盾，而这也是数学思维本身的一大特质，学生要懂得根据所问内容的区别来掌握相同理论的运用方法，根据“因”求证“异”，促进数学逻辑思维的发展。数学中有很多容易混淆的知识，究其原因，还是没有清晰地认识其间的区别。若能抓住“对立之处”，也就是“混淆点”的形成过程进行动态比较，就能形成深刻的认识。
如教学苏教版教材四年级“找规律”一课时，对于“首尾相同”和“首尾不同”两种情况，尽管都讲解了，但学生在实际解决问题过程中往往难以区分。在教学实践中，可以运用动态比较理清过程：让学生通过分别“摆一摆”“画一画”得到“首尾不同”和“首尾相同”两种情况，并根据图进一步观察并比较这两种情况在操作过程中的异同点。学生逐步从具体形象思维到抽象思维明晰“混淆点”，发现算理：“首尾不同”时，两种物体一一对应，所以它们的数量相等；而“首尾相同”时，两种物体一一对应后必定有一种物体还余1，所以在首尾位置上的物体要多1。
三、“联系”，积累构建的经验
（一）新旧链接
布鲁纳说：无论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的知识结构。教学中，要用联系的观点进行新知识和旧知识的链接，把数学知识结构转化为学生的认知结构，使学生自觉尝试从旧知到新知的生长。如苏教版教材六年级“百分数的认识”一课，本课的生长点是“分数的意义”。教师引导学生解决“谁投球最准”的问题，让学生经历了“比较投球命中率”的过程，也就是将分数“进化”成百分数的过程，帮助学生借助“分数的意义”自主理解“百分数的意义”，实现从分数到百分数的迁移生长。
（二）方法融会
在解决数学问题的过程中，学生会产生不同的解法。对于这些解法，如能引导学生融会贯通，发现其“殊途同归”的实质，则有利于学生形成会变通的思维。例如，在推导梯形面积计算公式时，有的学生用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，得到：（上底 下底）×高÷2；有的学生将梯形分成两个三角形，得到：上底×高÷2 下底×高÷2；也有的学生把梯形沿着中线剪开，再拼成一个平行四边形，得到：（上底 下底）×（高÷2）。将这些貌似不同的方法进行比较整理，发现都可以表达为：（上底 下底）×高÷2。在数形结合的探索和各种思路的碰撞中，学生的思维得到拓展和发散，最终发现“万变不离其宗”，所有思路全部落实到“转化”这一核心策略，所有算式也全部归于梯形面积计算公式，从而获得变通的思维经验。
（三）正误对话
大哲学家黑格尔说：“错误本身乃是达到真理的一个必然环节。”数学课堂上，“正”“误”往往同时发生，这两者都真实地反映着学生的思维活动、心理活动和学习情况。例如，在教学两位数加一位数的笔算时，学生尝试计算6 48，出现了正、误两种竖式，教师请学生对比评述。有的学生指出：这个竖式把6和十位对齐了。有的学生接着补充：6在个位上，应该和8对齐。还有的学生进一步提出：这个算式等于48 6，可以列成48 6的竖式吗？在层层深入的对话中，学生对“误”进行了剖析，对“正”（数位对齐）有了更准确、深刻的认识，获得了反思能力的提升。
综上所述，要想学生能学习更深层次的数学知识，探究更深奥的数学世界，学生就必须探究数学理论中蕴含的联系，坚定地追求数学公式的本质，经过一步步的探究了解数学思维的起源，从而奠定良好的数学思维能力。学生的数学思维活动虽然比较隐秘，但它是学生发展数学学科核心素养的基础和元动力。若能恰当运用比较的方法，从学生的知识和心理起点出发，精心选取并组织教学材料，创设“求同”“辨异”“联系”等思维活动的契机，则能让学生在辨析、推理、构建、反思等过程中沟通知识间的异同、承接、递进，从而优化学习过程，积累思维活动经验，提高思维能力。