[摘要]探讨了数学分析中关于取绝对值函数的求导问题，提出了判断绝对值函数导数的存在性以及求导的直接法，并将此法由一元推广到多元，给出了两类特殊函数求导的公式解。
　　[关键词]绝对值函数 可微性 导数 偏导数
　　一、前言
　　对于取绝对值函数的求导问题，在通常情况下，只能通过其定义求解，而下面给出的结论能够更全面、更简单的解决取绝对值函数的求导问题。
　　二、取绝对值的一元函数的求导问题
　　命题1：
　　若函数f（x）在区间（a，b）内可微，P0（x0）在（a，b）内，则有：
　　1）当f（x0）≠0时
　　2）当f（x0）=0时
　　存在的充分且必要条件是：
　　若f（x0）= 0， 那么 =0. 【1】
　　证明：
　　1） 因为f（x0）≠0，不妨设f（x0）>0，则由可微必连续的性质，
　　存在U（x0，δ），在U（x0，δ）内f（x）>0，从而在U（x0，δ）内，|f（x）|=f（x）
　　由导数概念的局部性可知：
　　即（1）式成立
　　2）当f（x0）=0时
　　从而可知，当且仅当f`（x0）=0时， 存在，
　　显然 即2）式成立。
　　所以命题得证。
　　这个命题不仅提供了判断导数存在的方法，而且还给出了导数的求解方法，我们估且称此法为直接法。下面看几个简单的例子：
　　例1： 已知g（x）=|f（x）|=|x|，求g`（x）.
　　解： 1） 当x≠0时， f（x）=x=0
　　由命题1有：
　　2） 当x=0时， f（x）=x=0
　　∵f`（x）|x=0=1≠0
　　∴g（x）在x=0处不可导。
　　所以
　　看下面几个有关特殊函数的定理：
　　定理1：
　　如果y=ln|x|，则 . 【2】
　　证明： 由y=ln|x|可知，x≠0.
　　令u=|x|， ∴y=lnu， 由例1可知，
　　， 所以命题得证。
　　定理1’：如果y=ln|ax|，a∈R则
　　读者可自行证明该定理。
　　由此可见，此类函数的求导结果与绝对值函数的系数没有关系。
　　定理2：
　　如果 （pφ0），则 .
　　所以命题得证.
　　例2： 已知g（x）=|f（x）|=|cos（x）|， 求g`（x）.
　　解： 1） 当f（x）≠0时，
　　即 ， k≠0，±1，±2，…
　　因此我们有：
　　2） 当f（x）=cosx=0时， 即
　　∴g（x）在 ， 时不可导.
　　所以
　　例3： 求极限 ， （a≠0，b≠0） 【1】
　　解： ，当x∈p（0，δ）时，使x≠0，sinax≠0且sinbx≠0
　　当x∈p（0，δ） 时，x≠0， 均存在，
　　因此可利用罗比塔法则：
　　三、取绝对值的多元函数的求导问题
　　命题2：
　　若函数f（x1，x2，…，xn）在领域D内可微， 且n≥2
　　， 则有：
　　1） 当 时，有：
　　2） 当 时，
　　存在的充分必要条件是：
　　证明：
　　1） 若 ，不妨设 ，
　　则有可微必连续，有： ，在u（p0，δ）内，f（x1，x2，…，xn）>0，
　　从而在u（p0，δ）内|f（x1，x2，…，xn）|=f（x1，x2，…，xn）.
　　由偏导数概念的局部性有：
　　所以1）式成立.
　　2） 若 ，
　　即2）式成立.
　　因此命题得证.
　　例4： 已知g（x1，x2）=|f（x1，x2）|=|a1x1+a2x2|，求 ，其中αi∈R，i=1，2.
　　解：1）：当a1x1+a2x2=f（x1，x2）≠0时，由命题2有：
　　因此函数g（x1，x2）在a1x1+a2x2=0处不可导.
　　例5：如果
　　解：令u=|a1x1+a2x2|，则y=lnu，显然u≠0，由例4可得
　　由此可得到一个简单的推论：
　　推论1：
　　于是命题得证.
　　例6： 如果函数
　　所以命题得证.
　　根据例6容易得到下面的推论：
　　推论2：
　　证明： （略）
　　四、命题说明
　　⑴对于绝对值函数的端点的可导性可用左、右导数的定义进行讨论。
　　⑵将定理2中绝对值函数系数推广到不为零的任意实数，即如果 那么 其中0≠a∈R该结论与前面几个结论相比，不具有特殊性，因此在原文中没有写入。
　　[参考文献]
　　[1]马金凤、刘文昱，《关于取绝对值函数可微性的讨论》，兵团教育学院学报，2001年，第三期，63-64。
　　[2]（苏）N·PISKUNOV著，邓本让等译，微分与积分学（上），吉林人民出版社，1983，96。
　　[3]方企勤，多元函数微分学，上海科学技术出版社，1980，19-65。
　　[4]华东师大数学系，数学分析（上、下），高等教育出版社，2000年（上）110-170，（下）121-166。
　　（作者单位：天祝藏族自治县第二中学 甘肃天祝）