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[摘要]探讨了数学分析中关于取绝对值函数的求导问题,提出了判断绝对值函数导数的存在性以及求导的直接法,并将此法由一元推广到多元,给出了两类特殊函数求导的公式解。
[关键词]绝对值函数 可微性 导数 偏导数
一、前言
对于取绝对值函数的求导问题,在通常情况下,只能通过其定义求解,而下面给出的结论能够更全面、更简单的解决取绝对值函数的求导问题。
二、取绝对值的一元函数的求导问题
命题1:
若函数f(x)在区间(a,b)内可微,P0(x0)在(a,b)内,则有:
1)当f(x0)≠0时
2)当f(x0)=0时
存在的充分且必要条件是:
若f(x0)= 0, 那么 =0. 【1】
证明:
1) 因为f(x0)≠0,不妨设f(x0)>0,则由可微必连续的性质,
存在U(x0,δ),在U(x0,δ)内f(x)>0,从而在U(x0,δ)内,|f(x)|=f(x)
由导数概念的局部性可知:
即(1)式成立
2)当f(x0)=0时
从而可知,当且仅当f`(x0)=0时, 存在,
显然 即2)式成立。
所以命题得证。
这个命题不仅提供了判断导数存在的方法,而且还给出了导数的求解方法,我们估且称此法为直接法。下面看几个简单的例子:
例1: 已知g(x)=|f(x)|=|x|,求g`(x).
解: 1) 当x≠0时, f(x)=x=0
由命题1有:
2) 当x=0时, f(x)=x=0
∵f`(x)|x=0=1≠0
∴g(x)在x=0处不可导。
所以
看下面几个有关特殊函数的定理:
定理1:
如果y=ln|x|,则 . 【2】
证明: 由y=ln|x|可知,x≠0.
令u=|x|, ∴y=lnu, 由例1可知,
, 所以命题得证。
定理1’:如果y=ln|ax|,a∈R则
读者可自行证明该定理。
由此可见,此类函数的求导结果与绝对值函数的系数没有关系。
定理2:
如果 (pφ0),则 .
所以命题得证.
例2: 已知g(x)=|f(x)|=|cos(x)|, 求g`(x).
解: 1) 当f(x)≠0时,
即 , k≠0,±1,±2,…
因此我们有:
2) 当f(x)=cosx=0时, 即
∴g(x)在 , 时不可导.
所以
例3: 求极限 , (a≠0,b≠0) 【1】
解: ,当x∈p(0,δ)时,使x≠0,sinax≠0且sinbx≠0
当x∈p(0,δ) 时,x≠0, 均存在,
因此可利用罗比塔法则:
三、取绝对值的多元函数的求导问题
命题2:
若函数f(x1,x2,…,xn)在领域D内可微, 且n≥2
, 则有:
1) 当 时,有:
2) 当 时,
存在的充分必要条件是:
证明:
1) 若 ,不妨设 ,
则有可微必连续,有: ,在u(p0,δ)内,f(x1,x2,…,xn)>0,
从而在u(p0,δ)内|f(x1,x2,…,xn)|=f(x1,x2,…,xn).
由偏导数概念的局部性有:
所以1)式成立.
2) 若 ,
即2)式成立.
因此命题得证.
例4: 已知g(x1,x2)=|f(x1,x2)|=|a1x1+a2x2|,求 ,其中αi∈R,i=1,2.
解:1):当a1x1+a2x2=f(x1,x2)≠0时,由命题2有:
因此函数g(x1,x2)在a1x1+a2x2=0处不可导.
例5:如果
解:令u=|a1x1+a2x2|,则y=lnu,显然u≠0,由例4可得
由此可得到一个简单的推论:
推论1:
于是命题得证.
例6: 如果函数
所以命题得证.
根据例6容易得到下面的推论:
推论2:
证明: (略)
四、命题说明
⑴对于绝对值函数的端点的可导性可用左、右导数的定义进行讨论。
⑵将定理2中绝对值函数系数推广到不为零的任意实数,即如果 那么 其中0≠a∈R该结论与前面几个结论相比,不具有特殊性,因此在原文中没有写入。
[参考文献]
[1]马金凤、刘文昱,《关于取绝对值函数可微性的讨论》,兵团教育学院学报,2001年,第三期,63-64。
[2](苏)N·PISKUNOV著,邓本让等译,微分与积分学(上),吉林人民出版社,1983,96。
[3]方企勤,多元函数微分学,上海科学技术出版社,1980,19-65。
[4]华东师大数学系,数学分析(上、下),高等教育出版社,2000年(上)110-170,(下)121-166。
(作者单位:天祝藏族自治县第二中学 甘肃天祝)
[关键词]绝对值函数 可微性 导数 偏导数
一、前言
对于取绝对值函数的求导问题,在通常情况下,只能通过其定义求解,而下面给出的结论能够更全面、更简单的解决取绝对值函数的求导问题。
二、取绝对值的一元函数的求导问题
命题1:
若函数f(x)在区间(a,b)内可微,P0(x0)在(a,b)内,则有:
1)当f(x0)≠0时
2)当f(x0)=0时
存在的充分且必要条件是:
若f(x0)= 0, 那么 =0. 【1】
证明:
1) 因为f(x0)≠0,不妨设f(x0)>0,则由可微必连续的性质,
存在U(x0,δ),在U(x0,δ)内f(x)>0,从而在U(x0,δ)内,|f(x)|=f(x)
由导数概念的局部性可知:
即(1)式成立
2)当f(x0)=0时
从而可知,当且仅当f`(x0)=0时, 存在,
显然 即2)式成立。
所以命题得证。
这个命题不仅提供了判断导数存在的方法,而且还给出了导数的求解方法,我们估且称此法为直接法。下面看几个简单的例子:
例1: 已知g(x)=|f(x)|=|x|,求g`(x).
解: 1) 当x≠0时, f(x)=x=0
由命题1有:
2) 当x=0时, f(x)=x=0
∵f`(x)|x=0=1≠0
∴g(x)在x=0处不可导。
所以
看下面几个有关特殊函数的定理:
定理1:
如果y=ln|x|,则 . 【2】
证明: 由y=ln|x|可知,x≠0.
令u=|x|, ∴y=lnu, 由例1可知,
, 所以命题得证。
定理1’:如果y=ln|ax|,a∈R则
读者可自行证明该定理。
由此可见,此类函数的求导结果与绝对值函数的系数没有关系。
定理2:
如果 (pφ0),则 .
所以命题得证.
例2: 已知g(x)=|f(x)|=|cos(x)|, 求g`(x).
解: 1) 当f(x)≠0时,
即 , k≠0,±1,±2,…
因此我们有:
2) 当f(x)=cosx=0时, 即
∴g(x)在 , 时不可导.
所以
例3: 求极限 , (a≠0,b≠0) 【1】
解: ,当x∈p(0,δ)时,使x≠0,sinax≠0且sinbx≠0
当x∈p(0,δ) 时,x≠0, 均存在,
因此可利用罗比塔法则:
三、取绝对值的多元函数的求导问题
命题2:
若函数f(x1,x2,…,xn)在领域D内可微, 且n≥2
, 则有:
1) 当 时,有:
2) 当 时,
存在的充分必要条件是:
证明:
1) 若 ,不妨设 ,
则有可微必连续,有: ,在u(p0,δ)内,f(x1,x2,…,xn)>0,
从而在u(p0,δ)内|f(x1,x2,…,xn)|=f(x1,x2,…,xn).
由偏导数概念的局部性有:
所以1)式成立.
2) 若 ,
即2)式成立.
因此命题得证.
例4: 已知g(x1,x2)=|f(x1,x2)|=|a1x1+a2x2|,求 ,其中αi∈R,i=1,2.
解:1):当a1x1+a2x2=f(x1,x2)≠0时,由命题2有:
因此函数g(x1,x2)在a1x1+a2x2=0处不可导.
例5:如果
解:令u=|a1x1+a2x2|,则y=lnu,显然u≠0,由例4可得
由此可得到一个简单的推论:
推论1:
于是命题得证.
例6: 如果函数
所以命题得证.
根据例6容易得到下面的推论:
推论2:
证明: (略)
四、命题说明
⑴对于绝对值函数的端点的可导性可用左、右导数的定义进行讨论。
⑵将定理2中绝对值函数系数推广到不为零的任意实数,即如果 那么 其中0≠a∈R该结论与前面几个结论相比,不具有特殊性,因此在原文中没有写入。
[参考文献]
[1]马金凤、刘文昱,《关于取绝对值函数可微性的讨论》,兵团教育学院学报,2001年,第三期,63-64。
[2](苏)N·PISKUNOV著,邓本让等译,微分与积分学(上),吉林人民出版社,1983,96。
[3]方企勤,多元函数微分学,上海科学技术出版社,1980,19-65。
[4]华东师大数学系,数学分析(上、下),高等教育出版社,2000年(上)110-170,(下)121-166。
(作者单位:天祝藏族自治县第二中学 甘肃天祝)