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摘 要:进入高中,大部分学生发现学好数学成为了一大难题,然而,事物的发展变化都是有理可循的,只要掌握了学习方法,多加练习、加深理解、开拓探索创新的精神、培养学习的兴趣,就能敲开数学神秘的大门。
关键词:高中数学;数形结合;重要性
数学是利用符号、语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科,通过抽象化和逻辑推理的使用,揭示事物和现象的数理规律。数学在生活中随处可见,是解决实际生活问题的工具,它在开发启迪人类智力、促进人类文明进步与发展中起了重要的作用,体现了它科学的价值和永恒的生命力。如今,数学被应用在世界上各个领域,科学、医学、经济、教育等的发展都以数学为理论基础。学生个人的成长也离不开数学的学习和应用,学生应该顺应时代的发展,努力掌握数学方法,提升数学素养。学好数学不仅有助于锻炼缜密的逻辑推理能力、增长智慧,还能提高自信心和满足感。
高中数学的教学内容广泛,知识层次较深,数学语言抽象难懂,然而很多概念之间都可以类比迁移、举一反三。例如平行线和向量;映射与函数等等,学生要探索性的分析和区别其中的联系和差异,有助于对比理解,准确记忆。高中数学教学内容主要分为代数和几何两个大的板块。代数体系主要包括函数与方程、不等式、数列、排列组合等;几何又分为平面解析几何和空间立体几何,圆、椭圆、双曲线、抛物线等都需要画图来辅助学习。可以看出,数形结合是高中数学的重点,如何将平面解析几何代数化,用函数和方程表达出来,在解方程和不等式、三角函数和平面解析函数中得到了广泛的运用。
学好数学不能靠死记硬背公式,关键是要灵活运用,利用数形结合的思想将数学符号用形象直观的图形表达出来,抽象思维与形象的图形语言相结合,对开拓学生的创新思维、明晰解题步骤、优化解题方法的选择有正确的导向作用,科学的数学思想是贯穿整个数学教学的灵魂。数形结合的应用大致又可分为两种:一是借助数的精确性来阐明形的属性,即“以数解形”。二是借助形的几何直观性来阐明数之间的关系,即“以形助数”。把复杂的问题简单化,体现了数学思维的灵活性。在高中数学中数形结合的思想就是教学的重点,以形释数,以数解形,从而帮助学生理清解题思路,进而优化解题过程。
以下我通过举例子的形式展示数形结合在培养学生科学的数学思维的过程中的重要作用。
1.数形结合在教学环节中的应用
在学习三角函数中图形的初等变换之前,我们已经学会了画函数y=sin x的图像,并且知道了它是定义域为R,值域为[-1,1]的奇函数,在[]单调递增或单调递减。在此基础上拓展到三角函数的一般形式y=Asin(ωx+ψ)(其中A、ω、ψ都是常数),例如,请学生用五点作图法在同一个坐标系中做出y=sin x ,x∈R、y=2sinx,x∈R和y=1/2sinx,x∈R的图像。通过观察比较得出以下结论:当A=2或A=1/2时,相当于把y=sin x ,x∈R的函数图像的纵坐标拉伸到原来的两倍或压缩到原来的1/2,引出“振幅”概念,我们就把A变换成为振幅变换。
根据数形结合的思想,可以得出,振幅变换改变的是纵坐标,横坐标不变。也就是说值域变化而定义域不变(A>0且A≠1),因为振幅是物体离开平衡位置的距离,所以总是大于1的,A>1时表现为伸长,0 2.数形结合在培养和发展学生的解题思路中起到了关键的作用
由于数学的抽象性,学生拿到一道题目时,往往无从下手,不能将数学语言准确的翻译和理解,不知道运用什么方法来解题。高中数学中平面解析几何问题往往是高考的热点,并且几乎每年都以大题的形式出现。解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题,再利用图像的性质,直观明了的揭示问题的本质。例如,满足椭圆图像上的点的最值问题,已知x、y在椭圆x?/16+y?/25=1上,求y-3x的最值。首先审题,在遇到圆锥曲线时养成画图的习惯,将数学语言用图形翻译出来,因此我们可以构造方程z=y-3x,画出椭圆x?/16+y?/25=1的图像,因为满足椭圆方程的点x、y也满足直线方程z=y-3x,所以我们可以找出直线和椭圆的交点的横纵坐标,再代入方程求解,最终得到最大值和最小值。
3.数形结合培养学生的发散性思维,多角度、全方面的解决问题
立体几何解答题体现了学生空间想象力和一题多解的扩展思维能力。这类题型主要有:证明空间线线关系、线面关系和面面关系、计算多面体的体积、考查推理判断能力和空间几何运算能力。常用的方法有传统法,运用平面几何的定理,例如三角形的正余弦定理、射影定理、三角形的“六心”、圆的切割线定理、垂径定理,异面直线的判定定理等等,由线的平行垂直推导出面的平行垂直。
另一种方法就是向量法,建立空间直角坐标系,找出各点的坐标、定义法向量,利用正余弦求向量夹角,求解线面的位置关系。反过来,利用数形结合的思想帮助学生理解法向量、向量角的概念,准确的掌握空间位置关系判断的方法。例如:COS(向量夹角)=向量的积/向量的模的积,要注意向量是有方向的,夹角有时候是锐角,有时候是钝角,应该认真仔细观察是否属于同起点,此时,画出示意图就看得清楚了。不论是传统方法还是向量法,都充分的体现了数形结合的优势,引导学生养成静态思维和动态思维相结合的习惯,多角度、全方面的思考和解决问题,有利于各种数学方法的相互渗透、相互联系,有助于学生形成系统的知识网络和培养灵活运用的知识、举一反三的能力。
数形结合思想满足学生思维发展的需要,有利于学生系统的掌握广泛而复杂的教学内容。在导入新课、引导学生探索式发现学习、培养学生系统逻辑的解题思路时,开发学生创新性、发散性思维等方面有重要意义。单纯的说教和复杂抽象的数学符号让学生很头痛,学习过程枯燥乏味,数形结合思想可以有效激发学生的想象力和热情,培养学生对数学的兴趣。因此,高中数学教学要重视学生对数形结合思想的理解和运用。
关键词:高中数学;数形结合;重要性
数学是利用符号、语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科,通过抽象化和逻辑推理的使用,揭示事物和现象的数理规律。数学在生活中随处可见,是解决实际生活问题的工具,它在开发启迪人类智力、促进人类文明进步与发展中起了重要的作用,体现了它科学的价值和永恒的生命力。如今,数学被应用在世界上各个领域,科学、医学、经济、教育等的发展都以数学为理论基础。学生个人的成长也离不开数学的学习和应用,学生应该顺应时代的发展,努力掌握数学方法,提升数学素养。学好数学不仅有助于锻炼缜密的逻辑推理能力、增长智慧,还能提高自信心和满足感。
高中数学的教学内容广泛,知识层次较深,数学语言抽象难懂,然而很多概念之间都可以类比迁移、举一反三。例如平行线和向量;映射与函数等等,学生要探索性的分析和区别其中的联系和差异,有助于对比理解,准确记忆。高中数学教学内容主要分为代数和几何两个大的板块。代数体系主要包括函数与方程、不等式、数列、排列组合等;几何又分为平面解析几何和空间立体几何,圆、椭圆、双曲线、抛物线等都需要画图来辅助学习。可以看出,数形结合是高中数学的重点,如何将平面解析几何代数化,用函数和方程表达出来,在解方程和不等式、三角函数和平面解析函数中得到了广泛的运用。
学好数学不能靠死记硬背公式,关键是要灵活运用,利用数形结合的思想将数学符号用形象直观的图形表达出来,抽象思维与形象的图形语言相结合,对开拓学生的创新思维、明晰解题步骤、优化解题方法的选择有正确的导向作用,科学的数学思想是贯穿整个数学教学的灵魂。数形结合的应用大致又可分为两种:一是借助数的精确性来阐明形的属性,即“以数解形”。二是借助形的几何直观性来阐明数之间的关系,即“以形助数”。把复杂的问题简单化,体现了数学思维的灵活性。在高中数学中数形结合的思想就是教学的重点,以形释数,以数解形,从而帮助学生理清解题思路,进而优化解题过程。
以下我通过举例子的形式展示数形结合在培养学生科学的数学思维的过程中的重要作用。
1.数形结合在教学环节中的应用
在学习三角函数中图形的初等变换之前,我们已经学会了画函数y=sin x的图像,并且知道了它是定义域为R,值域为[-1,1]的奇函数,在[]单调递增或单调递减。在此基础上拓展到三角函数的一般形式y=Asin(ωx+ψ)(其中A、ω、ψ都是常数),例如,请学生用五点作图法在同一个坐标系中做出y=sin x ,x∈R、y=2sinx,x∈R和y=1/2sinx,x∈R的图像。通过观察比较得出以下结论:当A=2或A=1/2时,相当于把y=sin x ,x∈R的函数图像的纵坐标拉伸到原来的两倍或压缩到原来的1/2,引出“振幅”概念,我们就把A变换成为振幅变换。
根据数形结合的思想,可以得出,振幅变换改变的是纵坐标,横坐标不变。也就是说值域变化而定义域不变(A>0且A≠1),因为振幅是物体离开平衡位置的距离,所以总是大于1的,A>1时表现为伸长,0 2.数形结合在培养和发展学生的解题思路中起到了关键的作用
由于数学的抽象性,学生拿到一道题目时,往往无从下手,不能将数学语言准确的翻译和理解,不知道运用什么方法来解题。高中数学中平面解析几何问题往往是高考的热点,并且几乎每年都以大题的形式出现。解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题,再利用图像的性质,直观明了的揭示问题的本质。例如,满足椭圆图像上的点的最值问题,已知x、y在椭圆x?/16+y?/25=1上,求y-3x的最值。首先审题,在遇到圆锥曲线时养成画图的习惯,将数学语言用图形翻译出来,因此我们可以构造方程z=y-3x,画出椭圆x?/16+y?/25=1的图像,因为满足椭圆方程的点x、y也满足直线方程z=y-3x,所以我们可以找出直线和椭圆的交点的横纵坐标,再代入方程求解,最终得到最大值和最小值。
3.数形结合培养学生的发散性思维,多角度、全方面的解决问题
立体几何解答题体现了学生空间想象力和一题多解的扩展思维能力。这类题型主要有:证明空间线线关系、线面关系和面面关系、计算多面体的体积、考查推理判断能力和空间几何运算能力。常用的方法有传统法,运用平面几何的定理,例如三角形的正余弦定理、射影定理、三角形的“六心”、圆的切割线定理、垂径定理,异面直线的判定定理等等,由线的平行垂直推导出面的平行垂直。
另一种方法就是向量法,建立空间直角坐标系,找出各点的坐标、定义法向量,利用正余弦求向量夹角,求解线面的位置关系。反过来,利用数形结合的思想帮助学生理解法向量、向量角的概念,准确的掌握空间位置关系判断的方法。例如:COS(向量夹角)=向量的积/向量的模的积,要注意向量是有方向的,夹角有时候是锐角,有时候是钝角,应该认真仔细观察是否属于同起点,此时,画出示意图就看得清楚了。不论是传统方法还是向量法,都充分的体现了数形结合的优势,引导学生养成静态思维和动态思维相结合的习惯,多角度、全方面的思考和解决问题,有利于各种数学方法的相互渗透、相互联系,有助于学生形成系统的知识网络和培养灵活运用的知识、举一反三的能力。
数形结合思想满足学生思维发展的需要,有利于学生系统的掌握广泛而复杂的教学内容。在导入新课、引导学生探索式发现学习、培养学生系统逻辑的解题思路时,开发学生创新性、发散性思维等方面有重要意义。单纯的说教和复杂抽象的数学符号让学生很头痛,学习过程枯燥乏味,数形结合思想可以有效激发学生的想象力和热情,培养学生对数学的兴趣。因此,高中数学教学要重视学生对数形结合思想的理解和运用。