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摘 要：对等比数列通项公式的学习是在学习了等差数列之后，因此，我们可以类比等差数列通项公式的学习方法，来设计等比数列通项公式的教学.
关键词：等比数列；通项公式；教学设计；教学评析
一、教材分析
“等比数列的通项公式”是普通高中课程标准实验教科书的内容. 学生已经学习过等差数列的知识，对数列已经有一定的了解，对数列通项公式研究问题的基本方法比较熟悉，这些都为等比数列通项公式的学习提供了认知基础.本节课是“等比数列的通项公式”第一学时，是进一步研究等比数列性质和前n项和的基础.
二、教学目标
1. 类比等差数列的研究思路，探索等比数列的通项公式及变式.
2. 掌握等比数列的通项公式及变式，并能解决一些简单的实际问题.
3. 在已有经验（等差数列通项公式的求法）的基础上，进一步感受数列的研究方法，体会类比、转化等数学思想.
三、教学重点
等比数列通项公式及变式的探索与相关应用.
四、教学难点
等比数列通项公式的证明及变式应用.
五、教学方法 类比猜想·合作探究·巩固反思
六、教学手段 多媒体几何画板课件辅助教学
七、教学过程
环节一、类比猜想
1. 复习回顾 方法引领：回顾等差数列的通项公式及推导方法、等差数列的性质及前n项和公式，在复习反馈的基础上，提出新的问题和任务. 为抛出等比数列的通项公式打下坚实的基础.
设计意图：由学生自主完成表格，激发学生课堂参与积极性，由此搭建复习框架，温故知新，对所学的新知识起到一个先导作用，并为后面渗透类比的数学思想，等由差数列过渡到等比数列做了必要的热身准备.
2. 类比猜想 建构概念
类比等差数列的通项公式，你觉得等比数列的通项公式是什么？
设计意图：由学生复习回顾等差数列的概念及推导方法点燃学生的思维火花，学生结合已有的经验，对等比数列通项推导的基本方法的认识比学习等差数列通项时更深切. 通过学生交流、教师点拨，学生进一步明确研究求等比数列通项公式的一般思路.通过回顾等差数列的有关知识，既尊重学生的学习实际，为新知识确定固着点，同时认识到等比数列其实是等差数列的更高一级的定义，为下面研究等比数列的性质做好铺垫准备.
环节二、合作探究
1. 合作交流
探究1：类比等差数列通项公式的研究方法，探究等比数列的通项公式.
（类比等差数列，发扬团结合作精神，在行动过程中，先自己思考，然后对形成的问题及困惑，小组内讨论、交流，发现问题，解决问题.经小组合作探究也难以解决的问题及困惑，由小组长进行汇总和记录）
设计意图：由前面的铺垫，学生类比等差数列通项公式的研究方法探究等比数列的通项公式，揭示等比数列的实质，自然生成等比数列的通项公式. 在通项公式的形成过程中，并非直接告诉，而是通过教师的追问启发、学生之间的合作交流、类比演算，引导学生自主建构新知.
2. 新知感悟
教师在学生合作交流的基础上，归纳提炼等比数列的通项公式，揭示问题本质.
（教师根据各组的汇总记录，展示探究过程中出现的问题，并对所有小组都解决不了的共性的问题及全班同学的疑惑，进行点评、提炼，由此规范给出等比数列的通项公式.）
设计意图：通过前面学生的主动学、自己学、合作学等学习方式，学生不难得到等比数列通项公式，但作为刚接触的新知识，对它的认识还是肤浅的，需要教师的纠偏、点拨、示范、总结、释难.
3. 实践探究
公式推出后，如何运用公式，由等差数列中解题的经验——运用方程思想作为铺垫，学生们完全可以用同样的方法解决等比数列的基本问题.
例1 求下列等比数列的通项公式
（1）1，，，，…；
（2）3，6，12，24，…；
（3）2，-4，8，-16，…..
设计意图：上述问题是数列中求公式基本量的问题，直接运用公式，方法是运用方程思想，知三求一.
例2 已知等比数列{an}，请完成下表：
设计意图：本环节用表格形式给出练习，进一步熟练公式，让学生更深刻感受到等比数列中的四个量中知三求一的思想.
例3 在等比数列{an}中，已知a1=243，a5=3，求a2，a3，a4.
设计意图：通过三道例题的完成，初步熟悉等比数列通项公式并对它的运用有初步了解. 本题则要学生更熟练地运用公式，已知an，先求q，再代入求各项的值.
变题 在等比数列{an}中，已知a3=2，a6=16，求a12.
探究2：类比等差数列通项公式的变式an=am+（n-m）d，结合变题中a6与a3的关系，你能得到更加一般性的结论吗？（这里推出an=amqn-m公式）
设计意图： 通过逆用公式，即根据等比数列的公式先求出基本量，再求相应的项，让学生进一步认识等比数列通项公式的正向、逆向的运用，同时让学生在潜移默化中体会到等比数列中项数和项的关系这一难点，为接下来研究等比数列的性质埋下伏笔.
上述三道例题和两次逐步递进式的问题探究，让学生充分感受了从等差到等比在解题中的类比，进一步体会转化、类比、化归等重要数学思想在公式探究中的应用.
环节三、巩固反思
1. 巩固训练
（1）课内训练巩固
①在等比数列{an}中，若a2=4，a5=32，则公比应为____________；
②在等比数列{an}中，若a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=____________； ③已知-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，求b2（a2-a1）的值.
设计意图：例题、变题已经从正、反两方面考查学生对等比数列公式的运用，此处设计让学生进一步熟悉等比数列通项公式在具体数列中的运用，尤其是在等差数列、等比数列的混合数列中的呈现情况，培养学生的灵活运用能力.
（2）课后拓展延伸
① 必做题
课本P54 习题2.3（1） 3，4，5，6.
② 选做题
课本P55 习题2.3（1） 13，14.
③ 探究题：
已知数列{an}满足a1=，an=1=·an，求数列{an}的通项公式.
设计意图：课后拓展延伸主要是巩固新知识点，必做题、选做题是对等比数列通项公式的进一步研究，让学生更清楚地认识到等比数列基本量之间存在的数量关系，探究题是对等比通项公式推导方法——累乘法的考查，让学生在不同背景下都能对所学知识熟练运用，操作自如，以达到知识的融会贯通，提高学生对知识的应用能力，进而完善对知识点的理解.
2. 校对交流
设计意图：课堂的本质在“学”而不在“讲”，要把充足的时间留给学生学. 学生对新知识的接受有个过程，出错在所难免，应让学生自主示错、纠错，才能将新知识内化为自己所有.
3. 反思总结
今天的学习方式是否有效？有哪些收获？
设计意图：本环节就是本堂课的一个总结：一是对知识的总结，学生根据本节课的学习，对本节课的内容，形成知识体系，梳理等比数列通项公式的研究主线：回顾——猜想——探究——拓展——反思，体会类比的数学思想方法；二是对学习方法进行总结，对体现的思想及方法进行总结.
八、教后反思
1. 基于学情——数学教学的起点
奥苏贝尔指出：“影响学习的唯一的、最重要的因素是学生已经知道了什么，要根据学生原有的知识进行教学.” 所以，学生现有的数学认知结构是启发式教学的出发点.
想要自然地、严谨地导出等比数列通项公式，教师应首先关注学生学习本节课时所具有的认知基础和情感基础，然后再确定启发学生思考的方式、方法.
就教学实践来看，本节课学生参与积极性高，三个环节的探究过程运行顺畅，学生丝毫没有觉察到公式推导带给他们的“枯燥感”. 反而有不少学生体验到了“跳一跳，能够着桃子”的愉悦感和成功感.
2. 关注学生——数学教学的关键点
在数学教学中，要充分相信学生的能力，依靠学生，进而解放学生，发展学生. 教师要充分预见学生在交流过程中可能会出现的问题，把握住教材的深浅，学生如果在交流过程中出现了大大超出教材难度本身的地方，应当有策略地给其纠正；如果重点不清、概括性不强的地方，教师应当适时地进行归纳补充. 教师只起组织和点拨的作用. 这样学生的学习积极性就被充分地调动起来，其学习的潜力也会被充分地挖掘出来. 学生在课堂上是快乐的，就会激发学生在学习上的积极性，提高学生的学习兴趣，真正实现 “要我学”为“我要学”.
关键词：等比数列；通项公式；教学设计；教学评析
一、教材分析
“等比数列的通项公式”是普通高中课程标准实验教科书的内容. 学生已经学习过等差数列的知识，对数列已经有一定的了解，对数列通项公式研究问题的基本方法比较熟悉，这些都为等比数列通项公式的学习提供了认知基础.本节课是“等比数列的通项公式”第一学时，是进一步研究等比数列性质和前n项和的基础.
二、教学目标
1. 类比等差数列的研究思路，探索等比数列的通项公式及变式.
2. 掌握等比数列的通项公式及变式，并能解决一些简单的实际问题.
3. 在已有经验（等差数列通项公式的求法）的基础上，进一步感受数列的研究方法，体会类比、转化等数学思想.
三、教学重点
等比数列通项公式及变式的探索与相关应用.
四、教学难点
等比数列通项公式的证明及变式应用.
五、教学方法 类比猜想·合作探究·巩固反思
六、教学手段 多媒体几何画板课件辅助教学
七、教学过程
环节一、类比猜想
1. 复习回顾 方法引领：回顾等差数列的通项公式及推导方法、等差数列的性质及前n项和公式，在复习反馈的基础上，提出新的问题和任务. 为抛出等比数列的通项公式打下坚实的基础.
设计意图：由学生自主完成表格，激发学生课堂参与积极性，由此搭建复习框架，温故知新，对所学的新知识起到一个先导作用，并为后面渗透类比的数学思想，等由差数列过渡到等比数列做了必要的热身准备.
2. 类比猜想 建构概念
类比等差数列的通项公式，你觉得等比数列的通项公式是什么？
设计意图：由学生复习回顾等差数列的概念及推导方法点燃学生的思维火花，学生结合已有的经验，对等比数列通项推导的基本方法的认识比学习等差数列通项时更深切. 通过学生交流、教师点拨，学生进一步明确研究求等比数列通项公式的一般思路.通过回顾等差数列的有关知识，既尊重学生的学习实际，为新知识确定固着点，同时认识到等比数列其实是等差数列的更高一级的定义，为下面研究等比数列的性质做好铺垫准备.
环节二、合作探究
1. 合作交流
探究1：类比等差数列通项公式的研究方法，探究等比数列的通项公式.
（类比等差数列，发扬团结合作精神，在行动过程中，先自己思考，然后对形成的问题及困惑，小组内讨论、交流，发现问题，解决问题.经小组合作探究也难以解决的问题及困惑，由小组长进行汇总和记录）
设计意图：由前面的铺垫，学生类比等差数列通项公式的研究方法探究等比数列的通项公式，揭示等比数列的实质，自然生成等比数列的通项公式. 在通项公式的形成过程中，并非直接告诉，而是通过教师的追问启发、学生之间的合作交流、类比演算，引导学生自主建构新知.
2. 新知感悟
教师在学生合作交流的基础上，归纳提炼等比数列的通项公式，揭示问题本质.
（教师根据各组的汇总记录，展示探究过程中出现的问题，并对所有小组都解决不了的共性的问题及全班同学的疑惑，进行点评、提炼，由此规范给出等比数列的通项公式.）
设计意图：通过前面学生的主动学、自己学、合作学等学习方式，学生不难得到等比数列通项公式，但作为刚接触的新知识，对它的认识还是肤浅的，需要教师的纠偏、点拨、示范、总结、释难.
3. 实践探究
公式推出后，如何运用公式，由等差数列中解题的经验——运用方程思想作为铺垫，学生们完全可以用同样的方法解决等比数列的基本问题.
例1 求下列等比数列的通项公式
（1）1，，，，…；
（2）3，6，12，24，…；
（3）2，-4，8，-16，…..
设计意图：上述问题是数列中求公式基本量的问题，直接运用公式，方法是运用方程思想，知三求一.
例2 已知等比数列{an}，请完成下表：
设计意图：本环节用表格形式给出练习，进一步熟练公式，让学生更深刻感受到等比数列中的四个量中知三求一的思想.
例3 在等比数列{an}中，已知a1=243，a5=3，求a2，a3，a4.
设计意图：通过三道例题的完成，初步熟悉等比数列通项公式并对它的运用有初步了解. 本题则要学生更熟练地运用公式，已知an，先求q，再代入求各项的值.
变题 在等比数列{an}中，已知a3=2，a6=16，求a12.
探究2：类比等差数列通项公式的变式an=am+（n-m）d，结合变题中a6与a3的关系，你能得到更加一般性的结论吗？（这里推出an=amqn-m公式）
设计意图： 通过逆用公式，即根据等比数列的公式先求出基本量，再求相应的项，让学生进一步认识等比数列通项公式的正向、逆向的运用，同时让学生在潜移默化中体会到等比数列中项数和项的关系这一难点，为接下来研究等比数列的性质埋下伏笔.
上述三道例题和两次逐步递进式的问题探究，让学生充分感受了从等差到等比在解题中的类比，进一步体会转化、类比、化归等重要数学思想在公式探究中的应用.
环节三、巩固反思
1. 巩固训练
（1）课内训练巩固
①在等比数列{an}中，若a2=4，a5=32，则公比应为____________；
②在等比数列{an}中，若a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=____________； ③已知-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，求b2（a2-a1）的值.
设计意图：例题、变题已经从正、反两方面考查学生对等比数列公式的运用，此处设计让学生进一步熟悉等比数列通项公式在具体数列中的运用，尤其是在等差数列、等比数列的混合数列中的呈现情况，培养学生的灵活运用能力.
（2）课后拓展延伸
① 必做题
课本P54 习题2.3（1） 3，4，5，6.
② 选做题
课本P55 习题2.3（1） 13，14.
③ 探究题：
已知数列{an}满足a1=，an=1=·an，求数列{an}的通项公式.
设计意图：课后拓展延伸主要是巩固新知识点，必做题、选做题是对等比数列通项公式的进一步研究，让学生更清楚地认识到等比数列基本量之间存在的数量关系，探究题是对等比通项公式推导方法——累乘法的考查，让学生在不同背景下都能对所学知识熟练运用，操作自如，以达到知识的融会贯通，提高学生对知识的应用能力，进而完善对知识点的理解.
2. 校对交流
设计意图：课堂的本质在“学”而不在“讲”，要把充足的时间留给学生学. 学生对新知识的接受有个过程，出错在所难免，应让学生自主示错、纠错，才能将新知识内化为自己所有.
3. 反思总结
今天的学习方式是否有效？有哪些收获？
设计意图：本环节就是本堂课的一个总结：一是对知识的总结，学生根据本节课的学习，对本节课的内容，形成知识体系，梳理等比数列通项公式的研究主线：回顾——猜想——探究——拓展——反思，体会类比的数学思想方法；二是对学习方法进行总结，对体现的思想及方法进行总结.
八、教后反思
1. 基于学情——数学教学的起点
奥苏贝尔指出：“影响学习的唯一的、最重要的因素是学生已经知道了什么，要根据学生原有的知识进行教学.” 所以，学生现有的数学认知结构是启发式教学的出发点.
想要自然地、严谨地导出等比数列通项公式，教师应首先关注学生学习本节课时所具有的认知基础和情感基础，然后再确定启发学生思考的方式、方法.
就教学实践来看，本节课学生参与积极性高，三个环节的探究过程运行顺畅，学生丝毫没有觉察到公式推导带给他们的“枯燥感”. 反而有不少学生体验到了“跳一跳，能够着桃子”的愉悦感和成功感.
2. 关注学生——数学教学的关键点
在数学教学中，要充分相信学生的能力，依靠学生，进而解放学生，发展学生. 教师要充分预见学生在交流过程中可能会出现的问题，把握住教材的深浅，学生如果在交流过程中出现了大大超出教材难度本身的地方，应当有策略地给其纠正；如果重点不清、概括性不强的地方，教师应当适时地进行归纳补充. 教师只起组织和点拨的作用. 这样学生的学习积极性就被充分地调动起来，其学习的潜力也会被充分地挖掘出来. 学生在课堂上是快乐的，就会激发学生在学习上的积极性，提高学生的学习兴趣，真正实现 “要我学”为“我要学”.