[摘 要] 让学生学得轻松，作为教师，就要讲究策略. 若能告诉学生一类问题的解法通则，则是解题教学的一种策略. 本文以几何证明题中添辅助图为例，加以阐述.
　　[关键词] 辅助圆；构造法；三角形；线段如何减轻学生过重学业负担，促使学生全面发展是摆在学科教师面前的一个重要话题. 要让学生学得轻松，作为教师就要讲究教学策略，使学生在课堂上易懂、易学，从而爱学、乐学，这在解题教学中更显重要. 若能告诉学生一类问题的解法通则，就是解题教学的一种策略. 下面以几何证明题中添辅助圆为例，加以阐述.
　　初中数学中有些问题看似与圆无关，但如果我们根据题目中的已知条件构造辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易、化繁为简的解题效果. 那么，何时构造合适的“辅助圆”，使得解题举重若轻，柳暗花明呢？
　　 当需确定等腰三角形或直角个数时
　　例1 （2013昆明）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有________个.
　　解析：如图1，在平面直角坐标系中，因为O，A两点固定不动，相当于已知等腰三角形一边OA，OA既可作底，又可作腰，因为等腰三角形中有两边相等，所以我们可以利用同圆中半径相等这一性质，通过构造圆来解决.此题应分三种情况考虑：
　　①当OA为腰、∠AOP为顶角时，可以以点O为圆心、OA为半径作圆，交y轴于P1，P3点， 交x轴于P2，P4点；
　　②当OA为腰、∠OAP为顶角时，可以以点A为圆心、OA为半径作圆，交y轴于P5点，交x轴于P6点；
　　③当OA为底时，作OA的中垂线交y轴于P7点，交x轴于P8点；
　　综上，符合条件的点P共有8个.
　　例2 （2006陕西）如图2，矩形ABCG（AB　　A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
　　[D][A][B][C][P][G][F][E][图2]
　　解析：要使∠APE=90°，则可以构造以AE为直径的圆，根据“直径所对的圆周角是直角”，如果此圆与线段BD有几个交点，则使∠APE为直角的点P的个数就有几个，通过作图（如图3所示）可知，以AE为直径的圆O与BD有两个交点，所以使∠APE为直角的点P的个数是2.
　　[D][A][B][C][G][F][E][O]
　　例3 （2014南宁）如图4，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 （k-1）x-k与直线y=kx 1交于A，B两点，点A在点B的左侧. 抛物线y=x2 （k-1）x-k（k>0）与x轴交于点C，D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx 1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.
　　[D][A][B][C][x][Q][y][O]
　　解析：本题有多种解法，但若能领悟到“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义即以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，从而构造“辅助圆”，不失为一种好的解题方法.
　　 当出现有公共端点且长度相等的线段时
　　例4 （2008济宁）如图6，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=____度.
　　[D][A][B][C]
　　解析：根据圆的定义：到定点距离等于定长的点的集合. 本题中已知AB=AC=AD，即点B，C，D到点A的距离相等，容易想到构造以A为圆心，AB为半径的圆（如图7），则B，C，D都在☉A上，所以∠CAD是弧CD所对的圆心角，∠CBD是弧CD所对的圆周角，所以∠CBD=∠CAD=38°.
　　[D][A][B][C]
　　例5 如图8，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AC=AD=2.5，CD=3，求BD的长.
　　[D][A][B][C]
　　解析：由条件AB=AC=AD=2.5，想到构造以A为圆心，AB为半径的圆，则点C，D均在☉A上（如图9），延长DA交☉A于点E，连结BE，由AD∥BC可以推得BE=CD=3，在Rt△BDE中，BE=3， DE=5，由勾股定理可得BD=4.
　　[D][A][B][C][E]
　　 当动点对定线段所张的角为定值时
　　例6 （2014陕西）（1）如图10，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E，F分别为边AB，AC的中点.当AD=6时，BC边上存在一点Q，使得∠EQF=90°，求此时BQ的长；
　　[E][A][B][C][D][F]
　　（2）有一山庄，它的平面图为如图11所示的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270 m，AE=400 m，ED=285 m，CD=340 m. 问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由. 　　[E][A][B][C][D]
　　解析：（1）由条件“当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°”，动点Q对定线段EF所张的角为直角，由“直径所对的圆周角是直角”想到构造以EF为直径的☉O.
　　如图12，以EF为直径作☉O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连结EQ，FQ，易证OQ=OE=3，从而☉O与BC相切，符合条件的点Q唯一，再过点E作EG⊥BC，垂足为G. 所以EG=3，所以四边形OEGQ是正方形.
　　[E][A][B][C][D][F][G][Q][O]
　　在Rt△EBG中，∠B=60°，EG=3， 所以BG=，所以BQ=GQ BG=3 .
　　（2）要满足动点M对定线段AB所张的角∠AMB=60°，由此联想到“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，于是先构造以AB为底边，顶角为120°的等腰三角形OAB，再以点O为圆心，AB为半径作圆O，若该圆与线段CD有交点M，则∠AMB=60°.
　　如图13，先判断☉O与直线CD的位置关系，作OH⊥CD于点O，OP⊥AB于点P， 则AP=AB=135. 在Rt△OAP中，∠OAP=30°，则☉O的半径OA=90，OH=DE-AP=150<90，所以☉O与直线CD相交，现要考查☉O与线段CD是否有交点，且交点有几个.设☉O与直线CD的交点为M，则在若点M在点H的左边，则DM=DH HM=400-45 30>CD，此时点M不在线段CD上，
　　综上所述，在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，此时DM的长为（400-45-30）米.
　　例7 （2013呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为__________.
　　解析：要满足动点C对定线段AB所张的角∠ACB=45°，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，想到构造以AB为斜边的等腰直角三角形PAB，以P为圆心，PA为圆心作☉P，则该圆与y轴的交点就是满足条件的点.
　　本题根据点C的位置可分两种情况：
　　综上，细心观察题目所给出的条件及所要解决的问题，若能与圆结缘，构造一个辅助圆，以它为载体，去重新认识题中所给出的角、线段、三角形等基本图形，再结合圆的一些特有性质，去分析和探讨问题，往往能使我们柳暗花明，豁然开朗. 当然，能构造“辅助圆”情况远远不止文中所给出的三种，只要我们多观察，多思考，多探究，数学解题就会变得充满活力和乐趣，使学生爱学，乐学数学，从而使得“减负提质”真正落到实处.