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所谓更新型转化,是指对原有的概念、性质、方法加以更新。此种更新在概念教学时,反应为概念内涵或外延的变化;在性质、方法的教学时,反应为对性质结论的再认识或对使用方法和范围的扩大。概而言之,更新型转化就是对内涵的深化或是对外延的扩充。
例证1、以“角的概念的扩充”教学为例。
学生对角的概念早已熟悉。要对原有的概念进行更新和扩充,需要教师引导学生思考问题是:
(1)更新和扩充的必要性在哪?这是情景导入的问题。学生会认为概念的更新是纯数学的需要,缺乏学习探究的兴趣。江苏教科书在本章的导语部分,利用点在圆周上的运动模型,做了三点铺垫:角的范围扩充的必要性,任意角三角函数定义中的基本量和三角函数的周期性。教师应结合这部分内容,通过钟表、车轮、雷达等旋转物体的演示,使学生领会角的概念扩充的实际必要性。在激发学生的学习兴趣的同时,也为以后的学习内容留有伏笔。
(2)概念更新后产生的问题是什么,新概念与原概念的关系怎样?这是本课时的核心内容。
新概念在内涵上突出了角的形成的动态过程,增加了旋转方向与角的正负的对应关系。在外延上扩展了角集的范围。引导学生找出运动过程中的不变量,既是联系新旧知识的纽带,也是教学的关键。教师在这些内容的处理方法上有充分的选择空间。一般而言,通过引导学生对新旧的比较,使学生发现问题并思考问题的解决办法,教学效果较好。最不适宜的方法是教师的单项灌输,这样会使精华尽失,枯燥无味。
偶函数的概念学生是熟悉的。但是对条件“ 是偶函数”,学生就会存在疑惑:
“ 是偶函数”—— 函数 的图像关于 轴对称吗?条件转化成等式是 还是 ?教师对于学生疑惑的处理也很棘手,难以找到使学生容易接受的突破口。
解决问题的途径仍应该从概念的更新转化入手。选择对定理的再次解读作为突破口。
可以设计出以下的课堂教学片断。
定理:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 轴对称。
教师设问:定理有没有规定函数的具体形式?
学生答:没有。
教师:函数 是偶函数吗?
学生:是。
教师:既然偶函数的图像关于 轴对称,而函数 是偶函数,
那么函数 的图像是关于 轴对称的。(典型的三段论)
教师继续设问:函数 的图像经过怎样的变换可以得到函数 的图像?
学生答:将函数 的图像各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍得到
函数 的图像,再将函数 的图像向右平移1个单位得到函数 的图像。
教师设问:经过以上的变换,原来的对称轴 =0变换到什么位置?
学生答:直线 =1.
教师设问:我们现在来讨论条件“ 是偶函数” 转化成等式
是 还是 ?哪位同学能谈谈自己的想法。
学生讨论:(1)可以从对称轴为直线 =1入手考虑;(2)可以对两个等式取值检验;
(3)用模型 检验……
经过以上师生之间的问答和讨论,学生不但很容易找出正确答案 ,
而且对于函数的奇偶性,对于函数图像之间的变换有了更加深入的认识。在此基础上,教师应该顺势提出这样的问题:
问题:若函数 为奇函数,则函数 的图象关于点__________对称.
使学生在讨论研究中得到巩固和提高。
更新型转化也包括对题目表达形式的转换,通过这种转换达到灵活选择解题路径的目的。
再举两例。
问题被转化为直线上的点到椭圆弧的最近距离。立知答案为 。
这是数与形之间的转化,即通常所说的数形结合思想。但是本题的教学价值不止于此,直线参数方程的形式是多样的,二次曲线或曲线弧的选择也是灵活的,教师应该指导学生编拟一些同类题,以使学生加深对命题思路的理解。也可以配置几道其它几何背景的类似题,进一步使学生体会,在数形相互转化过程中,形式更新的灵活性。
比较以上两种解法,我们会发现基本思路是一致的,都是围绕题目所给条件与结论的更新转化展开的。但解法一要优于解法二,说明在基本思路确定后,还需要注意解题细节的优化。
概而言之,无论是概念教学还是练习讲评,是新授课还是复习课,更新型转化既是链接新旧知识的纽带,也是思维的主要方式。我们应该高度重视对更新型转化教学价值的研究。
例证1、以“角的概念的扩充”教学为例。
学生对角的概念早已熟悉。要对原有的概念进行更新和扩充,需要教师引导学生思考问题是:
(1)更新和扩充的必要性在哪?这是情景导入的问题。学生会认为概念的更新是纯数学的需要,缺乏学习探究的兴趣。江苏教科书在本章的导语部分,利用点在圆周上的运动模型,做了三点铺垫:角的范围扩充的必要性,任意角三角函数定义中的基本量和三角函数的周期性。教师应结合这部分内容,通过钟表、车轮、雷达等旋转物体的演示,使学生领会角的概念扩充的实际必要性。在激发学生的学习兴趣的同时,也为以后的学习内容留有伏笔。
(2)概念更新后产生的问题是什么,新概念与原概念的关系怎样?这是本课时的核心内容。
新概念在内涵上突出了角的形成的动态过程,增加了旋转方向与角的正负的对应关系。在外延上扩展了角集的范围。引导学生找出运动过程中的不变量,既是联系新旧知识的纽带,也是教学的关键。教师在这些内容的处理方法上有充分的选择空间。一般而言,通过引导学生对新旧的比较,使学生发现问题并思考问题的解决办法,教学效果较好。最不适宜的方法是教师的单项灌输,这样会使精华尽失,枯燥无味。
偶函数的概念学生是熟悉的。但是对条件“ 是偶函数”,学生就会存在疑惑:
“ 是偶函数”—— 函数 的图像关于 轴对称吗?条件转化成等式是 还是 ?教师对于学生疑惑的处理也很棘手,难以找到使学生容易接受的突破口。
解决问题的途径仍应该从概念的更新转化入手。选择对定理的再次解读作为突破口。
可以设计出以下的课堂教学片断。
定理:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 轴对称。
教师设问:定理有没有规定函数的具体形式?
学生答:没有。
教师:函数 是偶函数吗?
学生:是。
教师:既然偶函数的图像关于 轴对称,而函数 是偶函数,
那么函数 的图像是关于 轴对称的。(典型的三段论)
教师继续设问:函数 的图像经过怎样的变换可以得到函数 的图像?
学生答:将函数 的图像各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍得到
函数 的图像,再将函数 的图像向右平移1个单位得到函数 的图像。
教师设问:经过以上的变换,原来的对称轴 =0变换到什么位置?
学生答:直线 =1.
教师设问:我们现在来讨论条件“ 是偶函数” 转化成等式
是 还是 ?哪位同学能谈谈自己的想法。
学生讨论:(1)可以从对称轴为直线 =1入手考虑;(2)可以对两个等式取值检验;
(3)用模型 检验……
经过以上师生之间的问答和讨论,学生不但很容易找出正确答案 ,
而且对于函数的奇偶性,对于函数图像之间的变换有了更加深入的认识。在此基础上,教师应该顺势提出这样的问题:
问题:若函数 为奇函数,则函数 的图象关于点__________对称.
使学生在讨论研究中得到巩固和提高。
更新型转化也包括对题目表达形式的转换,通过这种转换达到灵活选择解题路径的目的。
再举两例。
问题被转化为直线上的点到椭圆弧的最近距离。立知答案为 。
这是数与形之间的转化,即通常所说的数形结合思想。但是本题的教学价值不止于此,直线参数方程的形式是多样的,二次曲线或曲线弧的选择也是灵活的,教师应该指导学生编拟一些同类题,以使学生加深对命题思路的理解。也可以配置几道其它几何背景的类似题,进一步使学生体会,在数形相互转化过程中,形式更新的灵活性。
比较以上两种解法,我们会发现基本思路是一致的,都是围绕题目所给条件与结论的更新转化展开的。但解法一要优于解法二,说明在基本思路确定后,还需要注意解题细节的优化。
概而言之,无论是概念教学还是练习讲评,是新授课还是复习课,更新型转化既是链接新旧知识的纽带,也是思维的主要方式。我们应该高度重视对更新型转化教学价值的研究。