人教社初中四年制《幾何》第二册第95页“想一想”有一道题：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的，想一想为什么？
　　证明：∵四边形ABCD是正方形
　　∴OA=OB ∠OAB=∠OBF=45°
　　∠AOB=∠AOE+∠BOE=90°
　　∵四边形A′B′C′O是正方形
　　∴∠A′OC′=90°∠EOB+∠BOF=90°
　　∴∠AOE=∠BOF
　　∴△AOE≌△BOF
　　∴S四边形EBFO=S△AOB=S四边形ABCD
　　若把此题的条件稍加改变，结论是否不变？
　　变化一：若正方形ABCD绕点O转动，其他条件不变，结论是否成立？
　　变化二：若正方形A′B′C′O的边长大于正方形ABCD的边长，其他条件不变，结论是否成立？
　　变化三：若正方形A′B′C′O的边长等于正方形ABCD边长的一半，其他条件不变，结论是否成立？
　　变化四：若正方形ABCD的中心绕着另一个正方形的中心转动，其他条件不变，结论是否成立？
　　以上四个问题是在学生学会证明原题的基础上，通过变式，引导学生探求的，而且都是两个正方形转动，转动的各种情形画图不直观。若让学生按每个问题的条件要求，做一些正方形的纸片，画上对角线，三人一组，一人观察，两人转动，然后画图讨论证明，就会很快解决问题。
　　变化一的结论不会变化。
　　变化二的结论是：重叠部分的面积，始终等于不转动的正方形的面积的。
　　变化三的结论是：随着转动的变化，重叠部分的面积发生变化。
　　正方形A′B′C′O绕着点O转动，当OA′⊥AB，OC′⊥BC时（如图2），重叠部分的面积达到最大值，是正方形ABCD的面积的（证明略）。当OA与OB在一条线上时，重叠部分的面积达到最小值，是正方形ABCD面积的倍（如图3）。
　　证明：设正方形ABCD的边长为a，则OA′=A′B′=B′C′=OC′=
　　∵∠OBC=45°∠BA′E=90°∠B′=90°
　　∴∠A′EB=45°∠B′EF=∠B′FE=45°
　　若设B′E=x则A′E=A′B=-x
　　而OB=
　　∴-x+=
　　∴x=
　　∴S△B′EF=
　　∴S重叠=S正方形A′B′C′O′-S△B′EF=-=
　　变化四的结论是：随着转动的变化，重叠部分的面积发生变化。
　　因为是两个边长相等的正方形中心绕着中心转动，当两个正方形的顶点重合时，这时重叠部分的面积达到最大值，也就是本身正方形的面积。（证明略）当两个正方形的对角线相交成45°角时(如图4)，这时重叠部分的面积达到最小值，也就是原正方形面积的（）倍。
　　证明：（如图4）设正方形的边长为a，A′E=x由正方形的性质可知AE=A′E=A′F=BF=x，则EF=∴2x+=a
　　∴x=，即A′E=A′F=
　　∴S△A′EF=
　　∴S重叠= S正方形-4S△A′EF=a2-4×=
　　利用课本中的“想一想”，进行探究性教学，引导学生从更深刻的层次、更广阔的角度，将问题变式、引伸，挖掘知识内在联系，能培养学生思维的灵活性和探求能力。
　　
　　“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”