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【摘 要】在高等数学的教学中开展案例教学是应用型高校培养学生应用能力和提高教学质量的有效方法之一。本文探讨了案例式教学应用的意义、特点，实施案例教学的过程及相关示例，并指出在案例教学中还需要进一步深入研究的三个关键问题。
【关键词】高等数学；案例式教学；实践；关键问题
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0011-02
高等数学是工科院校的一门基础学科，它直接影响到许多其他课程的课程建设和学生素质的培养。数学定理、概念比较抽象，学生都认为它枯燥无用。传统高等数学的教学模式是“满堂灌”，学生往往处于被动接受知识的状态，给学生一种抽象、深奥的感觉，觉得学与不学都一样。应用型高校是以培养应用型人才为目标的，传统的教学方式已然落后。应用型人才培养目标要求在教学中加强培养学生对知识的综合应用能力，注重数学与其它学科之间的联系[1]。学习数学的目的是为了学以致用，必须培养学生利用理论知识解决实际问题的能力。因此，在应用型高校的高等数学教学中穿插专业案例或实际案例是迫切需要的，这样可以使学生更加明确学习目的，发挥自主性，提高知识的趣味性，激发学生不断思考、提出问题，分析和解决问题的能力。
案例教学法是1870年由哈佛大学法学院院长首创，在工商管理等学科的教学中取得了巨大的成功[2]。案例教学其实就是一种过程和实践教学，教师根据教学目的选用典型性、启发性的案例作为教学材料，把学生引入一个特定情境中，通过师生之间双向和学生之间多向互动讨论，让学生了解与教学主题相关的概念或理论。传统的课堂是着重于理论知识的传授，案例教学则侧重于培养学生通过分析、归纳出解决问题的思路和方法，把重视知识转化为重视能力，同时又实现了师生的双向交流。这种教学方式对教师和学生的要求都高，学生从被动的听讲者转变为积极的参与者。虽然一开始学生的学习效率可能有所降低，但是学生的学习兴趣和对所学知识的理解和掌握程度会有明显的提高[3]。
案例教学于1980年引入我国后，已经在我国高校的管理、法律等专业的教学中得到了普遍程度的应用。但是，案例教学在高等数学教学中的应用还处于起步阶段。从目前收集到的资料来看，尽管许多数学教师已经认识到了案例教学的价值，但是发表的论文都是在说明案例教学对高等数学教学的必要性上，真正的教学案例确实还是不够专业和通俗易懂。
在高等数学中应用案例教学，就必须了解案例教学的特点：案例教学的实践性是由案例的真实性决定的，学生根据所学的知识在教师的指导下解决问题，实际上是学生对自己真实生活实践的体验。在教学过程中，教师起着主导作用，学生是参与者，要充分发挥主观能动性[4]。
1 案例教学在高等数学中的实践
1.1 选择案例
高等数学不同于其它课程，并不是所有的内容都适合案例教学，教师在上课前要精心选择案例。如高等数学中的一些重要的概念，我们可以选取文化色彩浓厚或者学生熟悉的实际问题作案例：极限的概念可以用“割圆术”来引入说明；导数的应用可以用投篮的角度是多少时命中率最高的问题来体现；在极值部分可以选择租赁公寓时怎样才能达到最高收入作案例；在定积分部分可以组织学生建立一个交通流下黄灯闪烁时间的模型，培养他们将实际问题转化成数学模型，从而应用所学知识解决简单实际问题的能力；在一阶微分方程部分可以结合我们日常生活中的化学溶液混合配比和银行利率增长问题；在级数部分可以以信息处理问题为背景，简单说明信号分析，密码破译的核心原理等。同時教师将数学与专业背景联系起来，产生的教学效果就会更好，如给经济学专业学生上课时，选择一些关于社会经济现象的数学模型，如经济系统中价格涨幅对需求和利润的影响可以用一元函数的极限与导数问题来解释[5]。在案例的选取上，教师一定要把握好尺度，给出的数学问题要有探究性。案例太复杂，或者太简单，都不能调动学生的积极性，更不能起到锻炼学生逻辑思维能力的作用。
1.2 分析案例
高等数学中的概念、定理等有着很强的逻辑性和抽象性，因此，师生都要做好充分的准备。教师可以在授课前，将案例材料交给学生，并由教师提出针对性的问题，给学生时间去查找资料，在讲授内容时，根据学生实际情况合理分组，并引导学生积极思考讨论，让学生阐述自己的想法主动学习。在这个过程中，教师应有效地控制课堂气氛，把握讨论主题和节奏，及时调整补充教学方案。在学生的讨论结果中，教师应依据本节课的教学目的，通过分析、比较选择最佳答案传授学生。并且要对学生的表现做出积极的评价，以激励下次更好地参与[6]。
1.3 归纳推广案例
教师可以再列举一些类似的案例，让学生对比几个案例的共同点，归纳提炼出新的数学概念和方法。让学生在案例分析的基础上把基本原理和概念掌握好，从而具备能运用理论知识分析解决实际问题的能力。
1.4 评估教学效果
要求教师对课堂效果及时进行评估，包括案例是否具有代表性，能否准确反应理论知识点，还有学生对已学知识的延展性，重点是学生对教学的参与热情，能够自己发现规律并能引申理论知识[7]。
2 案例教学中需要解决的关键问题
目前，我们进行案例教学需要解决的关键问题有三个方面。
首先，由于高等数学的案例教学处于实验阶段，案例库匮乏。我们要结合应用型院校的实际情况，深入研究专业教学大纲，选择或者编制符合教学目的，适合学生讨论，便于理解的典型案例。再者，案例应具有真实性、启发性和趣味性。要经常对案例库进行更新和维护，满足专业需要，做到与时俱进，完成案例库的建设。
其次，案例教学对教师要求较高，需要教师具有很好地知识结构和教学能力，能够在教学中结合专业和学生的实际情况进行教学。但是多数高校高等数学教师都是数学专业毕业直接走上讲台，其它学科背景知识不足，在案例教学中不能起到主导作用，临场应变能力和组织管理课堂能力不行，这就求教师从多方面提高自己的综合水平，大胆创新，积极实践，不断完善自我。 最后，由于学校培养机制的影响，具体起来不好实施，如现在由于应用型大学的改革，公共基础课课时减少，很难在有限的课时内全面开展案例教学，我们只能选取有代表性的知识点利用案例教学，并且将其它教学方法参与其中灵活应用，力求获得最大的效果。
3 对零点定理进行案例式教学示范
零点定理：函数在闭区间[，]上连续，并且，则在（，）内至少存在一点，使得。
由教师提出引例：假设有一个边界、形状任意且底面和表面都水平的蛋糕，问是否存在一个点，在这个点处切一刀可以把蛋糕分成两块面积相等的部分。
我们可以把问题归结为把一个多边形面积二等分的问题。用一条直线从左到右扫过整个多边形，则位于直线左侧的面积由0逐渐增大，直线右侧的面积则逐渐减少。若把直线左侧的面积记为，直线右侧的面积记为，则随着直线位置的变化，的值在某个点之前是负数，某个点之后是正数，它一定经过了一个点，使得。通过对这个实际问题的探讨，既可以让学生学习了零点定理，又将知识加以应用。同时为了拓展学生的知识面还可以让学生思考日常生活中的其它例子，最后教师给出以下两个问题，一是拉一根橡皮筋，一头朝左，同时另一头朝右，在橡皮筋不拉断的情况下，橡皮筋上总有一点在它原来的位置不动；二是把椅子放在不平的地面上，通常三条腿着地，一条腿不着地，只需将它旋转几下就四条腿着地了。这些生活中很常见的问题平时很少有人去深入地思考，以此例可以引导学生多观察生活，多动脑思考问题。
为适应应用型高校创新人才培养的課程体系的改革需要，教学实践表明在传统的高等数学教学方法中结合学生的专业知识，适当地运用案例教学，搭建理论联系实际的平台，让数学学以致用，能够激发学生的学习兴趣，最终取得良好的教学效果。
【参考文献】
[1]徐兰.应用实例在高等数学中的运用.学园，2014（30）.
[2]陈晶晶，陈园.浅析案例教学在高等数学教学中的运用[J].现代企业教育，2011（23）.
[3]刘罗华，汤琼.工科院校大学数学的案例式教学探讨[J].湖南工业大学学报，2010（2）.
[4]常春.大学数学案例教学研究与应用分析.山西青年报，2014（10）.
[5]董庆华.“高等数学”课程的案例教学实践[J].纺织服装教育，2013（1）.
[6]何娟娟.基于案例教学法的高等数学教学改革实践[J].开封教育学院学报，2014（9）.
[7]孙秀娟，王新霞，王春.高等数学案例教学法[J].高师理科学刊，2012（3）.
【关键词】高等数学；案例式教学；实践；关键问题
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0011-02
高等数学是工科院校的一门基础学科，它直接影响到许多其他课程的课程建设和学生素质的培养。数学定理、概念比较抽象，学生都认为它枯燥无用。传统高等数学的教学模式是“满堂灌”，学生往往处于被动接受知识的状态，给学生一种抽象、深奥的感觉，觉得学与不学都一样。应用型高校是以培养应用型人才为目标的，传统的教学方式已然落后。应用型人才培养目标要求在教学中加强培养学生对知识的综合应用能力，注重数学与其它学科之间的联系[1]。学习数学的目的是为了学以致用，必须培养学生利用理论知识解决实际问题的能力。因此，在应用型高校的高等数学教学中穿插专业案例或实际案例是迫切需要的，这样可以使学生更加明确学习目的，发挥自主性，提高知识的趣味性，激发学生不断思考、提出问题，分析和解决问题的能力。
案例教学法是1870年由哈佛大学法学院院长首创，在工商管理等学科的教学中取得了巨大的成功[2]。案例教学其实就是一种过程和实践教学，教师根据教学目的选用典型性、启发性的案例作为教学材料，把学生引入一个特定情境中，通过师生之间双向和学生之间多向互动讨论，让学生了解与教学主题相关的概念或理论。传统的课堂是着重于理论知识的传授，案例教学则侧重于培养学生通过分析、归纳出解决问题的思路和方法，把重视知识转化为重视能力，同时又实现了师生的双向交流。这种教学方式对教师和学生的要求都高，学生从被动的听讲者转变为积极的参与者。虽然一开始学生的学习效率可能有所降低，但是学生的学习兴趣和对所学知识的理解和掌握程度会有明显的提高[3]。
案例教学于1980年引入我国后，已经在我国高校的管理、法律等专业的教学中得到了普遍程度的应用。但是，案例教学在高等数学教学中的应用还处于起步阶段。从目前收集到的资料来看，尽管许多数学教师已经认识到了案例教学的价值，但是发表的论文都是在说明案例教学对高等数学教学的必要性上，真正的教学案例确实还是不够专业和通俗易懂。
在高等数学中应用案例教学，就必须了解案例教学的特点：案例教学的实践性是由案例的真实性决定的，学生根据所学的知识在教师的指导下解决问题，实际上是学生对自己真实生活实践的体验。在教学过程中，教师起着主导作用，学生是参与者，要充分发挥主观能动性[4]。
1 案例教学在高等数学中的实践
1.1 选择案例
高等数学不同于其它课程，并不是所有的内容都适合案例教学，教师在上课前要精心选择案例。如高等数学中的一些重要的概念，我们可以选取文化色彩浓厚或者学生熟悉的实际问题作案例：极限的概念可以用“割圆术”来引入说明；导数的应用可以用投篮的角度是多少时命中率最高的问题来体现；在极值部分可以选择租赁公寓时怎样才能达到最高收入作案例；在定积分部分可以组织学生建立一个交通流下黄灯闪烁时间的模型，培养他们将实际问题转化成数学模型，从而应用所学知识解决简单实际问题的能力；在一阶微分方程部分可以结合我们日常生活中的化学溶液混合配比和银行利率增长问题；在级数部分可以以信息处理问题为背景，简单说明信号分析，密码破译的核心原理等。同時教师将数学与专业背景联系起来，产生的教学效果就会更好，如给经济学专业学生上课时，选择一些关于社会经济现象的数学模型，如经济系统中价格涨幅对需求和利润的影响可以用一元函数的极限与导数问题来解释[5]。在案例的选取上，教师一定要把握好尺度，给出的数学问题要有探究性。案例太复杂，或者太简单，都不能调动学生的积极性，更不能起到锻炼学生逻辑思维能力的作用。
1.2 分析案例
高等数学中的概念、定理等有着很强的逻辑性和抽象性，因此，师生都要做好充分的准备。教师可以在授课前，将案例材料交给学生，并由教师提出针对性的问题，给学生时间去查找资料，在讲授内容时，根据学生实际情况合理分组，并引导学生积极思考讨论，让学生阐述自己的想法主动学习。在这个过程中，教师应有效地控制课堂气氛，把握讨论主题和节奏，及时调整补充教学方案。在学生的讨论结果中，教师应依据本节课的教学目的，通过分析、比较选择最佳答案传授学生。并且要对学生的表现做出积极的评价，以激励下次更好地参与[6]。
1.3 归纳推广案例
教师可以再列举一些类似的案例，让学生对比几个案例的共同点，归纳提炼出新的数学概念和方法。让学生在案例分析的基础上把基本原理和概念掌握好，从而具备能运用理论知识分析解决实际问题的能力。
1.4 评估教学效果
要求教师对课堂效果及时进行评估，包括案例是否具有代表性，能否准确反应理论知识点，还有学生对已学知识的延展性，重点是学生对教学的参与热情，能够自己发现规律并能引申理论知识[7]。
2 案例教学中需要解决的关键问题
目前，我们进行案例教学需要解决的关键问题有三个方面。
首先，由于高等数学的案例教学处于实验阶段，案例库匮乏。我们要结合应用型院校的实际情况，深入研究专业教学大纲，选择或者编制符合教学目的，适合学生讨论，便于理解的典型案例。再者，案例应具有真实性、启发性和趣味性。要经常对案例库进行更新和维护，满足专业需要，做到与时俱进，完成案例库的建设。
其次，案例教学对教师要求较高，需要教师具有很好地知识结构和教学能力，能够在教学中结合专业和学生的实际情况进行教学。但是多数高校高等数学教师都是数学专业毕业直接走上讲台，其它学科背景知识不足，在案例教学中不能起到主导作用，临场应变能力和组织管理课堂能力不行，这就求教师从多方面提高自己的综合水平，大胆创新，积极实践，不断完善自我。 最后，由于学校培养机制的影响，具体起来不好实施，如现在由于应用型大学的改革，公共基础课课时减少，很难在有限的课时内全面开展案例教学，我们只能选取有代表性的知识点利用案例教学，并且将其它教学方法参与其中灵活应用，力求获得最大的效果。
3 对零点定理进行案例式教学示范
零点定理：函数在闭区间[，]上连续，并且，则在（，）内至少存在一点，使得。
由教师提出引例：假设有一个边界、形状任意且底面和表面都水平的蛋糕，问是否存在一个点，在这个点处切一刀可以把蛋糕分成两块面积相等的部分。
我们可以把问题归结为把一个多边形面积二等分的问题。用一条直线从左到右扫过整个多边形，则位于直线左侧的面积由0逐渐增大，直线右侧的面积则逐渐减少。若把直线左侧的面积记为，直线右侧的面积记为，则随着直线位置的变化，的值在某个点之前是负数，某个点之后是正数，它一定经过了一个点，使得。通过对这个实际问题的探讨，既可以让学生学习了零点定理，又将知识加以应用。同时为了拓展学生的知识面还可以让学生思考日常生活中的其它例子，最后教师给出以下两个问题，一是拉一根橡皮筋，一头朝左，同时另一头朝右，在橡皮筋不拉断的情况下，橡皮筋上总有一点在它原来的位置不动；二是把椅子放在不平的地面上，通常三条腿着地，一条腿不着地，只需将它旋转几下就四条腿着地了。这些生活中很常见的问题平时很少有人去深入地思考，以此例可以引导学生多观察生活，多动脑思考问题。
为适应应用型高校创新人才培养的課程体系的改革需要，教学实践表明在传统的高等数学教学方法中结合学生的专业知识，适当地运用案例教学，搭建理论联系实际的平台，让数学学以致用，能够激发学生的学习兴趣，最终取得良好的教学效果。
【参考文献】
[1]徐兰.应用实例在高等数学中的运用.学园，2014（30）.
[2]陈晶晶，陈园.浅析案例教学在高等数学教学中的运用[J].现代企业教育，2011（23）.
[3]刘罗华，汤琼.工科院校大学数学的案例式教学探讨[J].湖南工业大学学报，2010（2）.
[4]常春.大学数学案例教学研究与应用分析.山西青年报，2014（10）.
[5]董庆华.“高等数学”课程的案例教学实践[J].纺织服装教育，2013（1）.
[6]何娟娟.基于案例教学法的高等数学教学改革实践[J].开封教育学院学报，2014（9）.
[7]孙秀娟，王新霞，王春.高等数学案例教学法[J].高师理科学刊，2012（3）.