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【摘要】本文阐述了在教学中应从理解实际问题、抽象分析和运用数学工具、通过实践验证结果三方面培养学生数学建模的能力，使学生能善于运用数学知识及数学思维方法来分析和解决实际问题。
【关键词】数学模型（MM） 实际问题 数学抽象
数学模型（mathematical modelling）简称MM。在当今高校，以培养大学生洞察力、想象力、创造力为目的的数学建模培训与竞赛非常热门，围绕构建MM开展的数学改革与教学试验成为教改的核心内容。在高职院校，学生的数学基础普遍较差，这就要求我们在夯实学生基础知识的前提下，努力培养学生构造MM的能力，提高学习数学的兴趣，使大学生在走出校门从事实际工作时，能善于运用数学知识及数学思维方法来分析和解决实际问题。根据本人的经验总结出应从以下三方面来培养学生的数学建模能力：
一、理解实际问题的能力
首先，对所研究的实际问题即现实问题，要分析其对象与关系结构的本质属性，以便确定其MM的类别。其次，要确定所研究的系统，为使用MM方法，须考察问题所属系统，如电力系统、生态系统、管理系统、市场营销系统等等，在确定系统的过程中有时还须从大系统中分离出子系统来。例如，研究潮汐摩擦问题时，须确定月——地系统，这个系统须从太阳系（大系统）中分离出来。要求学生学习有关的自然科学、工程科学和社会科学的某些分支领域的知识，要掌握好这些领域中的定律、法则和规律，才能有助于提高有关领域的数学建模的实际工作能力。再次，为建立MM还必须选择具有关键性作用的变量或量的关系进行考察，即要抓住主要因素，因为MM所反映的应该是主要因素间的关系结构。实际问题中众多因素之间有主次之分，如果面面俱到，无所不包，模型就会非常复杂，不易求解。因此可通过合理假设将问题理想化、简单化、清晰化，抓住主要因素，暂不考虑次要因素，在相对简单的情况下，理清变量之间的关系，以便于进行数学描述。
二、抽象分析和运用数学工具的能力
要进行数学抽象，即用适当的数学语言和方法，对实际问题的内在规律进行研究，分清问题的主要因素和次要因素，恰当地抛弃次要因素，提出合理的假设，并用数字、图表或者公式、符号表示出来。如果遇到现成的数学工具不够用时，则还需要大胆创造，根据实际情况，提出新的数学概念和数学方法去表示MM。要求学生学习各门数学知识时，要注意多做些应用题，比如应多做些微积分、微分方程及概率等方面的应用题，这对提高分析能力和运用数学语言、方法的能力是必不可少的基础训练。此外，还要多接触实际问题，有时还需要深入到实际具体的部门中去，才能培养善于洞察问题关键的能力。
整个数学建模中最关键的部分，就是从实际到数学的过程。分析问题，采用适当的数学方法进行模型设计。有时，同一个问题所采用解题的数学方法也不是唯一的，因此其数学模型的形式也不是唯一的。
三、通过实践加以验证的能力
对模型的求解结果返回到现实中去进行检验，看看是否确实回答了实际问题。包括：从实际角度出发研究其可行性以及合理性；放宽建模的约束条件，研究其应用的广泛性；波动参数，观察模型的稳定性。即一个好的模型，其结果不应该由于原始数据或参数的微小波动而有很大的变化；统计性检验和误差分析，即模型的求解不会因算法的不同而有大的差异；修改假设条件后模型的适用性分析，实际可行性检验等。
下面我们结合一个实例对数学建模的过程进行一个粗略的介绍。
例：设物体置于24℃的空气中，在时刻ｔ＝0时，物体温度为ｕ0＝150℃，经过10分钟后物体温度变为ｕ1＝100℃。试确定物体温度ｕ与时间ｔ之间的关系。
分析：这是关于物体冷却过程的物理问题。解题思路如下图：
解：温度ｕ应是时间变量ｔ的连续函数，设u=u(t)，对初始温度ｕ0，温差为uo-ua（ua为空气温度），即物体冷却过程的数学模型为微分方程：
du/dt＝-k(u-ua)(k为常数，在具体的问题里可确定)
解微分方程：∫d(u-ua)/u-ua=-k∫dt=-kt+c
即ln(u-u0)=-kt+c,则u-u0=Ae-kt（A为常数）。
初始条件t=0，u=u(0)=u0，故得u0-ua=Ae0=A，即有u-ua=(u0-ua)e-kt或u =(u0-ua)e-kt+ua。
这便是所寻求的方程解，它是冷却过程数学模型的现实形式。有了上述一般的MM后，只需把实际问题里的具体数据代入即可得出：100=(150-24)e-10k+24，由此确定 k≈0.051。
因此针对具体问题的特殊模型为：u=24+126e-0.051t。最后我们把实际问题的初始条件带入上式可以验证模型的可行性及合理性。
总之，建立数学模型来解决实际问题，是各行各业大量需要的。大学生们走上工作岗位后，面对的类似问题会有很多，具备运用和驾驭所学知识对实际问题建模求解的能力，也应是大学生自身价值的一种体现。
参考文献：
《数学方法论选讲》华中工学院出版社
【关键词】数学模型（MM） 实际问题 数学抽象
数学模型（mathematical modelling）简称MM。在当今高校，以培养大学生洞察力、想象力、创造力为目的的数学建模培训与竞赛非常热门，围绕构建MM开展的数学改革与教学试验成为教改的核心内容。在高职院校，学生的数学基础普遍较差，这就要求我们在夯实学生基础知识的前提下，努力培养学生构造MM的能力，提高学习数学的兴趣，使大学生在走出校门从事实际工作时，能善于运用数学知识及数学思维方法来分析和解决实际问题。根据本人的经验总结出应从以下三方面来培养学生的数学建模能力：
一、理解实际问题的能力
首先，对所研究的实际问题即现实问题，要分析其对象与关系结构的本质属性，以便确定其MM的类别。其次，要确定所研究的系统，为使用MM方法，须考察问题所属系统，如电力系统、生态系统、管理系统、市场营销系统等等，在确定系统的过程中有时还须从大系统中分离出子系统来。例如，研究潮汐摩擦问题时，须确定月——地系统，这个系统须从太阳系（大系统）中分离出来。要求学生学习有关的自然科学、工程科学和社会科学的某些分支领域的知识，要掌握好这些领域中的定律、法则和规律，才能有助于提高有关领域的数学建模的实际工作能力。再次，为建立MM还必须选择具有关键性作用的变量或量的关系进行考察，即要抓住主要因素，因为MM所反映的应该是主要因素间的关系结构。实际问题中众多因素之间有主次之分，如果面面俱到，无所不包，模型就会非常复杂，不易求解。因此可通过合理假设将问题理想化、简单化、清晰化，抓住主要因素，暂不考虑次要因素，在相对简单的情况下，理清变量之间的关系，以便于进行数学描述。
二、抽象分析和运用数学工具的能力
要进行数学抽象，即用适当的数学语言和方法，对实际问题的内在规律进行研究，分清问题的主要因素和次要因素，恰当地抛弃次要因素，提出合理的假设，并用数字、图表或者公式、符号表示出来。如果遇到现成的数学工具不够用时，则还需要大胆创造，根据实际情况，提出新的数学概念和数学方法去表示MM。要求学生学习各门数学知识时，要注意多做些应用题，比如应多做些微积分、微分方程及概率等方面的应用题，这对提高分析能力和运用数学语言、方法的能力是必不可少的基础训练。此外，还要多接触实际问题，有时还需要深入到实际具体的部门中去，才能培养善于洞察问题关键的能力。
整个数学建模中最关键的部分，就是从实际到数学的过程。分析问题，采用适当的数学方法进行模型设计。有时，同一个问题所采用解题的数学方法也不是唯一的，因此其数学模型的形式也不是唯一的。
三、通过实践加以验证的能力
对模型的求解结果返回到现实中去进行检验，看看是否确实回答了实际问题。包括：从实际角度出发研究其可行性以及合理性；放宽建模的约束条件，研究其应用的广泛性；波动参数，观察模型的稳定性。即一个好的模型，其结果不应该由于原始数据或参数的微小波动而有很大的变化；统计性检验和误差分析，即模型的求解不会因算法的不同而有大的差异；修改假设条件后模型的适用性分析，实际可行性检验等。
下面我们结合一个实例对数学建模的过程进行一个粗略的介绍。
例：设物体置于24℃的空气中，在时刻ｔ＝0时，物体温度为ｕ0＝150℃，经过10分钟后物体温度变为ｕ1＝100℃。试确定物体温度ｕ与时间ｔ之间的关系。
分析：这是关于物体冷却过程的物理问题。解题思路如下图：
解：温度ｕ应是时间变量ｔ的连续函数，设u=u(t)，对初始温度ｕ0，温差为uo-ua（ua为空气温度），即物体冷却过程的数学模型为微分方程：
du/dt＝-k(u-ua)(k为常数，在具体的问题里可确定)
解微分方程：∫d(u-ua)/u-ua=-k∫dt=-kt+c
即ln(u-u0)=-kt+c,则u-u0=Ae-kt（A为常数）。
初始条件t=0，u=u(0)=u0，故得u0-ua=Ae0=A，即有u-ua=(u0-ua)e-kt或u =(u0-ua)e-kt+ua。
这便是所寻求的方程解，它是冷却过程数学模型的现实形式。有了上述一般的MM后，只需把实际问题里的具体数据代入即可得出：100=(150-24)e-10k+24，由此确定 k≈0.051。
因此针对具体问题的特殊模型为：u=24+126e-0.051t。最后我们把实际问题的初始条件带入上式可以验证模型的可行性及合理性。
总之，建立数学模型来解决实际问题，是各行各业大量需要的。大学生们走上工作岗位后，面对的类似问题会有很多，具备运用和驾驭所学知识对实际问题建模求解的能力，也应是大学生自身价值的一种体现。
参考文献：
《数学方法论选讲》华中工学院出版社