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摘要:3-RRC并联柔性少自由度机器人因其设计简单，制造与控制容易在近些年来备受青睐。然而由于使用了柔性杆件与关节点取代了传统的刚性附件，且通常情况下运动速度高，加速度大，机构质量轻等，因此在对其进行动力学分析时需要运用运动弹性动力学分析(简称KED)、有限元分析、拉格朗日方程进行建模，使用NewMark方法进行微分方程求解。现在建模软件、数值计算软件的使用使得大量的计算得以简化。
关键词:并联机器人；柔性连杆机构；运动弹性力学；计算机仿真
中图分类号:TP242 文献标识码:A 文章编号:1009-2374(201 1)24-0013-02
一、3一RRC机器人的结构组成
3 RRC机器人是一种空间连杆机构，全称为少自由度并联柔性连杆机构。RRC分别代表了不同的运动副，R为转动副，c为圆柱副。3表示机构具有三条支链。并联机构是指动静平台通过两个或两个以上相互独立的运动链链接，拥有两个以上自由度，同时在驱动方面也是并联执行的。
动静平台可以为四边形也可以为三角形，不同的平台类型所对应的运动特性与动力学特性均不相同，但是研究这些机构的特性可以发现其共同点。以常见的四边形结构为例，其动静平台均为矩形(见图1所示)。其中两路支链的运动副(A181C，)和(A282C2)轴线相互平行，且垂直与另一路支链运动副(A3B3C3)轴线。矩形结构在运动位置分析中较之其他结构简单，因此被广泛的应用。
图1中所示Ai为R副连接静平台，cj为c副连接动平台，两者之问通过Bi(R)副连接。三个运动副轴线彼此平行且均平行于静平台，三条支链的运动被限制在各自的平面之内，每条支链可看作独立的二副杆串连机构(SOC)连接动静平台。
每条支链可以看作由4个运动副组成(c副可分解为转动副和移动副)，分别对三条支链进行分析可以知道整个系统动平台的自由度为3，动平台平行于静平台，在运动过程中只能做平移运动。
二、3一RRC机器人的弹性力学模型
任何机械结构都是为了完成某一目的而设计的，并联机器人由于其空间特性而被应用多个自动化控制领域，为了分析其运动规律和力学特征而需要进行机构的动力学分析。
动力学分析是研究时变载荷对机构的影响，用来确定系统的动力学参数从而确定构件的位移及其误差、振动速度、振动加速度和杆件受力情况，为选择合适的材料，运动轨迹分析提供理论依据。
柔性并联机构正在向高速度、高加速度方向发展，虽然构件仍然使用钢结构甚至是高强度碳纤维材料，然而其动力学特征已经不能使用刚体机构来进行分析。将机构看成一个正在运动着的弹性系统，研究其在外力和惯性力激荡下的振动从中获得机构的位移、速度、加速度等运动学特征以及应力、应变等动力学参数的方法称之为运动弹性动力分析，其目的是确定系统的弹性运动响应。
为简化计算便于建模通常进行如下假设:各支链连杆为柔性杆，动静平台为刚性架，不计铰链弹性形变。同时将一条支链分为两个柔性单元，将与静平台相连的杆件作悬臂梁考虑。
建立坐标系统时应当分别定义单元坐标系I和系统坐标系S。以支链A181C1为例进行分析，如图2所示，分别在系统坐标和单元坐标下定义坐标。
对杆件A1B1分析，在系统坐标下定义坐标A1的变形δs11，B1的横向位移Ss11纵向位移Ss12，弹性变形九。…在单元坐标下A。的的变形δI11B1。的横向位移SI11，纵向位移SIl2，弹性变形λI11。
对杆件BlCl分析，在系统坐标下B1横向位移S11纵向位移Ss12，弹性变形λS12，C1的横向位移Ss13，纵向位移Ss14，弹性变形λS13；在单元坐标下B1横向位移sI13，纵向位移SI14，弹性变形λI12，c1的横向位移sI15，纵向位移SI16，弹性变形λI13。
对另外两条支链进行同样分析从而的到:
系统坐标矩阵s[δsi1，Ssi1，Ssi2，λsi1，Ssi3，Ssi4，λsi2，λsi3]T；
单元系统矩阵I[δIi1，sIi1，SIi2，入Ii1，SIi3，SIi4，λIi2，SIi5，SIi6，入I13]T。
考虑到系统的约束条件，动平台PM的自由度为3个，可知整个系统运动可以使用3组21个坐标描述其位移，其中动平台3个，支链18个。两个坐标系中存在s=[N]I(此处[N]为10×8变换矩阵)关系。
单元横向变形x，纵向y则得到单元动能E和势能G:
MI为单元质量矩阵、KI为单元刚度矩阵、FI为单元等效力矩阵，s为系统坐标矩阵。
利用系统运动约束条件，统一单元方程与刚性架方程，在引入阻尼参数建立系统弹性动力学方程。
此时建立的动力学方程为变系数二阶微分方程组:MS＋CS+KS=F
M为系统总质量矩阵、K为系统总刚度矩阵、F为系统等效力、Y为系统弹性位移列矩阵，c为微分方程系数矩阵。现在问题归结为解二阶微分方程组。
在实际的应用中简化计算时可以将时间离散化，然后将变系数方程组看作在离散的时问区间△t内的常系数二阶微分方程组。
在数值计算中通常使用的方法有直接积分法、间接积分法、振型叠加法、线性逐步快速积分法。
振型叠加法由于其只能用于线性系统，在直接积分法则不受限制。New Mark积分法由于其误差较小一般广泛采用。
使用数值计算软件如MATHLAB仿真计算步骤和上述过程类似，必须先建立机构的运动学方程，然后利用拉格朗日方程推导出其动力学方程。只是最后的计算过程使用了软件仿真分析，可以同时得到系统的运动学和动力学参数。
另外也可以建立系统动力学关系矩阵，从而使得问题由解微风方程组转化为解矩阵方程。矩阵方程组可以方便的使用计算机编程求解，相对来说使用计算机求解矩阵向量比求解微分方程简单且结果可靠。
3-RRC并联机构可以看作一种新型的欠秩结构，每条支链可以当作一个二副杆串联系统，由此可以建立单支链的自由度方程从而得到其运动输出矩阵Ui。3 RRC是并联结构，可以得到其动平台输出矩阵为Up=IIUi。通过变换可以的得到系统的动力学参数矩阵，之后的计算就转化为求解矩阵方程了。
尤其是近年来有限元软件的发展，越来越多的计算都较于计算机完成，在计算机性能日益强大的情况下，单元的划分可以更加精细，积分计算时精度也越来越高，误差越来越小。
一些三维建模(造型)软件像常见的Pro/e，uG等都可以进行应力与应变分析，有时候也可以进行运动分析，一些动力学参数可直接的计算出，而且使用图形化的软件不但可以简化建模过程，而且因其直观明显，不同的应力与变形可以使用颜色区分。当然了，在考虑到精度和准确度方面三维建模软件的计算还是同专业的有限元分析软件有着一定的差距。然而使用建模软件在计算出运动参数的同时可以进行运动干涉分析，毕竟实际中使用的任何杆件和平台都有一定的体积，这是其他的建模方法不能相比的。
参考文献
[1]刘善增，余跃庆，杨建新，苏丽颖.3-RRC并联柔性机器人动力学分析[I].振动与冲击，2008，(27).
[2]郝秀清，陈建涛，郭宗和，胡福生3-RR.C并联机器人机构位置分析通用方法[J].中国机械工程，2006，(11).
[3]廖明，刘安生，张金林，芮挺，方虎生.新型欠秩并联机器人机构3-RRC仿真[J]计算机工程与应用，2005，(28).
[4]刘胜，李晚龙，杜延春，等.并联机器人动力学与控制仿真研究[J].弹箭与制导学报,2005，25(4).
作者简介:康玉辉(1981-)，男，河南延津人，河南机电高等专科学校助教，硕士，研究方向:机械设计制造。
关键词:并联机器人；柔性连杆机构；运动弹性力学；计算机仿真
中图分类号:TP242 文献标识码:A 文章编号:1009-2374(201 1)24-0013-02
一、3一RRC机器人的结构组成
3 RRC机器人是一种空间连杆机构，全称为少自由度并联柔性连杆机构。RRC分别代表了不同的运动副，R为转动副，c为圆柱副。3表示机构具有三条支链。并联机构是指动静平台通过两个或两个以上相互独立的运动链链接，拥有两个以上自由度，同时在驱动方面也是并联执行的。
动静平台可以为四边形也可以为三角形，不同的平台类型所对应的运动特性与动力学特性均不相同，但是研究这些机构的特性可以发现其共同点。以常见的四边形结构为例，其动静平台均为矩形(见图1所示)。其中两路支链的运动副(A181C，)和(A282C2)轴线相互平行，且垂直与另一路支链运动副(A3B3C3)轴线。矩形结构在运动位置分析中较之其他结构简单，因此被广泛的应用。
图1中所示Ai为R副连接静平台，cj为c副连接动平台，两者之问通过Bi(R)副连接。三个运动副轴线彼此平行且均平行于静平台，三条支链的运动被限制在各自的平面之内，每条支链可看作独立的二副杆串连机构(SOC)连接动静平台。
每条支链可以看作由4个运动副组成(c副可分解为转动副和移动副)，分别对三条支链进行分析可以知道整个系统动平台的自由度为3，动平台平行于静平台，在运动过程中只能做平移运动。
二、3一RRC机器人的弹性力学模型
任何机械结构都是为了完成某一目的而设计的，并联机器人由于其空间特性而被应用多个自动化控制领域，为了分析其运动规律和力学特征而需要进行机构的动力学分析。
动力学分析是研究时变载荷对机构的影响，用来确定系统的动力学参数从而确定构件的位移及其误差、振动速度、振动加速度和杆件受力情况，为选择合适的材料，运动轨迹分析提供理论依据。
柔性并联机构正在向高速度、高加速度方向发展，虽然构件仍然使用钢结构甚至是高强度碳纤维材料，然而其动力学特征已经不能使用刚体机构来进行分析。将机构看成一个正在运动着的弹性系统，研究其在外力和惯性力激荡下的振动从中获得机构的位移、速度、加速度等运动学特征以及应力、应变等动力学参数的方法称之为运动弹性动力分析，其目的是确定系统的弹性运动响应。
为简化计算便于建模通常进行如下假设:各支链连杆为柔性杆，动静平台为刚性架，不计铰链弹性形变。同时将一条支链分为两个柔性单元，将与静平台相连的杆件作悬臂梁考虑。
建立坐标系统时应当分别定义单元坐标系I和系统坐标系S。以支链A181C1为例进行分析，如图2所示，分别在系统坐标和单元坐标下定义坐标。
对杆件A1B1分析，在系统坐标下定义坐标A1的变形δs11，B1的横向位移Ss11纵向位移Ss12，弹性变形九。…在单元坐标下A。的的变形δI11B1。的横向位移SI11，纵向位移SIl2，弹性变形λI11。
对杆件BlCl分析，在系统坐标下B1横向位移S11纵向位移Ss12，弹性变形λS12，C1的横向位移Ss13，纵向位移Ss14，弹性变形λS13；在单元坐标下B1横向位移sI13，纵向位移SI14，弹性变形λI12，c1的横向位移sI15，纵向位移SI16，弹性变形λI13。
对另外两条支链进行同样分析从而的到:
系统坐标矩阵s[δsi1，Ssi1，Ssi2，λsi1，Ssi3，Ssi4，λsi2，λsi3]T；
单元系统矩阵I[δIi1，sIi1，SIi2，入Ii1，SIi3，SIi4，λIi2，SIi5，SIi6，入I13]T。
考虑到系统的约束条件，动平台PM的自由度为3个，可知整个系统运动可以使用3组21个坐标描述其位移，其中动平台3个，支链18个。两个坐标系中存在s=[N]I(此处[N]为10×8变换矩阵)关系。
单元横向变形x，纵向y则得到单元动能E和势能G:
MI为单元质量矩阵、KI为单元刚度矩阵、FI为单元等效力矩阵，s为系统坐标矩阵。
利用系统运动约束条件，统一单元方程与刚性架方程，在引入阻尼参数建立系统弹性动力学方程。
此时建立的动力学方程为变系数二阶微分方程组:MS＋CS+KS=F
M为系统总质量矩阵、K为系统总刚度矩阵、F为系统等效力、Y为系统弹性位移列矩阵，c为微分方程系数矩阵。现在问题归结为解二阶微分方程组。
在实际的应用中简化计算时可以将时间离散化，然后将变系数方程组看作在离散的时问区间△t内的常系数二阶微分方程组。
在数值计算中通常使用的方法有直接积分法、间接积分法、振型叠加法、线性逐步快速积分法。
振型叠加法由于其只能用于线性系统，在直接积分法则不受限制。New Mark积分法由于其误差较小一般广泛采用。
使用数值计算软件如MATHLAB仿真计算步骤和上述过程类似，必须先建立机构的运动学方程，然后利用拉格朗日方程推导出其动力学方程。只是最后的计算过程使用了软件仿真分析，可以同时得到系统的运动学和动力学参数。
另外也可以建立系统动力学关系矩阵，从而使得问题由解微风方程组转化为解矩阵方程。矩阵方程组可以方便的使用计算机编程求解，相对来说使用计算机求解矩阵向量比求解微分方程简单且结果可靠。
3-RRC并联机构可以看作一种新型的欠秩结构，每条支链可以当作一个二副杆串联系统，由此可以建立单支链的自由度方程从而得到其运动输出矩阵Ui。3 RRC是并联结构，可以得到其动平台输出矩阵为Up=IIUi。通过变换可以的得到系统的动力学参数矩阵，之后的计算就转化为求解矩阵方程了。
尤其是近年来有限元软件的发展，越来越多的计算都较于计算机完成，在计算机性能日益强大的情况下，单元的划分可以更加精细，积分计算时精度也越来越高，误差越来越小。
一些三维建模(造型)软件像常见的Pro/e，uG等都可以进行应力与应变分析，有时候也可以进行运动分析，一些动力学参数可直接的计算出，而且使用图形化的软件不但可以简化建模过程，而且因其直观明显，不同的应力与变形可以使用颜色区分。当然了，在考虑到精度和准确度方面三维建模软件的计算还是同专业的有限元分析软件有着一定的差距。然而使用建模软件在计算出运动参数的同时可以进行运动干涉分析，毕竟实际中使用的任何杆件和平台都有一定的体积，这是其他的建模方法不能相比的。
参考文献
[1]刘善增，余跃庆，杨建新，苏丽颖.3-RRC并联柔性机器人动力学分析[I].振动与冲击，2008，(27).
[2]郝秀清，陈建涛，郭宗和，胡福生3-RR.C并联机器人机构位置分析通用方法[J].中国机械工程，2006，(11).
[3]廖明，刘安生，张金林，芮挺，方虎生.新型欠秩并联机器人机构3-RRC仿真[J]计算机工程与应用，2005，(28).
[4]刘胜，李晚龙，杜延春，等.并联机器人动力学与控制仿真研究[J].弹箭与制导学报,2005，25(4).
作者简介:康玉辉(1981-)，男，河南延津人，河南机电高等专科学校助教，硕士，研究方向:机械设计制造。