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《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力。2019年9月，在南昌市西湖区小学数学教研活动中，小学数学特级教师吴正宪老师现场执教了“面和周长”这节课，给笔者留下深刻的印象。“面积”和“周长”是低年级学生极易混淆的两个几何概念，人教版教材在编排时是分开编排的，“周长”内容安排在三年级上册，“面积”内容则安排在三年级下册。教学中，吴老师打破常规，将“面”和“周”两个概念放在一起教学。通过“看—找—说—议”等课堂实践活动，充分调动学生多种感官理解“面”和“周”的含义，从而建立“面”与“周”的丰富表象。
【片段一】循序渐进，具体呈现：面是面，周是周
师：亲爱的同学们，我是吴老师。今天在这儿和大家聊一聊数学的话题。你们在这个教室里看到了黑板，黑板上你又看到了什么呀？
（吴老师在黑板上贴不同颜色不同形状的卡纸）
生：我看到了黄色、粉色、绿色。
师：哦，他看到了颜色，你呢？
生：我看到了长方形、三角形、正方形。
师：刚刚有的同学一眼就看到了黄色、粉色、绿色，这是什么？
生：颜色。
师：还有的同学看到的是长方形、正方形、三角形，这是什么？
生：图形形状。
师：有人看到了它的颜色，有人看到了它的形状。
师：假如我拿起一本数学书，你首先看到了数学书的什么？
生：封面、形状、颜色、图形、数字……
师：刚刚说的颜色，黄色、粉色、绿色，还有你们说的数字都在哪呀？
生：它的表面。
师：我听懂了，在这些图形当中，首先映入你们眼帘的是什么？
生：面。
师：字也在面上，颜色也在面上。还有新的发现吗？你还能在这个长方形上看到什么？
生：看到它的周长。
师：周长在哪里？你来指一指。
（学生用手指绕长方形一周）
生：周长就是这个长方形的边儿。
师：真棒！
师：你摸摸这儿（长方形的长）有边吗？
生：有。
师：这儿（长方形的宽）有边吗？
生：有。
师：数一数在这个图形里你摸了几条边？
生：4条边。
师：假如同学们以这儿为起点，从这儿（换一个端点）开始摸，几条边？
生：4条。
师：你能顺着摸4条边吗？
师：从起点又回到了起点。你正好摸了这个图形的什么？
生：一圈、周长。
师：有人说这是什么？
生：一周、一圈、周长……
师：你真了不起，一圈在我们数学课上就叫一周。
师：同学们在这个图形上看到的颜色，它在哪儿了？
生：面上。
师：我们来看看这个面。
师：有些同学看到的是面，有些同学却看到了边，从而找到了它的一周，这可不叫周长。什么叫周长呢？一会儿你们一定有新的体会。
师：今天我们这节课就和同学们一起来聊聊“面与周”。
师：大家伸出手来，跟我一起来摸摸它的面，摸的时候得把手张成一个大巴掌。
（学生摸面）
师：再摸摸它的周边。
（学生摸周边）
师：用你们的话说说“面”是什么样的，“周”又是什么样的。
生：面长这样。
（学生用笔比画）
师：你能用自己的话说吗？
生：面就是平平的一大块。
师：那黑板呢？地板呢？
生：也是平平的一大块。
师：你再看看边是什么样的，想象一下。
生：直直的。
师：我这儿画了一个很怪的图形，它有边吗？
（学生上台用手指绕图形的一周，指出图形的边）
师：这一周也是它的什么？
生：周长。
师：它是直直的吗？
生：不是。
师：一周可以是直直的也可以是弯弯的。它是什么样的？有没有人能想象出来？
生：像一条线。
师：这条线会……把它给……
生：很长、很弯，包住了。
师：这条线是细细的、长长的，那面儿是什么样的？
生：平平的。
师：周不仅长而且很细，是很长的一条边。我们把它想象成很细的一条线。
师：面和周长是一样的吗？
生：不一样。
师：是的，面是平平的一大片，周是细细的一条线。
师：所以吴老师说面是面，周是周。
师：周和面一点联系也没有吗？面在哪里？周在哪里？
生：有面的地方就有边，有边儿的地方就有面。
师：本来面是面、周是周，你这么一说，面和周谁也离不开谁。
师：有面的地方就有周，有周的地方就有面。
师：面在哪儿？谁能说出来？
生：周的里面。
师：那周呢？
生：周在面的外面。
……
【赏析】图形的认识过程遵循“整体感知—定性描述—定量刻画”三个阶段。在教学中，学生已经对平面图形有了一个整体感知，也了解了长方形、正方形的特征，发展到对长方形和正方形定量刻画的阶段。“面”与“周”就是图形定量刻画的对象，所以清晰地建立面和周的概念就顯得尤为重要。 教育学家乌申斯基说过：儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的。在教学中，吴老师用“色”凸显“面”，用“边”理解“周”，顺应儿童认知心理发展规律。同时，吴老师还让学生用自己的语言对“面”和“周”的特征进行描述，“面是平平的一大片”“周是细细的一条线”，借助儿童的语言帮助理解、记忆抽象的概念，较好地帮助学生建立“面”的概念、“周”的概念。但是，单独的概念不是我们教学的最终目标。通过概念的学习，要不断丰富学生的认知结构，把单一的概念变成有联系的概念，把一些有联系的概念变成结构化的、系统性的概念。吴老师在学生理解、认识了“面”和“周”的概念之后，却峰回路转来一句：“它们一点联系也没有吗？”从而深度挖掘“面”和“周”之间的联系，帮助学生建构知识体系，使之结构化、系统化。
【片段二】直观比较，深度理解：“周”和“周长”不一样
师：你能从这儿起，用手指来指一指正方形的一周吗？
（学生用手指绕图形一圈，回到起点）
师：接下来老师就要把这一周的边线从它身上剥下来。
师：这是什么点？
生：起点。
师：（剥下一条边的边线）这是一周吗？
生：不是。
师：回到哪里就叫一周呢？我继续走，你们说停我就停。
师：我现在把这一周的边线剥下来，这是它的起点，这是它的终点。这条边线就是正方形的什么？
生：一周、周长。
师：你知道它有多长吗？我们只能说它是长方形一周的边线。要知道它有多长，必须做什么？
生：量一量。
师：拿什么量？
生：尺子。
师：量谁？
生：线。
师：这是一条普通的线吗？
生：是正方形的一周。
师：我来量一量，量完了以后请这个同学帮我记录下来。
师：先用零刻度线对准它的起点，这正好是多少？
生：80 cm。
师：它是一条80 cm的线段，這条线段是从正方形一周剥下来的，它就是正方形一周的长度，我们就叫它是正方形的什么？
生：周长。
师：周长和周是一回事吗？
生：不是。
师：周和周长是两回事儿。周指的是一周的边线，周长是这一周的边线有多长。我们来量一量，得知道量谁？
生：正方形的周。
师：我们要找好测量的工具，还要确定好度量的单位。我们是用什么单位来量？
生：用1 cm单位来量的，有80 cm。
【赏析】“周和周长是两回事儿”，这是吴老师第二次打破了常规。记忆中，“周”就是“周长”，它们都表示为一周的长度。然而这节课吴老师告诉我们“周是周，周长是周长”，吴老师指出了两者的不同，对于概念的本质，不混淆、不模糊，让学生学得更明白。在教学“周”的过程中，吴老师没有用信息化手段，而是使用传统教具，领着学生剥边线，原本静态的教具立马鲜活起来，“周”是“线”的认知就通过“手剥”“眼看”生动地印在学生脑海中，“周”的空间观念直观、深刻，在“周长”的教学中吴老师侧重让学生进行度量，注重度量方法的提炼。
【片段三】植入生活，返璞归真：“大周”“小周”都是“周”
师：我把一个很大的操场的跑道画下来了，可以吗？
（教师在黑板上画一个跑道的示意图）
师：有一个男孩太胖了，他要锻炼身体，妈妈要他围着操场跑道的一周跑一圈。
师：现在他开始跑了，第一次他实在累了，不想跑了，这是一周吗？
（男孩只跑了操场的大半圈便停下了）
生：不是。
师：能测量周长吗？
生：不能。
师：第二次他还是从这里开始跑，然后又回来了。
（男孩跑了操场的大半圈后抄近路回到起点）
生：他偷懒了。
师：这是一周吗？
师：第三次他还从这里开始跑，终于跑回来了。第三次是一周吗？
生：是。
师：第三次是一周，从起点又回到了起点。第一次不是一周，从起点没有封闭回去，对不对？
生：对。
师：第二次呢？
生：它是封闭的。
师：它是一周吗？
生：是。
师：有没有不同意见？
生：因为他要绕操场一周，可是他没有跑完，所以不是一周。
师：哦，这个同学有不同的意见，他说要绕操场才是一周，这个同学的说法对吗？
生：不对，还是一周。
师：它为什么是一周呢？
生：因为他是封闭跑的，还是从起点又回到了起点。
师：真了不起。他是从起点又回到了起点，确实是一周。他不是跑了操场跑道的一周。而是自己围成了一周，这是小周。操场是一个大周，大周不是小周，小周不是大周。它们都是什么？
生：一周。
【赏析】在教学中，吴老师设计男孩“跑大半圈停”“跑小圈回”“跑整圈”的跑步情境让学生进一步辨析“什么是周”。学生很清楚地知道“没有封闭不是周”，但在提问“一小圈”是不是“周”时，学生从怀疑到释然，认识到“大周、小周都是周”，它们都是“从起点回到起点”。通过变式，帮助学生排除“周”的非本质特征，突出“周”的本质特征。
概念教学是数学教学的难点问题。数学课程标准对于概念的理解内涵是：描述对象的特征和由来，阐述对象和对象之间的区别与联系。理解周长的概念，学生就要知道它有什么特征，这个概念和其他概念有什么区别和联系。在这节课中，吴老师引导学生在直观操作中感知“面”和“周”的概念，在对比分析中清晰“面”和“周”的概念，在变式举例中内化“周”的概念，从而加深对数学概念的理解。
（作者单位：江西省南昌市湾里区教研室）
投稿邮箱：405956706@qq.com
【片段一】循序渐进，具体呈现：面是面，周是周
师：亲爱的同学们，我是吴老师。今天在这儿和大家聊一聊数学的话题。你们在这个教室里看到了黑板，黑板上你又看到了什么呀？
（吴老师在黑板上贴不同颜色不同形状的卡纸）
生：我看到了黄色、粉色、绿色。
师：哦，他看到了颜色，你呢？
生：我看到了长方形、三角形、正方形。
师：刚刚有的同学一眼就看到了黄色、粉色、绿色，这是什么？
生：颜色。
师：还有的同学看到的是长方形、正方形、三角形，这是什么？
生：图形形状。
师：有人看到了它的颜色，有人看到了它的形状。
师：假如我拿起一本数学书，你首先看到了数学书的什么？
生：封面、形状、颜色、图形、数字……
师：刚刚说的颜色，黄色、粉色、绿色，还有你们说的数字都在哪呀？
生：它的表面。
师：我听懂了，在这些图形当中，首先映入你们眼帘的是什么？
生：面。
师：字也在面上，颜色也在面上。还有新的发现吗？你还能在这个长方形上看到什么？
生：看到它的周长。
师：周长在哪里？你来指一指。
（学生用手指绕长方形一周）
生：周长就是这个长方形的边儿。
师：真棒！
师：你摸摸这儿（长方形的长）有边吗？
生：有。
师：这儿（长方形的宽）有边吗？
生：有。
师：数一数在这个图形里你摸了几条边？
生：4条边。
师：假如同学们以这儿为起点，从这儿（换一个端点）开始摸，几条边？
生：4条。
师：你能顺着摸4条边吗？
师：从起点又回到了起点。你正好摸了这个图形的什么？
生：一圈、周长。
师：有人说这是什么？
生：一周、一圈、周长……
师：你真了不起，一圈在我们数学课上就叫一周。
师：同学们在这个图形上看到的颜色，它在哪儿了？
生：面上。
师：我们来看看这个面。
师：有些同学看到的是面，有些同学却看到了边，从而找到了它的一周，这可不叫周长。什么叫周长呢？一会儿你们一定有新的体会。
师：今天我们这节课就和同学们一起来聊聊“面与周”。
师：大家伸出手来，跟我一起来摸摸它的面，摸的时候得把手张成一个大巴掌。
（学生摸面）
师：再摸摸它的周边。
（学生摸周边）
师：用你们的话说说“面”是什么样的，“周”又是什么样的。
生：面长这样。
（学生用笔比画）
师：你能用自己的话说吗？
生：面就是平平的一大块。
师：那黑板呢？地板呢？
生：也是平平的一大块。
师：你再看看边是什么样的，想象一下。
生：直直的。
师：我这儿画了一个很怪的图形，它有边吗？
（学生上台用手指绕图形的一周，指出图形的边）
师：这一周也是它的什么？
生：周长。
师：它是直直的吗？
生：不是。
师：一周可以是直直的也可以是弯弯的。它是什么样的？有没有人能想象出来？
生：像一条线。
师：这条线会……把它给……
生：很长、很弯，包住了。
师：这条线是细细的、长长的，那面儿是什么样的？
生：平平的。
师：周不仅长而且很细，是很长的一条边。我们把它想象成很细的一条线。
师：面和周长是一样的吗？
生：不一样。
师：是的，面是平平的一大片，周是细细的一条线。
师：所以吴老师说面是面，周是周。
师：周和面一点联系也没有吗？面在哪里？周在哪里？
生：有面的地方就有边，有边儿的地方就有面。
师：本来面是面、周是周，你这么一说，面和周谁也离不开谁。
师：有面的地方就有周，有周的地方就有面。
师：面在哪儿？谁能说出来？
生：周的里面。
师：那周呢？
生：周在面的外面。
……
【赏析】图形的认识过程遵循“整体感知—定性描述—定量刻画”三个阶段。在教学中，学生已经对平面图形有了一个整体感知，也了解了长方形、正方形的特征，发展到对长方形和正方形定量刻画的阶段。“面”与“周”就是图形定量刻画的对象，所以清晰地建立面和周的概念就顯得尤为重要。 教育学家乌申斯基说过：儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的。在教学中，吴老师用“色”凸显“面”，用“边”理解“周”，顺应儿童认知心理发展规律。同时，吴老师还让学生用自己的语言对“面”和“周”的特征进行描述，“面是平平的一大片”“周是细细的一条线”，借助儿童的语言帮助理解、记忆抽象的概念，较好地帮助学生建立“面”的概念、“周”的概念。但是，单独的概念不是我们教学的最终目标。通过概念的学习，要不断丰富学生的认知结构，把单一的概念变成有联系的概念，把一些有联系的概念变成结构化的、系统性的概念。吴老师在学生理解、认识了“面”和“周”的概念之后，却峰回路转来一句：“它们一点联系也没有吗？”从而深度挖掘“面”和“周”之间的联系，帮助学生建构知识体系，使之结构化、系统化。
【片段二】直观比较，深度理解：“周”和“周长”不一样
师：你能从这儿起，用手指来指一指正方形的一周吗？
（学生用手指绕图形一圈，回到起点）
师：接下来老师就要把这一周的边线从它身上剥下来。
师：这是什么点？
生：起点。
师：（剥下一条边的边线）这是一周吗？
生：不是。
师：回到哪里就叫一周呢？我继续走，你们说停我就停。
师：我现在把这一周的边线剥下来，这是它的起点，这是它的终点。这条边线就是正方形的什么？
生：一周、周长。
师：你知道它有多长吗？我们只能说它是长方形一周的边线。要知道它有多长，必须做什么？
生：量一量。
师：拿什么量？
生：尺子。
师：量谁？
生：线。
师：这是一条普通的线吗？
生：是正方形的一周。
师：我来量一量，量完了以后请这个同学帮我记录下来。
师：先用零刻度线对准它的起点，这正好是多少？
生：80 cm。
师：它是一条80 cm的线段，這条线段是从正方形一周剥下来的，它就是正方形一周的长度，我们就叫它是正方形的什么？
生：周长。
师：周长和周是一回事吗？
生：不是。
师：周和周长是两回事儿。周指的是一周的边线，周长是这一周的边线有多长。我们来量一量，得知道量谁？
生：正方形的周。
师：我们要找好测量的工具，还要确定好度量的单位。我们是用什么单位来量？
生：用1 cm单位来量的，有80 cm。
【赏析】“周和周长是两回事儿”，这是吴老师第二次打破了常规。记忆中，“周”就是“周长”，它们都表示为一周的长度。然而这节课吴老师告诉我们“周是周，周长是周长”，吴老师指出了两者的不同，对于概念的本质，不混淆、不模糊，让学生学得更明白。在教学“周”的过程中，吴老师没有用信息化手段，而是使用传统教具，领着学生剥边线，原本静态的教具立马鲜活起来，“周”是“线”的认知就通过“手剥”“眼看”生动地印在学生脑海中，“周”的空间观念直观、深刻，在“周长”的教学中吴老师侧重让学生进行度量，注重度量方法的提炼。
【片段三】植入生活，返璞归真：“大周”“小周”都是“周”
师：我把一个很大的操场的跑道画下来了，可以吗？
（教师在黑板上画一个跑道的示意图）
师：有一个男孩太胖了，他要锻炼身体，妈妈要他围着操场跑道的一周跑一圈。
师：现在他开始跑了，第一次他实在累了，不想跑了，这是一周吗？
（男孩只跑了操场的大半圈便停下了）
生：不是。
师：能测量周长吗？
生：不能。
师：第二次他还是从这里开始跑，然后又回来了。
（男孩跑了操场的大半圈后抄近路回到起点）
生：他偷懒了。
师：这是一周吗？
师：第三次他还从这里开始跑，终于跑回来了。第三次是一周吗？
生：是。
师：第三次是一周，从起点又回到了起点。第一次不是一周，从起点没有封闭回去，对不对？
生：对。
师：第二次呢？
生：它是封闭的。
师：它是一周吗？
生：是。
师：有没有不同意见？
生：因为他要绕操场一周，可是他没有跑完，所以不是一周。
师：哦，这个同学有不同的意见，他说要绕操场才是一周，这个同学的说法对吗？
生：不对，还是一周。
师：它为什么是一周呢？
生：因为他是封闭跑的，还是从起点又回到了起点。
师：真了不起。他是从起点又回到了起点，确实是一周。他不是跑了操场跑道的一周。而是自己围成了一周，这是小周。操场是一个大周，大周不是小周，小周不是大周。它们都是什么？
生：一周。
【赏析】在教学中，吴老师设计男孩“跑大半圈停”“跑小圈回”“跑整圈”的跑步情境让学生进一步辨析“什么是周”。学生很清楚地知道“没有封闭不是周”，但在提问“一小圈”是不是“周”时，学生从怀疑到释然，认识到“大周、小周都是周”，它们都是“从起点回到起点”。通过变式，帮助学生排除“周”的非本质特征，突出“周”的本质特征。
概念教学是数学教学的难点问题。数学课程标准对于概念的理解内涵是：描述对象的特征和由来，阐述对象和对象之间的区别与联系。理解周长的概念，学生就要知道它有什么特征，这个概念和其他概念有什么区别和联系。在这节课中，吴老师引导学生在直观操作中感知“面”和“周”的概念，在对比分析中清晰“面”和“周”的概念，在变式举例中内化“周”的概念，从而加深对数学概念的理解。
（作者单位：江西省南昌市湾里区教研室）
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