图1
　　题目：（2013年浙江绍兴卷第24题）如图1，抛物线y=（x-3） （x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点.
　　（1）求点B及点D的坐标；
　　（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E.
　　①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标；
　　②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标.
　　分析： （1）令y=0，则（x-3） （x+1）=0，
　　解得x1=3，x2=-1.
　　因为点A在点B左侧，
　　所以B（3，0）.
　　因为y=（x-3） （x+1）=x2-2x-3=（x-1）2-4，
　　所以D（1，-4）.
　　图2
　　（2）①解法1：连结BC，过点C作CG⊥直线DE于点G，设CP与直线DE交于点F（如图2）.
　　易知C（0，-3），则BC=32，CD=2，BD=25，
　　所以BC2+CD2=BD2，
　　所以∠BCD=90°.
　　因为∠DCP=∠BDE，
　　所以∠DCP+∠CDF =∠BDE+∠CDF，
　　即∠CFG=∠BDC，
　　又因为∠CGF=∠BCD=90°，
　　所以△CGF∽△BCD，
　　所以CGBC=GFCD，即132=GF2，
　　所以GF=13，
　　所以F（1，-103）.
　　所以直线CP的解析式为y=-13x-3，
　　易求直线BD的解析式为y=2x-6，
　　联立解方程组
　　y=-13x-3，
　　y=2x-6，得
　　x=97，
　　y=-247，
　　所以P（97，-247）.
　　图3
　　解法2：连结BC，延长PC与x轴交于点F（如图3）.
　　因为DE∥y轴，
　　所以∠DCG=∠CDE，
　　因为∠DCP=∠BDE，
　　所以∠DCG+∠DCP=∠CDE+∠BDE，
　　即∠OCF=∠GCP=∠CDB，
　　又因为∠COF=∠DCB=90°，
　　所以△COF∽△DCB，
　　所以OCCD=OFCB，即
　　32=OF32，
　　所以OF=9，
　　所以F（-9，0）.
　　所以直线CP的解析式为y=-13x-3，以下同解法1.
　　解法3：在DE的延长线上取点G，使EG=EB，连结BG（如图4），
　　则∠CDF=∠DGB=45°，
　　又因为∠DCP=∠BDE，
　　所以△CDF∽△DGB，
　　所以CDDG=DFGB，即
　　26=DF22，
　　所以DF=23.
　　所以F（1，-103），以下同解法1.
　　图4图5
　　②（Ⅰ）若点M在抛物线的对称轴左侧，连结BC，交直线DE于点F（如图5）.由第①小题可知∠NCO=∠CDF=∠CFD=45°，∠MCN<∠NCO=45°，所以∠CMN=90°-∠MCN>45°，而∠BDE<∠CFD=45°，故在抛物线的对称轴左侧不存在一点M，使∠CMN=∠BDE.
　　（Ⅱ）若点M在抛物线的对称轴右侧，
　　当点M在x轴上方，
　　图6
　　解法1：作∠BEH=45°，交DB的延长线于点H，设CM与直线DE交于点G（如图6）.
　　易求直线EH的解析式为y=x-1，
　　直线BD的解析式为y=2x-6，
　　联立解方程组
　　y=x-1，
　　y=2x-6，得x=5，y=4，
　　所以H（5，4），
　　所以EH=42.
　　因为∠DCG=90°+∠CMN，∠EBH=90°+∠BDE，∠CMN=∠BDE，
　　所以∠DCG=∠EBH，
　　又因为∠CDG=∠BEH=45°，
　　所以△CDG∽△BEH，
　　所以CDBE=DGEH，即
　　22=DG42，
　　所以DG=4，
　　所以G（1，0），此时点G与点E重合.
　　所以直线CG的解析式为y=3x-3，
　　联立解方程组
　　y=3x-3
　　y=（x-3） （x+1），得
　　x1=0
　　y1=-3，
　　x2=5
　　y2=12.
　　所以M（5，12）.
　　图7
　　解法2：设MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G（如图7）.
　　因为∠CMN=∠BDE，
　　所以tan∠CMN=tan∠BDE，
　　即CNMN=BEDE=
　　12，
　　所以MN=2CN.
　　易证△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
　　设CN=a，则NF=a，MN=2a.
　　所以CF=2a，MF=a，
　　所以MG=FG=22a，
　　所以CG=322a，
　　所以M（22a，-3+322a）.
　　代入y=（x-3） （x+1），解得a=52，
　　所以M（5，12）. 　　当点M在x轴下方，
　　图8
　　解法1：作∠BEH=45°，交BD于点H，设CM与直线DE交于点G（如图8）.
　　易求直线EH的解析式为y=-x+1，
　　直线BD的解析式为y=2x-6，
　　联立解方程组
　　y=-x+1
　　y=2x-6，得
　　x=73
　　y=-43，
　　所以H（73，-43），
　　所以EH=432.
　　因为∠CMN+∠DCG=90°，∠BDE+∠EBH=90°，∠CMN=∠BDE，
　　所以∠DCG=∠EBH，
　　又因为∠CDG=∠BEH=45°，
　　所以△CDG∽△BEH，
　　所以CDBE=DGEH，即
　　22=DG 432，
　　所以DG=43，
　　所以G（1，-83）.
　　所以直线CG的解析式为y=13x-3，
　　联立解方程组
　　y=13x-3
　　y=（x-3） （x+1），得
　　x1=0
　　y1=-3，
　　x2=73
　　y2=-209，
　　所以M（73，-209）.
　　图9
　　解法2：延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G（如图9）.
　　因为∠CMN=∠BDE，
　　所以tan∠CMN=tan∠BDE，
　　即CNMN=BEDE=12，
　　所以MN=2CN.
　　易证△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
　　设CN=a，则NF=a，MN=2a.
　　所以CF=2a，MF=3a，
　　所以MG=FG=322a，
　　所以CG=22a，
　　所以M（322a，-3+22a）.
　　代入y=（x-3） （x+1），解得a=729，
　　所以M（73，-209）.
　　综上所述，符合题意的点M坐标为（5，12）或（73，-209）.
　　[浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学 （312352）]