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浙江杭州外国语学校310023
摘要：解决折叠问题的关键是要弄清折叠前后的图形及数量上的对应关系，同时又要求学生有一定的空间观念，对培养学生初步的创新精神和实践能力起着十分重要的作用. 本文通过对折叠问题特征的分析和学生自主设计的折叠问题的探讨，向读者展示一个生动的、活泼的、主动的和富有个性的数学学习过程.
关键字：折叠、特征、基础知识
近几年来，各地中考数学试题中常常出现折叠问题. 解决这类问题的关键是要弄清折叠前后的图形及数量上的对应关系，同时又要求学生有一定的空间观念，对培养学生初步的创新精神和实践能力起着十分重要的作用. 本文通过对折叠问题特征的分析和学生自主设计的折叠问题的探讨，向读者展示一个生动的、活泼的、主动的和富有个性的数学学习过程.
[⇩]折叠问题的特征
折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果.
[A][B][l][B′][O]
图1
[B′][D][C][A][B]
图2
如图1是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OB是OB′在折叠前的位置；图2是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，△ABC是△AB′C在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；
折叠前后图形的特点：
（1）图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形. 如图1中OB′=OB，图2中△AB′C≌△ABC；
（2）图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称. 如图1中OB′和OB关于直线l成轴对称；图2中△AB′C和△ABC关于直线AC成轴对称.
[⇩]初中数学中解决折叠问题的主要知识
1. 勾股定理
2. 轴对称
3. 三角形全等
4. 三角形相似
5. 三角函数
6. 方程思想
[⇩]折叠问题实战技巧
1. 如图3，在矩形ABCD中，BC=3，AB=4，折叠矩形使得点A和点C重合，求折痕EF的长.
分析：要求EF的长，只要求得OF的长即可. A点和C点重合，折痕为EF，则EF垂直平分AC，易得△AOF∽△ABC，由=可以求得FO=，EF=.
[D′][E][D][O][C][B][F][A]
图3
解因为A，C关于EF成轴对称，所以AC⊥EF，AO＝CO. 所以∠AOF＝90°. 因为ABCD是矩形，所以∠B＝90°. 所以△AOF∽△ABC. 所以=. 因为BC=3，AB=4，所以AC＝5，AO＝2.5. 所以FO=. 因为AB∥CD，所以∠OAF＝∠OCE. 又因为AO＝CO，∠AOF＝∠COE，所以△AOF≌△COE. 所以FO＝EO. 所以EF=.
此类折叠的问题中的点通常是图形的顶点. 对于这类折叠的问题，解决的关键是：一要注意运用轴对称的特征，追寻折叠前后不变的量；二要注意运用相似三角形或者全等三角形对应线段的比例性质.
2. 如图4，在矩形ABCD中，DC＝5 cm. 在DC上找一点E，沿直线AE把△AED折叠，使D点恰好落在BC上. 设此点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求折叠的△ADE的面积.
分析利用轴对称的特征易得AF＝AD，DE＝FE，由DC＝5 cm，△ABF的面积为30 cm2可以得到BF＝12 cm，AF＝13 cm. 进而可以得到CF＝1 cm. 在Rt△EFC中利用勾股定理建立方程可以求得EF的长.
[A][D][E][O][F][C][B]
图4
解设DE的长为x cm，则EC的长为（5－x） cm.
因为△ADE与△AFE关于AE成轴对称，所以FE＝DE，AF＝AD. 所以FE＝x.
又因为S△ABF＝30，AB＝DC＝5，所以BF＝12 cm. 在Rt△ABF中由勾股定理可得AF＝13 cm. 所以AD＝13 cm，所以BC＝13 cm，所以FC＝1 cm.
在Rt△EFC中，x2=12+（5－x）2，解得x=，所以S△ADE＝16.9 cm2.
此类折叠问题通常把顶点按照一定的规律折叠到边上的某一点. 或者对于这类折叠问题，除了轴对称的特征之外，设立合适的未知数来建立方程也是解决问题的关键，当然利用△ABF∽△FCE来解决问题也不失为一种好的办法.
3. 如图5，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，沿着对角线BD将矩形ABCD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点O. 求△DOB的面积.
[C′][O][A][B][C][D]
图5
分析求△DOB的面积有很多的办法，比如以OD为底AB为高可以求得；也可以用△ABD的面积减去△AOB的面积；或者以BD为底过O点作BD边上的高OE，利用△OBE∽DBC′求出OE的长. 不论选取那种方法，在这个折叠过程中得到的两组相等的线段OB＝OD，OA＝OC′是解题的关键所在.
解析因为ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠CBD＝∠ADB.
因为△BCD和△BC′D成轴对称，所以∠DBC＝∠DBC′，所以∠OBD＝∠ODB，所以OB＝OD.
方法1：
设OD＝x，则OA=4-x，OB＝x.
在Rt△ABO中，由x2=（4-x）2+32，解得x＝，所以S△DOB＝.
方法2：
过点O作OH垂直BD于点H.
因为OH=DHtan∠ADB，tan∠ADB=，DH==，所以OH=.
所以S△DOB=×5×=.
此类折叠问题中的折痕多为四边形的对角线，三角形的中线，高线，角平分线等. 如何利用这些特殊的线的性质就是我们解题的关键.
4. 如图6，将边长为12的正方形ABCD的顶点A折叠到CD边上的E点，折痕为FG，且FG＝13，求线段DE的长.
[A][H][F][D][E][C][G][B]
图6
分析在解平面几何问题时经常要作辅助线，在折叠问题中，对应点的连线往往是添加辅助线的位置.
解析连结AE，过点G作GH⊥AD，垂足为H.
因为四边形ABCD是正方形，边长为12，GH⊥AD，所以GH＝12. 因为FG＝13，所以FH＝5.
因为A，E是对应点，FG为折痕，所以AE⊥FG. 所以∠DAE＋∠AFG＝∠FGH＋∠AFG＝90°. 所以∠DAE＝∠FGH.
又因为AD＝HG，∠ADE＝∠GHF，所以△ADE≌△GHF. 所以DE＝HF＝5.
5. 如图7，在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，D为AB的中点现将△ABC沿CD折叠压平. 求四边形CDBE的面积.
[A][D][O][B][E][C]
图7
分析此题的设计颇有新意，而且需要具有一定的综合运用能力. 连结AE得到AE⊥CD之后，易得S四边形CDBE＝（CD+BE）·OE，那么只要求得这些线段的长度就可以了. 利用勾股定理和三角形中位线的性质，求得这些线段的长度并不困难.
解连结AE交CD于点O.
因为A，E是对应点，所以AE⊥CD，AO＝EO.
因为D是AB的中点，O是AE的中点，所以DO∥BE，DO＝BE. 所以∠AEB＝90°.
因为在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，所以AD＝1，AC＝2. 所以CD＝，AO＝. 所以DO＝. 所以BE＝.
所以S四边形CDBE＝（CD+BE）·OE＝.
折叠问题的变化是多样的，解决折叠问题的方法也很多，我们可以利用的工具也有很多，不管是一个几何的初学者还是一个有丰富经验的解题者，通过认真的分析，寻找折叠图形之间的等量关系，由已知推向未知，总可以找到解决问题的方法.
总之，对于折叠问题的探究，既可以培养学生动手实践、自主探索、合作交流的能力，又有利于学生巩固基本知识，形成空间的观念. 对于启迪学生的思维有很大益处.
摘要：解决折叠问题的关键是要弄清折叠前后的图形及数量上的对应关系，同时又要求学生有一定的空间观念，对培养学生初步的创新精神和实践能力起着十分重要的作用. 本文通过对折叠问题特征的分析和学生自主设计的折叠问题的探讨，向读者展示一个生动的、活泼的、主动的和富有个性的数学学习过程.
关键字：折叠、特征、基础知识
近几年来，各地中考数学试题中常常出现折叠问题. 解决这类问题的关键是要弄清折叠前后的图形及数量上的对应关系，同时又要求学生有一定的空间观念，对培养学生初步的创新精神和实践能力起着十分重要的作用. 本文通过对折叠问题特征的分析和学生自主设计的折叠问题的探讨，向读者展示一个生动的、活泼的、主动的和富有个性的数学学习过程.
[⇩]折叠问题的特征
折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果.
图1
图2
如图1是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OB是OB′在折叠前的位置；图2是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，△ABC是△AB′C在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；
折叠前后图形的特点：
（1）图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形. 如图1中OB′=OB，图2中△AB′C≌△ABC；
（2）图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称. 如图1中OB′和OB关于直线l成轴对称；图2中△AB′C和△ABC关于直线AC成轴对称.
[⇩]初中数学中解决折叠问题的主要知识
1. 勾股定理
2. 轴对称
3. 三角形全等
4. 三角形相似
5. 三角函数
6. 方程思想
[⇩]折叠问题实战技巧
1. 如图3，在矩形ABCD中，BC=3，AB=4，折叠矩形使得点A和点C重合，求折痕EF的长.
分析：要求EF的长，只要求得OF的长即可. A点和C点重合，折痕为EF，则EF垂直平分AC，易得△AOF∽△ABC，由=可以求得FO=，EF=.
图3
解因为A，C关于EF成轴对称，所以AC⊥EF，AO＝CO. 所以∠AOF＝90°. 因为ABCD是矩形，所以∠B＝90°. 所以△AOF∽△ABC. 所以=. 因为BC=3，AB=4，所以AC＝5，AO＝2.5. 所以FO=. 因为AB∥CD，所以∠OAF＝∠OCE. 又因为AO＝CO，∠AOF＝∠COE，所以△AOF≌△COE. 所以FO＝EO. 所以EF=.
此类折叠的问题中的点通常是图形的顶点. 对于这类折叠的问题，解决的关键是：一要注意运用轴对称的特征，追寻折叠前后不变的量；二要注意运用相似三角形或者全等三角形对应线段的比例性质.
2. 如图4，在矩形ABCD中，DC＝5 cm. 在DC上找一点E，沿直线AE把△AED折叠，使D点恰好落在BC上. 设此点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求折叠的△ADE的面积.
分析利用轴对称的特征易得AF＝AD，DE＝FE，由DC＝5 cm，△ABF的面积为30 cm2可以得到BF＝12 cm，AF＝13 cm. 进而可以得到CF＝1 cm. 在Rt△EFC中利用勾股定理建立方程可以求得EF的长.
图4
解设DE的长为x cm，则EC的长为（5－x） cm.
因为△ADE与△AFE关于AE成轴对称，所以FE＝DE，AF＝AD. 所以FE＝x.
又因为S△ABF＝30，AB＝DC＝5，所以BF＝12 cm. 在Rt△ABF中由勾股定理可得AF＝13 cm. 所以AD＝13 cm，所以BC＝13 cm，所以FC＝1 cm.
在Rt△EFC中，x2=12+（5－x）2，解得x=，所以S△ADE＝16.9 cm2.
此类折叠问题通常把顶点按照一定的规律折叠到边上的某一点. 或者对于这类折叠问题，除了轴对称的特征之外，设立合适的未知数来建立方程也是解决问题的关键，当然利用△ABF∽△FCE来解决问题也不失为一种好的办法.
3. 如图5，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，沿着对角线BD将矩形ABCD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点O. 求△DOB的面积.
图5
分析求△DOB的面积有很多的办法，比如以OD为底AB为高可以求得；也可以用△ABD的面积减去△AOB的面积；或者以BD为底过O点作BD边上的高OE，利用△OBE∽DBC′求出OE的长. 不论选取那种方法，在这个折叠过程中得到的两组相等的线段OB＝OD，OA＝OC′是解题的关键所在.
解析因为ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠CBD＝∠ADB.
因为△BCD和△BC′D成轴对称，所以∠DBC＝∠DBC′，所以∠OBD＝∠ODB，所以OB＝OD.
方法1：
设OD＝x，则OA=4-x，OB＝x.
在Rt△ABO中，由x2=（4-x）2+32，解得x＝，所以S△DOB＝.
方法2：
过点O作OH垂直BD于点H.
因为OH=DHtan∠ADB，tan∠ADB=，DH==，所以OH=.
所以S△DOB=×5×=.
此类折叠问题中的折痕多为四边形的对角线，三角形的中线，高线，角平分线等. 如何利用这些特殊的线的性质就是我们解题的关键.
4. 如图6，将边长为12的正方形ABCD的顶点A折叠到CD边上的E点，折痕为FG，且FG＝13，求线段DE的长.
图6
分析在解平面几何问题时经常要作辅助线，在折叠问题中，对应点的连线往往是添加辅助线的位置.
解析连结AE，过点G作GH⊥AD，垂足为H.
因为四边形ABCD是正方形，边长为12，GH⊥AD，所以GH＝12. 因为FG＝13，所以FH＝5.
因为A，E是对应点，FG为折痕，所以AE⊥FG. 所以∠DAE＋∠AFG＝∠FGH＋∠AFG＝90°. 所以∠DAE＝∠FGH.
又因为AD＝HG，∠ADE＝∠GHF，所以△ADE≌△GHF. 所以DE＝HF＝5.
5. 如图7，在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，D为AB的中点现将△ABC沿CD折叠压平. 求四边形CDBE的面积.
图7
分析此题的设计颇有新意，而且需要具有一定的综合运用能力. 连结AE得到AE⊥CD之后，易得S四边形CDBE＝（CD+BE）·OE，那么只要求得这些线段的长度就可以了. 利用勾股定理和三角形中位线的性质，求得这些线段的长度并不困难.
解连结AE交CD于点O.
因为A，E是对应点，所以AE⊥CD，AO＝EO.
因为D是AB的中点，O是AE的中点，所以DO∥BE，DO＝BE. 所以∠AEB＝90°.
因为在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，所以AD＝1，AC＝2. 所以CD＝，AO＝. 所以DO＝. 所以BE＝.
所以S四边形CDBE＝（CD+BE）·OE＝.
折叠问题的变化是多样的，解决折叠问题的方法也很多，我们可以利用的工具也有很多，不管是一个几何的初学者还是一个有丰富经验的解题者，通过认真的分析，寻找折叠图形之间的等量关系，由已知推向未知，总可以找到解决问题的方法.
总之，对于折叠问题的探究，既可以培养学生动手实践、自主探索、合作交流的能力，又有利于学生巩固基本知识，形成空间的观念. 对于启迪学生的思维有很大益处.