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【摘要】将非线性系统以及非线性时滞系统化为系分量函数矩阵的形式，根据不等式性质及单调性准则，利用向量Lyapunov函数方法得到简便的实用稳定性条件，这些条件仅与系分量函数矩阵有关，易于直接验证.
【关键词】实用稳定；分量函数；Lyapunov函数；非线性系统
1.引 言
随着现代科学技术的飞速发展，数学方法正日益广泛地用于各种科技领域，并建立了许多数学模型描述各种现实客体，这其中的一个中心问题就是研究动力系统的稳定性.由A.M.李雅普诺夫在哈尔克夫工作期间（1885-1902年）所创立的运动稳定性的理论基础，后来得到迅速的发展，并涉及理论与应用的诸多方面.而实用稳定性理论则是现代运动稳定性理论的研究方向之一.运动实用稳定性理论的主要任务是研究在规定的时间区间（有限的或是无限的时间区间）内，具有预先给定的初始估计区域与随后估计区域的运动.
实用稳定性概念可以较好地解决Lyapunov稳定概念的定性描述与实际中的定量要求不符合的矛盾.实际情况是：根据一定的需要，系统的运动状态只要保持在预定的范围就可以了.这正是实用稳定性所要求的运动状态.
文献［3］~［5］运用不等式性质及单调性准则，利用向量V函数方法得到线性系统以及线性时滞系统的简便的实用稳定性条件.本文则将这种方法推广到一种非线性系统中，得到了这种非线性系统实用稳定性的条件.这些条件仅与系分量函数矩阵有关，易于直接验证.
2.相关的符号和定义
定义1 称以X的各分量为自变量的多元连续函数k(x1,x2,…,xn)为X的分量函数，记为k(X)；称以X的分量函数为元素的n×n的方阵K(X)=(kij(X))n×n为分量函数矩阵.
注 常数矩阵K是分量函数矩阵的特殊情况.
定义2 如果非线性定常系统可表示为：
X•=a11(X)x1+a12(X)x2+…+a1n(X)xn
a21(X)x1+a22(X)x2+…+a2n(X)xn
an1(X)x1+an2(X)x2+…+ann(X)xn，
其中apq(X)(p,q=1,2,…,n)为X的分量函数，且当X=0时，apq(X)有意义，设分量函数矩阵A(X)=(aij(X))n×n，
则称A(X)为系统的系分量函数矩阵，且系统可写为
X•=A(X)X.
（1）
以及其带有时滞情况下的系统：
X•=A(X)X(t)+B(X)X(t+r(t)).
（2）
其中-r≤r(t)≤0，r≥0为常数.
在给出上述系统的实用稳定性定义前，先给出一些记号：以T(i)表示系统的初始时刻集合，t0≥0表示初始时刻，t0∈T(i).对给定的常量α>0以及函数β(t)>0，β(t)有界且连续可微.又β(t0)>α，记x(t,t0,)为系统(2)满足初始条件x(t0+θ)=(θ)(-r≤θ≤0)的解，其中：
∈C(［-r,0］,Rn)，β(t)=max-r≤r(t)≤0β(t+r(t))，
V(t)=max-r≤r(t)≤0V(t+r(t)).
规定估计区域：
初始偏差集合：Sα={x∈Rn，|x|<α}；
容许过程偏差集合：Sβ(t)={x∈Rn,|x(t)|<β(t)}.
时间区间：T0=［t0,τ)，其中τ可以是有限数，也可以是+∞.
则系统的关于这些集合的实用稳定定义如下：
定义3 如果对x0∈Sα，有x(t,t0,x0)∈Sβ(t)(t∈T)，则称系统(1)关于{Sα,Sβ(t),T0,t0}实用稳定.
定义4 如果当(θ)∈Sα(-r≤θ≤0)时，有x(t,t0,)∈Sβ(t)(t∈T0)，称系统(2)关于{Sα,Sβ(t),T0,t0}实用稳定.
定义5 如果对t0∈T(i)，当(θ)∈Sα(-r≤θ≤0)时，有x(t,t0,)∈Sβ(t)(t∈T0)，则称系统(2)关于{Sα,Sβ(t),T(i)}实用一致稳定.
其中α=(α1，α2,…,αn)T>0是常向量，β(t)=(β1(t),β2(t),…,βn(t))T>0并且有α<β(t0).这些集合分别反映了系统的运动区间以及所能容许的初始干扰强度和过程状态与标称运动状态的偏差范围，在具体问题中事先给定.
3.主要结果
下面分别对两种系统给出判定实用稳定的简明判据:
3.1 非线性系统X•=A(X)X的实用稳定性
定理1 如果对给定(α,β(t))，满足不等式：
β•(t)>A(t)β(t)，t∈T.
其中：A(t)=maxX(t)aii(X(t))，i=j，
maxX(t)|aij(X(t))|，i≠j，i,j=1,2,…,n,
则此上述系统关于{Sα,Sβ(t),T,t0}实用稳定.
证明 假设结果不成立，则必有x0∈Sα和t1∈T以及1≤S≤n，使x(t)∈Sx(t)(t∈［t0,t1)),
且|xS(t1)|=βS(t1).
(3)
因而，取向量函数V(k)=（v1,v2,…,vn）T，其中
vi(k)=|xi(k)|.
则由(1)，得
D-Vi(t)=sgnxi(t)•x•i(t)
≤|ai1(X)||x1|+|ai2(X)||x2|+…+aii(X)|xi|+…+|ain(X)||xn|
≤ai1(t)|x1|+ai2(t)|x2|+…+aii(t)|xi|+…+
ain(t)|xn}，
即D-V(t)≤A(t)V(t)，由此可得V(t1)<β(t1).
事实上，若有V(t1)=β(t1)成立，则
D-V(t1)≤A(t)V(t1)≤A(t)β(t1) (4)
另一方面：取h>0，对于V(t1)-V(t1-h)h与β(t1)-β(t1-h)h，但V(t1)=β(t1)，V(t1-h)≤β(t1-h)，当h→0时，有D-V(t1)>D-β(t1)，与(4)式矛盾.
故有V(t)<β(t)，t∈［t0,t1］成立.
进而|x(t)|=V(t1)<β(t1)，从而|xS(t1)|=VS(t1)<βS(t1).
与(3)式矛盾，定理得证.
3.2 非线性时滞系统:X•=A(X)X+B(X)•X(t-r(t))的实用稳定性
定理2 如果对给定(α,β(t))，满足不等式β•(t)>A(t)β(t)+β(t)β(t)，
其中，
A(t)=maxX(t)aii(X(t)),i=j,
maxX(t)|aij(X(t))|，i≠j,i,j=1,2,…,n，
B(t)=maxX(t)|bij(X(t))|，i,j=1,2,…,n，
则系统（2）关于{Sα,Sβ,T,t0}实用稳定.
证明 假设结果不成立，则必有x0∈Sα和t1∈T以及1≤S≤n，使x(t)∈Sx(t)(t∈［t0,t1))，
且|xS(t1)|=βS(t1).
(5)
因而，取向量函数V(k)=（v1,v2,…,vn）T，其中vi(k)=|xi(k)|.证明同定理1.
4.实例验证
例 考虑系统1=-x2-1(1-x22)x1，
2=x1-1(1-x21)x2对于α=(0.1,0.1)T，β=(1,1)的实用稳定性.
解 如定理1，我们取A(t)=-21
1-2，那么，β•(t)=0
0，A(t)=-21
1-21
1=-1
-1，故β•(t)>A(t)β(t)，系统是实用稳定的.
5.结 语
实用稳定性是近年来刚刚兴起的一门科学，但是其用处非常广泛.因为在实际中同渐近稳定相比较，人们更期望的是完全稳定性.实用稳定性的概念更切合实际地反映出所研究过程的本质.
【参考文献】
［1］阿•阿•玛尔德纽克，孙振绮.实用稳定及其应用.科学出版社，2004.
［2］楚天广.哈尔滨：哈尔滨工业大学.
［3］楚天广，王照林.小参数时变非线性系统的技术稳定性.应用数学和力学，2001，21(11)：1140-1146.
［4］楚天广，张宗达，孙振绮.线性时滞系统和时滞大系统的实用稳定性.科学通报，1990：568-571.
［5］楚天广，张宗达.时滞系统解的有界性、稳定性与渐进阶.哈尔滨工业大学学报，1995，27(4)：1-4.
［6］陈雪波，徐望宝，李小华.非线性系统零解稳定性判定的广义二次型方法.控制与决策，2007，22(1)：81-84.
【关键词】实用稳定；分量函数；Lyapunov函数；非线性系统
1.引 言
随着现代科学技术的飞速发展，数学方法正日益广泛地用于各种科技领域，并建立了许多数学模型描述各种现实客体，这其中的一个中心问题就是研究动力系统的稳定性.由A.M.李雅普诺夫在哈尔克夫工作期间（1885-1902年）所创立的运动稳定性的理论基础，后来得到迅速的发展，并涉及理论与应用的诸多方面.而实用稳定性理论则是现代运动稳定性理论的研究方向之一.运动实用稳定性理论的主要任务是研究在规定的时间区间（有限的或是无限的时间区间）内，具有预先给定的初始估计区域与随后估计区域的运动.
实用稳定性概念可以较好地解决Lyapunov稳定概念的定性描述与实际中的定量要求不符合的矛盾.实际情况是：根据一定的需要，系统的运动状态只要保持在预定的范围就可以了.这正是实用稳定性所要求的运动状态.
文献［3］~［5］运用不等式性质及单调性准则，利用向量V函数方法得到线性系统以及线性时滞系统的简便的实用稳定性条件.本文则将这种方法推广到一种非线性系统中，得到了这种非线性系统实用稳定性的条件.这些条件仅与系分量函数矩阵有关，易于直接验证.
2.相关的符号和定义
定义1 称以X的各分量为自变量的多元连续函数k(x1,x2,…,xn)为X的分量函数，记为k(X)；称以X的分量函数为元素的n×n的方阵K(X)=(kij(X))n×n为分量函数矩阵.
注 常数矩阵K是分量函数矩阵的特殊情况.
定义2 如果非线性定常系统可表示为：
X•=a11(X)x1+a12(X)x2+…+a1n(X)xn
a21(X)x1+a22(X)x2+…+a2n(X)xn
an1(X)x1+an2(X)x2+…+ann(X)xn，
其中apq(X)(p,q=1,2,…,n)为X的分量函数，且当X=0时，apq(X)有意义，设分量函数矩阵A(X)=(aij(X))n×n，
则称A(X)为系统的系分量函数矩阵，且系统可写为
X•=A(X)X.
（1）
以及其带有时滞情况下的系统：
X•=A(X)X(t)+B(X)X(t+r(t)).
（2）
其中-r≤r(t)≤0，r≥0为常数.
在给出上述系统的实用稳定性定义前，先给出一些记号：以T(i)表示系统的初始时刻集合，t0≥0表示初始时刻，t0∈T(i).对给定的常量α>0以及函数β(t)>0，β(t)有界且连续可微.又β(t0)>α，记x(t,t0,)为系统(2)满足初始条件x(t0+θ)=(θ)(-r≤θ≤0)的解，其中：
∈C(［-r,0］,Rn)，β(t)=max-r≤r(t)≤0β(t+r(t))，
V(t)=max-r≤r(t)≤0V(t+r(t)).
规定估计区域：
初始偏差集合：Sα={x∈Rn，|x|<α}；
容许过程偏差集合：Sβ(t)={x∈Rn,|x(t)|<β(t)}.
时间区间：T0=［t0,τ)，其中τ可以是有限数，也可以是+∞.
则系统的关于这些集合的实用稳定定义如下：
定义3 如果对x0∈Sα，有x(t,t0,x0)∈Sβ(t)(t∈T)，则称系统(1)关于{Sα,Sβ(t),T0,t0}实用稳定.
定义4 如果当(θ)∈Sα(-r≤θ≤0)时，有x(t,t0,)∈Sβ(t)(t∈T0)，称系统(2)关于{Sα,Sβ(t),T0,t0}实用稳定.
定义5 如果对t0∈T(i)，当(θ)∈Sα(-r≤θ≤0)时，有x(t,t0,)∈Sβ(t)(t∈T0)，则称系统(2)关于{Sα,Sβ(t),T(i)}实用一致稳定.
其中α=(α1，α2,…,αn)T>0是常向量，β(t)=(β1(t),β2(t),…,βn(t))T>0并且有α<β(t0).这些集合分别反映了系统的运动区间以及所能容许的初始干扰强度和过程状态与标称运动状态的偏差范围，在具体问题中事先给定.
3.主要结果
下面分别对两种系统给出判定实用稳定的简明判据:
3.1 非线性系统X•=A(X)X的实用稳定性
定理1 如果对给定(α,β(t))，满足不等式：
β•(t)>A(t)β(t)，t∈T.
其中：A(t)=maxX(t)aii(X(t))，i=j，
maxX(t)|aij(X(t))|，i≠j，i,j=1,2,…,n,
则此上述系统关于{Sα,Sβ(t),T,t0}实用稳定.
证明 假设结果不成立，则必有x0∈Sα和t1∈T以及1≤S≤n，使x(t)∈Sx(t)(t∈［t0,t1)),
且|xS(t1)|=βS(t1).
(3)
因而，取向量函数V(k)=（v1,v2,…,vn）T，其中
vi(k)=|xi(k)|.
则由(1)，得
D-Vi(t)=sgnxi(t)•x•i(t)
≤|ai1(X)||x1|+|ai2(X)||x2|+…+aii(X)|xi|+…+|ain(X)||xn|
≤ai1(t)|x1|+ai2(t)|x2|+…+aii(t)|xi|+…+
ain(t)|xn}，
即D-V(t)≤A(t)V(t)，由此可得V(t1)<β(t1).
事实上，若有V(t1)=β(t1)成立，则
D-V(t1)≤A(t)V(t1)≤A(t)β(t1)
另一方面：取h>0，对于V(t1)-V(t1-h)h与β(t1)-β(t1-h)h，但V(t1)=β(t1)，V(t1-h)≤β(t1-h)，当h→0时，有D-V(t1)>D-β(t1)，与(4)式矛盾.
故有V(t)<β(t)，t∈［t0,t1］成立.
进而|x(t)|=V(t1)<β(t1)，从而|xS(t1)|=VS(t1)<βS(t1).
与(3)式矛盾，定理得证.
3.2 非线性时滞系统:X•=A(X)X+B(X)•X(t-r(t))的实用稳定性
定理2 如果对给定(α,β(t))，满足不等式β•(t)>A(t)β(t)+β(t)β(t)，
其中，
A(t)=maxX(t)aii(X(t)),i=j,
maxX(t)|aij(X(t))|，i≠j,i,j=1,2,…,n，
B(t)=maxX(t)|bij(X(t))|，i,j=1,2,…,n，
则系统（2）关于{Sα,Sβ,T,t0}实用稳定.
证明 假设结果不成立，则必有x0∈Sα和t1∈T以及1≤S≤n，使x(t)∈Sx(t)(t∈［t0,t1))，
且|xS(t1)|=βS(t1).
(5)
因而，取向量函数V(k)=（v1,v2,…,vn）T，其中vi(k)=|xi(k)|.证明同定理1.
4.实例验证
例 考虑系统1=-x2-1(1-x22)x1，
2=x1-1(1-x21)x2对于α=(0.1,0.1)T，β=(1,1)的实用稳定性.
解 如定理1，我们取A(t)=-21
1-2，那么，β•(t)=0
0，A(t)=-21
1-21
1=-1
-1，故β•(t)>A(t)β(t)，系统是实用稳定的.
5.结 语
实用稳定性是近年来刚刚兴起的一门科学，但是其用处非常广泛.因为在实际中同渐近稳定相比较，人们更期望的是完全稳定性.实用稳定性的概念更切合实际地反映出所研究过程的本质.
【参考文献】
［1］阿•阿•玛尔德纽克，孙振绮.实用稳定及其应用.科学出版社，2004.
［2］楚天广.哈尔滨：哈尔滨工业大学.
［3］楚天广，王照林.小参数时变非线性系统的技术稳定性.应用数学和力学，2001，21(11)：1140-1146.
［4］楚天广，张宗达，孙振绮.线性时滞系统和时滞大系统的实用稳定性.科学通报，1990：568-571.
［5］楚天广，张宗达.时滞系统解的有界性、稳定性与渐进阶.哈尔滨工业大学学报，1995，27(4)：1-4.
［6］陈雪波，徐望宝，李小华.非线性系统零解稳定性判定的广义二次型方法.控制与决策，2007，22(1)：81-84.