论文部分内容阅读
【内容摘要】以“几何”复习课的教学片段为例，阐述“五步导学法”复习方式，从学生已有的知识起点出发，找到知识的生长点，从一个简单的图形出发，不断变化生长拓展。以问题引路，盘活学生的兴奋点，启迪学生的思维，达到知识的融会贯通、自然生成，从而引导学生学会学习，发展学生的数学核心素养，优化初三数学复习课的有效教学。
【关键词】复习 关键词 知识网络 有效教學
引言
初三复习时间紧，任务重，要求高，新课标要求我们“尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要”，这就要求我们老师要精心上好复习课，在设计复习课时，一定要考虑有层次性，循序渐进，分解难点，逐步引导学生将问题深入，揭示解题规律，才能实现有效教学。
有效的初三数学复习课，关键是达到“清”，即知识脉络应梳清，数学思想要弄清，解题思路与解题规律要讲清。要做到这三“清”，必然要求教师课前花大功夫，既要考虑知识的整体性、特殊性;还要做到教学有针对性。是不是依然遵循“前测→例题讲解→练习→后测”这样的方式进行教学，把学生经常错、错得多的题所包含的知识点作为教学目标呢？当然不是。而这中间最重要的原因就在于教师没有激发学生学习的兴趣，盘活学生的兴奋点。初三复习课，应该让整个教学过程成为学生自己复习和探究的滋生和延续，让学生在个性的彰显探究中，获得知识的提升和人格的升华。我对初三数学复习课做了尝试探究，并逐步探索出了六步导学法的复习方式，在实践中应用，取得了较好的教学效果，有了自己的思考和感悟。下面我以“几何”复习片段为例解读我的五步导学复习课方式。
一、五步导学法复习方式理论基础
新课标标准中明确指出学生是学习和发展的主体，教师在从事教学的过程中要充分发挥学生学习的主观能动性和调动学生参与教学的积极性，是学生成为课堂学习的主人。六步导学，以题理知的教学方式就是为了充分调动学生的积极性，让学生成为学习的主人的一种摸索，一种尝试。
史宁中教授提出现在数学教学中最缺少的就是智慧教育，那什么叫智慧教育 ？教学生发现和提出问题，这需要思考，发现和会思考不是老师传授的结果，而是经验的积累，我们教师的作用就是要提出恰当的问题引发学生的独立思考。
“五步导学”复习方式实质上就是教师采取以"范例"引知识点、以“关键词”带知识点、以“问题”串知识点、以“检测”补知识点等教学策略，高效地组织学生进行复习，优化教学，提高复习效率。
二、五步导学法的复习方式的基本流程
原题呈现——寻法之路——成长之旅——方法感悟——大显身手，适用的才是最好的，结合本班学生的实际情况，原题呈现;追根溯源，挖掘题目中的关键词，从熟悉的基本图形或典型的图形中开启寻法之路，获得解题思路和方向;以问题引路，激发学生的好奇心，踏上成长之旅;解题之后的方法感悟，有助于培养学生的解题习惯，优化解题方法;布置适量的弹性作业，让学生大显身手，同时也满足不同层次学生的需要;想了解学生是否达成教学目标，来一个达标检查。
三、五步导学法的复习方式案例阐述
1.原题呈现
好的范例可以帮助学生走出题海，提高学习效率。课本例题和习题是经过专家多次筛选后的精品，也是出中考试题的源泉。我们可以优先从课本出发，用好例题或习题，充分挖掘例题习题的教学价值，激活思维，提升学生的解题能力。
浙教版8上课本35页例题7已知：如图1，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，求证：PA=PD。
2.寻法之路
傅种孙先生说过：几何之务不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然。采取开放式教学，横跨前后知识的联系，启迪思维，让学生都来寻找关键词，想到基本图形，自然生成解题思路。
寻找关键词1：平分 垂直，想到基本图形：角平分线的性质定理
寻找关键词2：AB∥CD PC分别平分∠DCB，想到典型图形：“角平分线 平行线=等腰三角形” 。
寻找关键词3：AB∥CD PA=PD，想到基本图形：梯形中位线性质定理。
通过找关键词，搜寻基本图形或典型图形，同学们的思路豁然开朗，学习热情高涨，自然生成解法。
3.成长之旅
第一站：结论加以开放
在解题过程中，根据以上的已知条件，你还能得出哪些结论呢？并证明你的结论。
比较有价值结论有：∠BPC=90°， BA CD=BC.
这种把结论设计成开放性的问题，可以让学生挖掘出更多的结论，这对培养学生的发散思维，解题能力都更有帮助。
第二站：条件加以删减
去掉条件“且与AB垂直”，结论“BC=AB CD”还成立吗？
寻找关键词：BC=AB CD，想到“截长补短”法，自然生成解题思路。
第三站：条件加以等价
题中条件“PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB”，可以等价于什么条件？
翻折。利用角平分线的轴对称性，找到或构造全等图形来解决问题。让所学的知识也就变成了“有源之水”。
第四站：基本图形的抽象
由条件AD⊥AB，AB∥CD，和解题收获结论“∠BPC=90°”，你又发现了什么？
“ 一线三等角，相似两三角”的K型图。
第五站：基本图形的运用
构造“K型图”，解决问题。
练习1：如图2，已知抛物线的对称轴是x=4，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点。O点是坐标原点，且A、C的坐标分别为（2，0）和（0，3），抛物线上有一点P，满足∠PBC=90°，求P点的坐标。
第六站：综合性的运用 练习2：如图3，在梯形ABCD中，AB⊥BC，EC⊥BC，AB=4，EC=1，以BC为直径的半圆O与AE相切于点F，求圆O的半径。
以问题引路，形成问题链，激发学生的好奇心。通过步步引导，不但满足了不同层次学生的需求，还加深了学生对知识的巩固，还使学生在变化中找出解答这一类题的方法和技巧。最后设计一些覆盖面大、综合性强的习题供学生练习，通过综合运用，学生的知识和发散性思维同时得到充分训练，最终达到知识、技能的整合，形成知识网络化，使学生在认知结构上获得新的平衡。
4.方法感悟
（1）从图形的变换角度
由角平分线的性质定理想到作角一边的垂线，得到两对轴对称的全等三角形，再由全等三角形的性质得到对应边相等，从而达成目标。
（2）从图形的角度
由“角平分线”、“平行线”、“等腰三角形”知二推一得到等腰三角形，再由等腰三角形的“三线合一”定理得到直角三角形，然后根据“一线三等角，相似两三角”得到相似三角形。
（3）归纳核心知识
①在同一个三角形中，等角对等边;
②等腰三角形的三线合一的逆定理;
③平行线的性质;
④中位线的性质;
⑤全等三角形的性质;
⑥角平分线的性质。
把深化的知识进行整理归类，通过老师的板书，引导学生把原来觉得很多又乱的知识条理化、网络化、结构化，把大家平时积累的感性知识升华到理性认识上，收获一种解题技能，从而达到解一题，会一类，通一片的目的。
5.大显身手
课后布置对应的训练，从资料出发，选好作业题。
如图4，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为多少？
这道题是当天回家作业，要求学生尽可能用多種方法解题。
英国作家萧伯纳说：“如果你有一个人苹果，我有一个苹果，彼此交换，我们每个人仍只有一个苹果;如果你有一种思想，我有一种思想，彼此交换，我们每个人就有了两种思想。”
第二天，我让学生积极点评同学的解法，取长补短，在交流中达到共同进步。
第一种解法，常规法，比较容易想到，但过程有点繁琐;
第二种解法，巧妙构造K型图，需要熟记含75°的直角三角形的三边关系;
第三种解法，利用四点共圆，转移特殊角60°，分解90°，计算量有点大;
第四种方法，巧借三角形的外接圆，转移角，得到特殊直角三角形，计算量相当少，但不易想到。
我认为，交换想法后，不只是每人有两种想法，而是每人原先的想法也得到修正、补充和提高，同时，甚至产生新的想法。学生就是在相互交流、相互促进中进步起来的。
课堂是开放的，学生畅所欲言的归纳也是零星的，有时还不完整，这时就很需要老师及时帮一把，扶一把来断后，架构知识体系，形成知识网络。
无论是实验班还是平行班，学生都能总结出转移角的方法：找或构造1.平行线;2.全等（相似）三角形;3.圆;4.图像变换。这一结果，让我更坚定了要去推广五步导学法的复习方式，提升复习课的教学效益。
结束语
以题理知，五步导学法的复习方式是基于“一核二心”的思考。一核：以数学直观理解数学为核心;二心：一是“基于生长点的教”。从捕捉已知条件的关键词开始，在学生寻找各种解法后适度拓展延伸，最后老师进行适当的断后，点出本质。二是“基于成长点的学”。经历“提炼关键词-想到基本模型-解决问题——适度拓展”这一解决数学问题的过程。
实践证明：原题呈现——寻法之路——成长之旅——方法感悟——大显身手的初三数学复习课教学方式，在我的教学中，取得了较好的教学效果，学生不但不再畏惧数学复习课了，还对数学复习课充满了期待。但这种复习教学方式对老师整合身边的复习资料提出了很高的要求，需要备课组老师合作。长期下去，必将有利于备课组的建设。
【参考文献】
[1] 田海霞. 挖掘题根， 窥斑见豹——对杭州市下城区即兴说题题目的几点思考[J].中学教研：数学版， 2012（5）：6-7.
[2] 张锴铮. 在挖掘隐含条件的过程中培养质疑精神[J].中学生数理化（学习研究）， 2017（10）.
[3]蔡中茂.加强中考复习研究提高数学课堂教学效益[J].中学生数理化·教与学，2018（10）.
[4] 白艳. 立足学生发展，让学生真正“有话可说”——记初三数学复习课“探索数式规律性问题”[J]. 中学数学， 582（8）：48-51.
（作者单位：浙江省杭州市余杭区临平第一中学）
【关键词】复习 关键词 知识网络 有效教學
引言
初三复习时间紧，任务重，要求高，新课标要求我们“尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要”，这就要求我们老师要精心上好复习课，在设计复习课时，一定要考虑有层次性，循序渐进，分解难点，逐步引导学生将问题深入，揭示解题规律，才能实现有效教学。
有效的初三数学复习课，关键是达到“清”，即知识脉络应梳清，数学思想要弄清，解题思路与解题规律要讲清。要做到这三“清”，必然要求教师课前花大功夫，既要考虑知识的整体性、特殊性;还要做到教学有针对性。是不是依然遵循“前测→例题讲解→练习→后测”这样的方式进行教学，把学生经常错、错得多的题所包含的知识点作为教学目标呢？当然不是。而这中间最重要的原因就在于教师没有激发学生学习的兴趣，盘活学生的兴奋点。初三复习课，应该让整个教学过程成为学生自己复习和探究的滋生和延续，让学生在个性的彰显探究中，获得知识的提升和人格的升华。我对初三数学复习课做了尝试探究，并逐步探索出了六步导学法的复习方式，在实践中应用，取得了较好的教学效果，有了自己的思考和感悟。下面我以“几何”复习片段为例解读我的五步导学复习课方式。
一、五步导学法复习方式理论基础
新课标标准中明确指出学生是学习和发展的主体，教师在从事教学的过程中要充分发挥学生学习的主观能动性和调动学生参与教学的积极性，是学生成为课堂学习的主人。六步导学，以题理知的教学方式就是为了充分调动学生的积极性，让学生成为学习的主人的一种摸索，一种尝试。
史宁中教授提出现在数学教学中最缺少的就是智慧教育，那什么叫智慧教育 ？教学生发现和提出问题，这需要思考，发现和会思考不是老师传授的结果，而是经验的积累，我们教师的作用就是要提出恰当的问题引发学生的独立思考。
“五步导学”复习方式实质上就是教师采取以"范例"引知识点、以“关键词”带知识点、以“问题”串知识点、以“检测”补知识点等教学策略，高效地组织学生进行复习，优化教学，提高复习效率。
二、五步导学法的复习方式的基本流程
原题呈现——寻法之路——成长之旅——方法感悟——大显身手，适用的才是最好的，结合本班学生的实际情况，原题呈现;追根溯源，挖掘题目中的关键词，从熟悉的基本图形或典型的图形中开启寻法之路，获得解题思路和方向;以问题引路，激发学生的好奇心，踏上成长之旅;解题之后的方法感悟，有助于培养学生的解题习惯，优化解题方法;布置适量的弹性作业，让学生大显身手，同时也满足不同层次学生的需要;想了解学生是否达成教学目标，来一个达标检查。
三、五步导学法的复习方式案例阐述
1.原题呈现
好的范例可以帮助学生走出题海，提高学习效率。课本例题和习题是经过专家多次筛选后的精品，也是出中考试题的源泉。我们可以优先从课本出发，用好例题或习题，充分挖掘例题习题的教学价值，激活思维，提升学生的解题能力。
浙教版8上课本35页例题7已知：如图1，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，求证：PA=PD。
2.寻法之路
傅种孙先生说过：几何之务不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然。采取开放式教学，横跨前后知识的联系，启迪思维，让学生都来寻找关键词，想到基本图形，自然生成解题思路。
寻找关键词1：平分 垂直，想到基本图形：角平分线的性质定理
寻找关键词2：AB∥CD PC分别平分∠DCB，想到典型图形：“角平分线 平行线=等腰三角形” 。
寻找关键词3：AB∥CD PA=PD，想到基本图形：梯形中位线性质定理。
通过找关键词，搜寻基本图形或典型图形，同学们的思路豁然开朗，学习热情高涨，自然生成解法。
3.成长之旅
第一站：结论加以开放
在解题过程中，根据以上的已知条件，你还能得出哪些结论呢？并证明你的结论。
比较有价值结论有：∠BPC=90°， BA CD=BC.
这种把结论设计成开放性的问题，可以让学生挖掘出更多的结论，这对培养学生的发散思维，解题能力都更有帮助。
第二站：条件加以删减
去掉条件“且与AB垂直”，结论“BC=AB CD”还成立吗？
寻找关键词：BC=AB CD，想到“截长补短”法，自然生成解题思路。
第三站：条件加以等价
题中条件“PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB”，可以等价于什么条件？
翻折。利用角平分线的轴对称性，找到或构造全等图形来解决问题。让所学的知识也就变成了“有源之水”。
第四站：基本图形的抽象
由条件AD⊥AB，AB∥CD，和解题收获结论“∠BPC=90°”，你又发现了什么？
“ 一线三等角，相似两三角”的K型图。
第五站：基本图形的运用
构造“K型图”，解决问题。
练习1：如图2，已知抛物线的对称轴是x=4，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点。O点是坐标原点，且A、C的坐标分别为（2，0）和（0，3），抛物线上有一点P，满足∠PBC=90°，求P点的坐标。
第六站：综合性的运用 练习2：如图3，在梯形ABCD中，AB⊥BC，EC⊥BC，AB=4，EC=1，以BC为直径的半圆O与AE相切于点F，求圆O的半径。
以问题引路，形成问题链，激发学生的好奇心。通过步步引导，不但满足了不同层次学生的需求，还加深了学生对知识的巩固，还使学生在变化中找出解答这一类题的方法和技巧。最后设计一些覆盖面大、综合性强的习题供学生练习，通过综合运用，学生的知识和发散性思维同时得到充分训练，最终达到知识、技能的整合，形成知识网络化，使学生在认知结构上获得新的平衡。
4.方法感悟
（1）从图形的变换角度
由角平分线的性质定理想到作角一边的垂线，得到两对轴对称的全等三角形，再由全等三角形的性质得到对应边相等，从而达成目标。
（2）从图形的角度
由“角平分线”、“平行线”、“等腰三角形”知二推一得到等腰三角形，再由等腰三角形的“三线合一”定理得到直角三角形，然后根据“一线三等角，相似两三角”得到相似三角形。
（3）归纳核心知识
①在同一个三角形中，等角对等边;
②等腰三角形的三线合一的逆定理;
③平行线的性质;
④中位线的性质;
⑤全等三角形的性质;
⑥角平分线的性质。
把深化的知识进行整理归类，通过老师的板书，引导学生把原来觉得很多又乱的知识条理化、网络化、结构化，把大家平时积累的感性知识升华到理性认识上，收获一种解题技能，从而达到解一题，会一类，通一片的目的。
5.大显身手
课后布置对应的训练，从资料出发，选好作业题。
如图4，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为多少？
这道题是当天回家作业，要求学生尽可能用多種方法解题。
英国作家萧伯纳说：“如果你有一个人苹果，我有一个苹果，彼此交换，我们每个人仍只有一个苹果;如果你有一种思想，我有一种思想，彼此交换，我们每个人就有了两种思想。”
第二天，我让学生积极点评同学的解法，取长补短，在交流中达到共同进步。
第一种解法，常规法，比较容易想到，但过程有点繁琐;
第二种解法，巧妙构造K型图，需要熟记含75°的直角三角形的三边关系;
第三种解法，利用四点共圆，转移特殊角60°，分解90°，计算量有点大;
第四种方法，巧借三角形的外接圆，转移角，得到特殊直角三角形，计算量相当少，但不易想到。
我认为，交换想法后，不只是每人有两种想法，而是每人原先的想法也得到修正、补充和提高，同时，甚至产生新的想法。学生就是在相互交流、相互促进中进步起来的。
课堂是开放的，学生畅所欲言的归纳也是零星的，有时还不完整，这时就很需要老师及时帮一把，扶一把来断后，架构知识体系，形成知识网络。
无论是实验班还是平行班，学生都能总结出转移角的方法：找或构造1.平行线;2.全等（相似）三角形;3.圆;4.图像变换。这一结果，让我更坚定了要去推广五步导学法的复习方式，提升复习课的教学效益。
结束语
以题理知，五步导学法的复习方式是基于“一核二心”的思考。一核：以数学直观理解数学为核心;二心：一是“基于生长点的教”。从捕捉已知条件的关键词开始，在学生寻找各种解法后适度拓展延伸，最后老师进行适当的断后，点出本质。二是“基于成长点的学”。经历“提炼关键词-想到基本模型-解决问题——适度拓展”这一解决数学问题的过程。
实践证明：原题呈现——寻法之路——成长之旅——方法感悟——大显身手的初三数学复习课教学方式，在我的教学中，取得了较好的教学效果，学生不但不再畏惧数学复习课了，还对数学复习课充满了期待。但这种复习教学方式对老师整合身边的复习资料提出了很高的要求，需要备课组老师合作。长期下去，必将有利于备课组的建设。
【参考文献】
[1] 田海霞. 挖掘题根， 窥斑见豹——对杭州市下城区即兴说题题目的几点思考[J].中学教研：数学版， 2012（5）：6-7.
[2] 张锴铮. 在挖掘隐含条件的过程中培养质疑精神[J].中学生数理化（学习研究）， 2017（10）.
[3]蔡中茂.加强中考复习研究提高数学课堂教学效益[J].中学生数理化·教与学，2018（10）.
[4] 白艳. 立足学生发展，让学生真正“有话可说”——记初三数学复习课“探索数式规律性问题”[J]. 中学数学， 582（8）：48-51.
（作者单位：浙江省杭州市余杭区临平第一中学）