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【摘 要】初中数学开放题教学无论在分层实施个性化教学和实现学生“四基”培养目标等方面都具有重要意义。该文结合初中数学新课程教学实践，探讨了初中数学开放题教学的特征、类别及其数学教育价值，并初步提出了初中数学开放题教学的策略。
【关键词】初中数学；开放题教学；探索
《义务教育数学课程标准（2011版）》强调：“数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”并首次提出了数学课程的“四基”目标：“学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”新课标实施十年来，初中数学教学改革取得了显著的成果，开放题教学模式就是令人注目的成果之一，它在分层实施个性化教学和实现学生“四基”培养目标等方面都具有重要意义。随着开放题在高考和中考数学试卷上的频频出现，开放题教学研究就越来越受到广大数学教师的重视。
一、初中数学开放题教学的特征
戴再平先生的研究认为：“数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题”。据此，初中数学开放题教学应具有以下特征：
1.开放题教学通常由实际问题引入
这种实际问题可以是学生生活的现实，也可以是学生已有的知识经验，学生必须用数学语言将其数学化，也就是通过建立数学模型来找到问题解决的的结果。
2.开放题教学具有探索性和拓展性
开放题教学具有非常规性、发散性和创新性，通常都要运用一定的数学思维方法来探索求解，而且在此过程中会生成新的问题，从而发展成一系列的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论。
3.开放题教学具有广泛的参与性，体现学生的主体地位
开放题的答案是不确定的，解答过程具有层次性，能满足各种层次水平学生的需求，使全体学生都能参与到对问题的探索解答过程中，在自己的能力范围解决问题，得到不同深度的答案。开放题的条件有时会不足，要求学生予以补充，有时会多余，要求学生进行选择，才能着手解题。
二、初中数学开放题教学的类型
开放题的类别决定了开放题教学的类型，主要可分为以下几类。
1.条件开放题教学
以条件开放题（探求的答案是题目的条件）为例来组织的教学。
2.策略开放题教学
以策略开放题（探求的答案是题目的依据或方法）为例来组织的教学。
3.结论开放题教学
以结论开放题（探求的答案是题目的结论）。
4.综合开放题教学
以综合开放题（题目的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定或寻找探求）为例来组织的教学。此类教学对学生数学素质要求较高，在初中数学教学中出现的很少。
三、初中数学开放题教学的数学教育价值
1.激发学生学习数学的兴趣
在数学开放题教学过程中，教师作为教学的组织者、引导者和合作者，为学生创设学习情境，使不同层次水平的学生都能参与到探索解答的过程中而成为学习的主体，学生利用已有的知识和经验建构新知识，得到不同深度的答案，使每个学生都能体验到成功的快乐，这有效地激发了学生的学习兴趣，提高了学习的内驱力。
2.培养学生思维的灵活性和广阔性
对于策略开放题，由条件推出结论的途径不是唯一的，可以有多种思考方向，一题多思、一题多解，能够拓宽学生思路，训练发散思维，培养思维的灵活性和广阔性。
例如：二次函数图像上三个点的坐标(-1，0)，(3，0)，(１，４)，求函数解析式。（初中《代数》第三册132页第5题③）本题解法较多，但每种解法都是求二次函数解析式的重要方法，并具有一般性。
解法1（一般式）：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵图像过已知的三点，
∴ ∴
∴所求的解析式为y=－x2+２x+3。
解法２（交点式）：设二次函数的解析式y＝a（ｘ＋１）（ｘ－３），
∵图像过已知点（１，４）， ∴４＝ａ（１＋１）（１－３）， 得ａ＝－１，
∴所求的解析式为y=－（ｘ＋１）（ｘ－３）。
解法３（顶点式）：∵抛物线与ｘ轴的交点是（-1，0)，(3，0),
∴它们是关于抛物线的对称轴对称的一对点，
∴对称轴为ｘ＝０，５（-１＋３）＝１，
∴而（１，４）又在对称轴上， ∴顶点为（１，４）。
一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
3.培养学生思维的创新性和独特性
在华东师大版初中数学教材（七年级）（上）中出现了“花坛设计”这种类型的开放题，要求在一矩形空地上设计一花坛，图案由圆和正方形组成（圆和正方形个数不限），使花坛面积约占矩形的一半。由于这类开放题并没有标准答案，只要学生设计合理，都能作为题目的答案，这就能促使学生以自己个性化的思维来得出独特的答案。
4.培养学生思维的深刻性和严谨性
结论开放题的条件并非仅能推得唯一的结论，在对这类题目的探究解答过程中，学生需要考虑到各种可能情况，通过分析、推理，作出判断，这有利于学生养成全面思考的习惯，培养了学生思维的深刻性。
四、初中数学开放题教学策略
开放题教学的侧重点是学生分析问题、解决问题的思维过程，有利于培养学生的创新意识和思维能力，在开放题教学中教师应注意以下几点：
1.开放题教学应贴近学生的数学现实
所谓学生的数学现实就是每个人自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算法则和有关的数学知识结构。贴近生活的开放题教学可以使学生的生活经验数学化、数学知识实践化的过程中感受到数学就在我们身边，如“花坛设计”、“地砖铺设”、“购房分期付款”等问题都将数学知识和实际生活紧密联系在一起。 2.开放题教学应注意质和量的适度
开放题教学要面向全体学生，考虑到不同层次水平学生的需求，教师在设计问题情景时切忌难、偏、怪。开始可选择一些易上手、有多种解答方法、可进行拓展的题目，这样就能使数学成绩较差的学生通过不同方法的尝试、探索部分解决问题的可能性，从而增强学生学好数学的自信心。对于数学成绩较好的学生，则可以进行更深层次的探索，发展深层次的思维能力。此外，还应根据学生实际情况安排开放题的教学量，开放题的教学应在学生掌握一定基础知识后才能进行，当学生的基础知识还未牢固掌握时，就进行开放题教学，就会陷入“启而不发”的局面，失去了开放题教学的意义。
3.充分发挥学生的主体作用
教师只是开放题教学的组织者、引导者和合作者，对数学问题的思考切不可包办代替，直接灌输结论，要给予学生充分的思考时间和空间，引导他们多方位、多角度地去思考、探索，鼓励他们大胆尝试，并展开讨论，在互相交流中发现新的问题，探索新方法。如果学生提出的问题或问题的解决方法偏离了教师的预设，是教师课前没有预料到的，切不可为了维护自己的权威而无理由地否定它，把学生的思维硬拉到自己预设的轨道上，这样很容易挫伤学生的积极性，压制思维的创造性，一种新的解题方法也就可能因此而错过。
4.教师要在课前作好充分的准备
教师要精心创设问题情境。好的问题情境能引起学生的好奇心，激发学习兴趣，调动积极性，鼓励学生踊跃发表自己的见解或提出疑问让大家共同探讨，营造出积极思考、激烈讨论的课堂气氛。由于开放题答案的不确定性，所以教师在课前要作好充分的估计和准备，并充分发挥自己的教学智慧应对课堂生成，引导探索发现，并在探索讨论后作好归纳、概括和提升。
随着数学新课程教学改革的不断深入，开放题教学在初中数学教学中必将占有越来越重要的地位。笔者相信，广大数学教师一定能在开放题教学的实践和完善中，不断提高自己的业务素养和教学法水平，在学生“四基”目标的达成中和学生共同发展、共同成长。
【参考文献】
[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2011
[2]戴再平等.开放题──数学教学的新模式[M].上海:上海教育出版社,2004
[3]陆佩萍.尝试“开放”探索创新──开放性教学的实践及认识[J].数学教学研究,2001(12)
（作者单位：江苏省昆山市玉峰实验学校）
【关键词】初中数学；开放题教学；探索
《义务教育数学课程标准（2011版）》强调：“数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”并首次提出了数学课程的“四基”目标：“学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”新课标实施十年来，初中数学教学改革取得了显著的成果，开放题教学模式就是令人注目的成果之一，它在分层实施个性化教学和实现学生“四基”培养目标等方面都具有重要意义。随着开放题在高考和中考数学试卷上的频频出现，开放题教学研究就越来越受到广大数学教师的重视。
一、初中数学开放题教学的特征
戴再平先生的研究认为：“数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题”。据此，初中数学开放题教学应具有以下特征：
1.开放题教学通常由实际问题引入
这种实际问题可以是学生生活的现实，也可以是学生已有的知识经验，学生必须用数学语言将其数学化，也就是通过建立数学模型来找到问题解决的的结果。
2.开放题教学具有探索性和拓展性
开放题教学具有非常规性、发散性和创新性，通常都要运用一定的数学思维方法来探索求解，而且在此过程中会生成新的问题，从而发展成一系列的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论。
3.开放题教学具有广泛的参与性，体现学生的主体地位
开放题的答案是不确定的，解答过程具有层次性，能满足各种层次水平学生的需求，使全体学生都能参与到对问题的探索解答过程中，在自己的能力范围解决问题，得到不同深度的答案。开放题的条件有时会不足，要求学生予以补充，有时会多余，要求学生进行选择，才能着手解题。
二、初中数学开放题教学的类型
开放题的类别决定了开放题教学的类型，主要可分为以下几类。
1.条件开放题教学
以条件开放题（探求的答案是题目的条件）为例来组织的教学。
2.策略开放题教学
以策略开放题（探求的答案是题目的依据或方法）为例来组织的教学。
3.结论开放题教学
以结论开放题（探求的答案是题目的结论）。
4.综合开放题教学
以综合开放题（题目的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定或寻找探求）为例来组织的教学。此类教学对学生数学素质要求较高，在初中数学教学中出现的很少。
三、初中数学开放题教学的数学教育价值
1.激发学生学习数学的兴趣
在数学开放题教学过程中，教师作为教学的组织者、引导者和合作者，为学生创设学习情境，使不同层次水平的学生都能参与到探索解答的过程中而成为学习的主体，学生利用已有的知识和经验建构新知识，得到不同深度的答案，使每个学生都能体验到成功的快乐，这有效地激发了学生的学习兴趣，提高了学习的内驱力。
2.培养学生思维的灵活性和广阔性
对于策略开放题，由条件推出结论的途径不是唯一的，可以有多种思考方向，一题多思、一题多解，能够拓宽学生思路，训练发散思维，培养思维的灵活性和广阔性。
例如：二次函数图像上三个点的坐标(-1，0)，(3，0)，(１，４)，求函数解析式。（初中《代数》第三册132页第5题③）本题解法较多，但每种解法都是求二次函数解析式的重要方法，并具有一般性。
解法1（一般式）：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵图像过已知的三点，
∴ ∴
∴所求的解析式为y=－x2+２x+3。
解法２（交点式）：设二次函数的解析式y＝a（ｘ＋１）（ｘ－３），
∵图像过已知点（１，４）， ∴４＝ａ（１＋１）（１－３）， 得ａ＝－１，
∴所求的解析式为y=－（ｘ＋１）（ｘ－３）。
解法３（顶点式）：∵抛物线与ｘ轴的交点是（-1，0)，(3，0),
∴它们是关于抛物线的对称轴对称的一对点，
∴对称轴为ｘ＝０，５（-１＋３）＝１，
∴而（１，４）又在对称轴上， ∴顶点为（１，４）。
一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
3.培养学生思维的创新性和独特性
在华东师大版初中数学教材（七年级）（上）中出现了“花坛设计”这种类型的开放题，要求在一矩形空地上设计一花坛，图案由圆和正方形组成（圆和正方形个数不限），使花坛面积约占矩形的一半。由于这类开放题并没有标准答案，只要学生设计合理，都能作为题目的答案，这就能促使学生以自己个性化的思维来得出独特的答案。
4.培养学生思维的深刻性和严谨性
结论开放题的条件并非仅能推得唯一的结论，在对这类题目的探究解答过程中，学生需要考虑到各种可能情况，通过分析、推理，作出判断，这有利于学生养成全面思考的习惯，培养了学生思维的深刻性。
四、初中数学开放题教学策略
开放题教学的侧重点是学生分析问题、解决问题的思维过程，有利于培养学生的创新意识和思维能力，在开放题教学中教师应注意以下几点：
1.开放题教学应贴近学生的数学现实
所谓学生的数学现实就是每个人自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算法则和有关的数学知识结构。贴近生活的开放题教学可以使学生的生活经验数学化、数学知识实践化的过程中感受到数学就在我们身边，如“花坛设计”、“地砖铺设”、“购房分期付款”等问题都将数学知识和实际生活紧密联系在一起。 2.开放题教学应注意质和量的适度
开放题教学要面向全体学生，考虑到不同层次水平学生的需求，教师在设计问题情景时切忌难、偏、怪。开始可选择一些易上手、有多种解答方法、可进行拓展的题目，这样就能使数学成绩较差的学生通过不同方法的尝试、探索部分解决问题的可能性，从而增强学生学好数学的自信心。对于数学成绩较好的学生，则可以进行更深层次的探索，发展深层次的思维能力。此外，还应根据学生实际情况安排开放题的教学量，开放题的教学应在学生掌握一定基础知识后才能进行，当学生的基础知识还未牢固掌握时，就进行开放题教学，就会陷入“启而不发”的局面，失去了开放题教学的意义。
3.充分发挥学生的主体作用
教师只是开放题教学的组织者、引导者和合作者，对数学问题的思考切不可包办代替，直接灌输结论，要给予学生充分的思考时间和空间，引导他们多方位、多角度地去思考、探索，鼓励他们大胆尝试，并展开讨论，在互相交流中发现新的问题，探索新方法。如果学生提出的问题或问题的解决方法偏离了教师的预设，是教师课前没有预料到的，切不可为了维护自己的权威而无理由地否定它，把学生的思维硬拉到自己预设的轨道上，这样很容易挫伤学生的积极性，压制思维的创造性，一种新的解题方法也就可能因此而错过。
4.教师要在课前作好充分的准备
教师要精心创设问题情境。好的问题情境能引起学生的好奇心，激发学习兴趣，调动积极性，鼓励学生踊跃发表自己的见解或提出疑问让大家共同探讨，营造出积极思考、激烈讨论的课堂气氛。由于开放题答案的不确定性，所以教师在课前要作好充分的估计和准备，并充分发挥自己的教学智慧应对课堂生成，引导探索发现，并在探索讨论后作好归纳、概括和提升。
随着数学新课程教学改革的不断深入，开放题教学在初中数学教学中必将占有越来越重要的地位。笔者相信，广大数学教师一定能在开放题教学的实践和完善中，不断提高自己的业务素养和教学法水平，在学生“四基”目标的达成中和学生共同发展、共同成长。
【参考文献】
[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2011
[2]戴再平等.开放题──数学教学的新模式[M].上海:上海教育出版社,2004
[3]陆佩萍.尝试“开放”探索创新──开放性教学的实践及认识[J].数学教学研究,2001(12)
（作者单位：江苏省昆山市玉峰实验学校）