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摘要:数学是美的科学,追求数学美是数学发展的动力之一,也是学生学习数学的动力。数学本身从形式到内容都充满了美,教师在教学中应充分挖掘和展示数学的美,使学生在美的环境中愉快地学习,从而提高学生的学习兴趣。
关键词:数学美 学习兴趣
美,是指事物给我们视觉上的良好感受或心理上的愉悦。美是人类创造性实践活动的产物,是人类文明的产物。通常所说的美包括自然美、社会美和艺术美。其实,向来以严谨著称的数学也是美丽的。
一、什么是数学美
作为科学原理的数学,具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点,同时数学美又有自身的独特含义。什么是数学美呢?历史上许多学者、数学家对数学美从不同侧面做过生动的阐述。
美国代数学家P.哈尔斯也说过:“数学是创造性的艺术,因为数学家创造了美好的新概念;数学是创造性的艺术,因为数学家像艺术家一样地生活,一样地工作,一样地思索。
普洛克拉斯说:“哪里有数学,哪里就有美。”
徐利治认为:“数学在其内容结构上和方法上也都具有其自身的某种美。”
认真研究上述看法,从美学与数学角度进行总结,可以这么说,数学美是数学科学的本质力量的感性与理性的显现,是一种人的本质力量通过数学思维结构的呈现。它是一种真实的美,是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。
二、数学美的特征
(一)简洁美
数学的简洁性是指其抽象性、概括性和统一性。正是因为数学具有抽象性和统一性,因而其形式应当是简洁的。数学科学的严谨性,决定它必须精炼、准确。因而数学的简洁美主要表现在:
1. 定义、规律叙述语言的高度浓缩性,它的语言精炼到“一字千金”的程度。例如:质数的定义是“只有和它本身的两个约数的数”,若丢掉“只”字,便荒谬绝伦;小数性质中“小数末尾的0……”若说成“后面”,便“失之千里”。此种例证不胜枚举。
2. 公式、法则的高度概括性。勾股定理c2=a2+b2以一个简单而整齐的形式表达了一切直角三角形边长之间的关系,其简洁与概括给人以美的享受。三角形,尽管它有千姿万态,但人们用S=■ah(a为底边的长,h为该边上的高)却囊括了所有三角形的面积。
3. 符号语言的广泛适用性。数学符号是最简洁的文字,表达的内容却极其广泛而丰富,它是数学科学抽象化程度的高度体现,也正是数学美的一个方面。a+b=b+a;abc=acb=bca(其中a,b,c可以是任何整数、小数或分数)这些用符号表达的算式,既节省了大量文字,又反映了普遍规律,简洁明了,容易记忆,充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。
(二)对称美
对称美是数学美的核心。众所周知,具有对称性的东西,会给人以圆满的匀称美感与精神享受。在中学数学中对称的例子很多。例如:
1. 立体几何中的正方体、长方体、正四面体都是对称的几何体。球与圆在各个方向都是对称的,因此,毕达哥拉斯说:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆”。
2. 数学命题结构上的对称给人以最好的启发,由此及彼,可以类比推出新的命题,如从命题“若三角形的周长一定,则当这个三角形是正三角形时,面积最大”,可以对称地得到“若三角形的面积一定,则当这个三角形是正三角形时,周长最小。”
3. 数学概念也有很多是一分为二地成对出现的:“整——分,奇——偶,和——差,曲——直,方——圆,分解——组合,平行——交叉,正比例——反比例……”
(三)和谐美
和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性,数学的严谨自然流露出了它的和谐美。黄金分割体现了宇宙间最和谐的比例之美。我国国旗上的五角星,也正是运用了正五边形具有奇妙的黄金分割的性质(即其边长与其对角线之比恰好成黄金分割数);一些名画的主题,大都画在画面的0.618处;乐曲中较长的一段一般是总长度的0.618;弦乐器的声码放在琴弦的0.618处会使音质更甜美;一个独唱演员演出时,当他站在舞台前沿的黄金分割点的位置时,才会有最佳的视觉效果。美术作品的高雅风格、音乐作品的优美节奏,交融于数学的对称美、和谐美之中。伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”,把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中,为国家节约了大量的人力和能源。
凡是美的东西都具有一个共同特征,这就是部分与部分之间,以及部分与整体之间固有的协调一致。这协调一致产生了和谐美,让人领略到了数学内部结构的和谐美。
(四)奇异美
奇异、突变是数学美的重要表现,它反映了现实世界中非常规现象的一个侧面,给数学发展带来了新的活力。数学中的奇异美,颇有一点“出乎意料”和“令人震惊”的意味。这在中学解题中会经常碰到的。
例:已知 A(-7,0)、B(7,0)、C(2,-12)三点,如果一个双曲线以 C为一个焦点,并且双曲线的两支分别过 A、B两点,求双曲线的另一个焦点的轨迹。
探索思路:这个题如果用求轨迹的一般方法很难做出来,但若根据题中条件,设另一个焦点为F1(x,y)。由双曲线的定义,有
|AC|-|AF1|= -(|BC|-|BF1|),即|BF1|+|AF1|=28。显然这个表达式表示的动点轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以有a=14,c=7。故轨迹为椭圆,其方程■+■=1,这是由条件出乎意料得到的结果,是一种奇异的美。
奇异、突变美是数学美中最丰富、最精彩的片段,在百思不得其解之后,一个巧妙的方法跃然而出,显得奇特、新颖,这就是数学的奇异美。它能使学生感受到创造的喜悦和成功的乐趣,养成科学的态度和顽强的事业心。
(五)残缺美
在我们的教课书中,数学始终在矛盾中发展。数学中的不和谐也“比比皆是”,这构成了数学的残缺美,为丰富数学的内涵,培养学生的数学能力起到了不可磨灭的贡献。在教学平均数、中位数、众数的使用时,有这样一题:某市体委从甲、乙两名运动员中选拔一名运动员参加全运会,每人射击5次,打中的环数为:甲:7环、8环、9环、8环、8环;乙:5环、10环、6环、9环、10环。根据以上数据,你认为选谁参加全运会比较合适?于是同学们对甲乙二人的成绩作了分析:(1)平均数:两人都是8环;(2)中位数:甲是8环,乙是9环;(3)众数:甲是8环,乙是10环。明显从中位数和众数两项指标上看,乙都优于甲,但是市体委领导却选中了甲运动员参加全运会,你认为公平吗?谈谈理由。学生激情高涨,都觉得应由乙参加全运会,因为运动员的成绩主要指标是平均数,在平均数相同的条件下,为什么不让乙运动员去,最后老师提出乙落选的原因是其发挥不稳定。而成绩的稳定性要用另一个量——方差来表示。这时教师并不需急于讲解,而是对学生说在以后的教材中会学习到,这样留下一个不完美的结局,让学生去研讨、解惑,从而激发学生学习的欲望,提高学习的兴趣。
培根说得好:“美在于独特而令人惊异,奇异与和谐是对立的统一。数学中出人意料的反例和巧妙的解题方法都令人叫绝,表现出奇异的美,闪耀着智慧的光芒。”
数学中蕴含的美的因素是深广博大的。数学的美还不止与此,它贯穿于数学的方方面面。它所蕴含的美妙和奇趣,不同于其他的美,它是独特的、内在的,作为数学教师,应从数学中挖掘数学的美学思想,从数学的理论和实践的具体应用中感受它的美之所在,并在教学中用美的思想去影响和感染学生,让学生体会到数学学习中的美,发挥数学学科在学生德育、智育、美育中的教育作用,促进学生思维的全面发展。
参考文献:
[1] 新世纪青少年科普经典《数学之迷》,内蒙古少年儿童出版社
[2] 陈胜利,《一个优美不等式的证明》,《中学数学》
[3] 王春丽,《对称、美丽而又神奇》,《中学数学》
关键词:数学美 学习兴趣
美,是指事物给我们视觉上的良好感受或心理上的愉悦。美是人类创造性实践活动的产物,是人类文明的产物。通常所说的美包括自然美、社会美和艺术美。其实,向来以严谨著称的数学也是美丽的。
一、什么是数学美
作为科学原理的数学,具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点,同时数学美又有自身的独特含义。什么是数学美呢?历史上许多学者、数学家对数学美从不同侧面做过生动的阐述。
美国代数学家P.哈尔斯也说过:“数学是创造性的艺术,因为数学家创造了美好的新概念;数学是创造性的艺术,因为数学家像艺术家一样地生活,一样地工作,一样地思索。
普洛克拉斯说:“哪里有数学,哪里就有美。”
徐利治认为:“数学在其内容结构上和方法上也都具有其自身的某种美。”
认真研究上述看法,从美学与数学角度进行总结,可以这么说,数学美是数学科学的本质力量的感性与理性的显现,是一种人的本质力量通过数学思维结构的呈现。它是一种真实的美,是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。
二、数学美的特征
(一)简洁美
数学的简洁性是指其抽象性、概括性和统一性。正是因为数学具有抽象性和统一性,因而其形式应当是简洁的。数学科学的严谨性,决定它必须精炼、准确。因而数学的简洁美主要表现在:
1. 定义、规律叙述语言的高度浓缩性,它的语言精炼到“一字千金”的程度。例如:质数的定义是“只有和它本身的两个约数的数”,若丢掉“只”字,便荒谬绝伦;小数性质中“小数末尾的0……”若说成“后面”,便“失之千里”。此种例证不胜枚举。
2. 公式、法则的高度概括性。勾股定理c2=a2+b2以一个简单而整齐的形式表达了一切直角三角形边长之间的关系,其简洁与概括给人以美的享受。三角形,尽管它有千姿万态,但人们用S=■ah(a为底边的长,h为该边上的高)却囊括了所有三角形的面积。
3. 符号语言的广泛适用性。数学符号是最简洁的文字,表达的内容却极其广泛而丰富,它是数学科学抽象化程度的高度体现,也正是数学美的一个方面。a+b=b+a;abc=acb=bca(其中a,b,c可以是任何整数、小数或分数)这些用符号表达的算式,既节省了大量文字,又反映了普遍规律,简洁明了,容易记忆,充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。
(二)对称美
对称美是数学美的核心。众所周知,具有对称性的东西,会给人以圆满的匀称美感与精神享受。在中学数学中对称的例子很多。例如:
1. 立体几何中的正方体、长方体、正四面体都是对称的几何体。球与圆在各个方向都是对称的,因此,毕达哥拉斯说:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆”。
2. 数学命题结构上的对称给人以最好的启发,由此及彼,可以类比推出新的命题,如从命题“若三角形的周长一定,则当这个三角形是正三角形时,面积最大”,可以对称地得到“若三角形的面积一定,则当这个三角形是正三角形时,周长最小。”
3. 数学概念也有很多是一分为二地成对出现的:“整——分,奇——偶,和——差,曲——直,方——圆,分解——组合,平行——交叉,正比例——反比例……”
(三)和谐美
和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性,数学的严谨自然流露出了它的和谐美。黄金分割体现了宇宙间最和谐的比例之美。我国国旗上的五角星,也正是运用了正五边形具有奇妙的黄金分割的性质(即其边长与其对角线之比恰好成黄金分割数);一些名画的主题,大都画在画面的0.618处;乐曲中较长的一段一般是总长度的0.618;弦乐器的声码放在琴弦的0.618处会使音质更甜美;一个独唱演员演出时,当他站在舞台前沿的黄金分割点的位置时,才会有最佳的视觉效果。美术作品的高雅风格、音乐作品的优美节奏,交融于数学的对称美、和谐美之中。伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”,把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中,为国家节约了大量的人力和能源。
凡是美的东西都具有一个共同特征,这就是部分与部分之间,以及部分与整体之间固有的协调一致。这协调一致产生了和谐美,让人领略到了数学内部结构的和谐美。
(四)奇异美
奇异、突变是数学美的重要表现,它反映了现实世界中非常规现象的一个侧面,给数学发展带来了新的活力。数学中的奇异美,颇有一点“出乎意料”和“令人震惊”的意味。这在中学解题中会经常碰到的。
例:已知 A(-7,0)、B(7,0)、C(2,-12)三点,如果一个双曲线以 C为一个焦点,并且双曲线的两支分别过 A、B两点,求双曲线的另一个焦点的轨迹。
探索思路:这个题如果用求轨迹的一般方法很难做出来,但若根据题中条件,设另一个焦点为F1(x,y)。由双曲线的定义,有
|AC|-|AF1|= -(|BC|-|BF1|),即|BF1|+|AF1|=28。显然这个表达式表示的动点轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以有a=14,c=7。故轨迹为椭圆,其方程■+■=1,这是由条件出乎意料得到的结果,是一种奇异的美。
奇异、突变美是数学美中最丰富、最精彩的片段,在百思不得其解之后,一个巧妙的方法跃然而出,显得奇特、新颖,这就是数学的奇异美。它能使学生感受到创造的喜悦和成功的乐趣,养成科学的态度和顽强的事业心。
(五)残缺美
在我们的教课书中,数学始终在矛盾中发展。数学中的不和谐也“比比皆是”,这构成了数学的残缺美,为丰富数学的内涵,培养学生的数学能力起到了不可磨灭的贡献。在教学平均数、中位数、众数的使用时,有这样一题:某市体委从甲、乙两名运动员中选拔一名运动员参加全运会,每人射击5次,打中的环数为:甲:7环、8环、9环、8环、8环;乙:5环、10环、6环、9环、10环。根据以上数据,你认为选谁参加全运会比较合适?于是同学们对甲乙二人的成绩作了分析:(1)平均数:两人都是8环;(2)中位数:甲是8环,乙是9环;(3)众数:甲是8环,乙是10环。明显从中位数和众数两项指标上看,乙都优于甲,但是市体委领导却选中了甲运动员参加全运会,你认为公平吗?谈谈理由。学生激情高涨,都觉得应由乙参加全运会,因为运动员的成绩主要指标是平均数,在平均数相同的条件下,为什么不让乙运动员去,最后老师提出乙落选的原因是其发挥不稳定。而成绩的稳定性要用另一个量——方差来表示。这时教师并不需急于讲解,而是对学生说在以后的教材中会学习到,这样留下一个不完美的结局,让学生去研讨、解惑,从而激发学生学习的欲望,提高学习的兴趣。
培根说得好:“美在于独特而令人惊异,奇异与和谐是对立的统一。数学中出人意料的反例和巧妙的解题方法都令人叫绝,表现出奇异的美,闪耀着智慧的光芒。”
数学中蕴含的美的因素是深广博大的。数学的美还不止与此,它贯穿于数学的方方面面。它所蕴含的美妙和奇趣,不同于其他的美,它是独特的、内在的,作为数学教师,应从数学中挖掘数学的美学思想,从数学的理论和实践的具体应用中感受它的美之所在,并在教学中用美的思想去影响和感染学生,让学生体会到数学学习中的美,发挥数学学科在学生德育、智育、美育中的教育作用,促进学生思维的全面发展。
参考文献:
[1] 新世纪青少年科普经典《数学之迷》,内蒙古少年儿童出版社
[2] 陈胜利,《一个优美不等式的证明》,《中学数学》
[3] 王春丽,《对称、美丽而又神奇》,《中学数学》