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导体棒问题不仅属电磁学问题，还涉及到力学和热学，往往包含多个知识点的综合应用. 除了必须熟练掌握相关的知识和规律，还要求有较高的分析能力、逻辑推断能力，以及综合运用知识解决问题的能力等.
一、通电导体棒在磁场中的运动
通电导体棒在磁场中，只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断，大小可运用公式[ F=BILsinθ]来计算. 若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段，先求每段所受的力再求它们的矢量和. 由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度，也可以和其它力相平衡，因此通电导体棒问题常常和其它知识进行联合考察，此类问题概括起来一般分为平衡和运动两大类.
例1 如图1所示，在倾角为[θ=30°]的光滑斜面上垂直放置一根长为L，质量为m的通电直导体棒，棒内电流方向垂直纸面向外，电流大小为I，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限定在xOy 面内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度B.
（1）若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止；
（2）若使导体棒在斜面上静止，求磁感应强度[B]的最小值；
（3）试确定能使导体棒在斜面上保持静止的匀强磁场的所有可能方向.
解析 （1）欲使通电导体棒受安培力水平向左，且棒在重力、安培力和斜面的支持力作用下平衡. 即[tan30°=BILmg]，故磁场方向竖直向上，大小为[B=3mgBIL.]
（2）磁感应强度[B]最小时，安培力和重力的一个分力相平衡，满足[mgsin30°=B1IL]，故磁场方向垂直斜面向上，大小为[B1=mg2IL].
（3） 棒在重力、安培力和支持力作用下平衡，欲使导体棒在斜面上保持静止，所施磁场力的方向应使其所受合外力为零，即[B]与[x]轴正方间的夹角为[0°≤α<150°].
例2 电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如图2所示，利用这种装置可以把质量为2.0g的弹体（包括金属杆[EF]的质量）加速到6km/s，若这种装置的轨道宽为2m，长为100m，轨道摩擦不计，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大，磁场力的最大功率是多少？
解析 通电导体棒在磁场中受安培力的作用而对弹体加速，根据功能关系，可得[BILS=12mV2]，又功率满足[P=FV]，当速度最大时其功率也最大，即[Pm=BILVm]，代入数值可得[B=]18T和[Pm]=2.16×106 W.
二、导体棒在磁场中运动产生感应电动势
导体棒在磁场中运动时，通常由于导体棒切割磁感应线而产生一定的感应电动势，如果电路闭合将在该闭合电路中形成一定强度的感应电流，将其它形式的能转化成电能，该过程中产生的感应电动势大小遵循法拉第电磁感应定律[E=BLVsinθ]，方向满足右手定则. 由于导体棒的运动形式不一，此类问题通常分成平动和转动两大类，在平动中还可分为双棒运动和导体棒的渐变运动等情况.
例3 如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为[L]=0.2m，在导轨的一端接有阻值为[R]=0.5Ω的电阻，在[x≥0]处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感应强度为[B]=0.5T. 一质量为[m]=0.1kg的金属直杆垂直放在导轨上，并以[V0]=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一个垂直于杆的水平外力[F]的共同作用下作匀变速运动，加速度大小恒为[a]=2m/s2，方向与初速度方向相反. 设导轨与金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好.
（1）电流为零时金属棒所处的位置；
（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力[F]的大小和方向；
（3）保持其它条件不变， 而初速度[V0]取不同的值 ， 求开始时[F]的方向与初速度[V0]取值的关系.
解析 （1）导体棒在外力作用下切割磁感线，产生电动势[E=BIL]，由闭合电路欧姆定律，有[I=ER]，故当[I=0]时[V=0]，又棒做匀变速直线运动，因此满足[x=V022a]，于是可解得[x=1m].
（2）因棒匀减速运动，故初速度最大，此时电流在最大[Im=BLV0R]，因此安培力为[F安=Im2BL]，代入数据得[F安=0.02N]. 又根据运动的对称性可知，电流为最大值的一半时棒可能向左运动，也有可能向右运动. 当棒向右运动时[F+F安=ma]，得[F=0.18N]，方向与[x]轴相反；当棒向左运动时[F-F安=ma]，得[F=0.22N]，方向与[x]轴相反.
（3）开始时[F安=ImBL=B2L2V0R]，且[F+F安=ma]，故[F=ma-B2L2V0R]. 因此当[V00]方向与[x]轴相反；当[V0>maRB2L2=10m/s]时，[F<0]方向与[x]轴相同；当[V0=maRB2L2=10m/s]时，[F=0].
例4 如图4所示，两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为[L]，磁感应强度为[B]的匀强磁场与框架平面垂直，一质量为[m]阻值为[r]的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个定值电阻[R]，不计导轨电阻，试分析松手后金属棒在磁场中的运动情况.
解析 松手后，金属棒在重力的作用下开始做自由落体运动，而物体一旦运动起来，棒就有切割磁感应线的速度，于是在[U]型框架中将形成逆时针方向的感应电流，此时导体棒又成了一段通电直导线，必然受到一个竖直向上的安培力作用，因此导体棒将在重力和安培力的共同作用下在竖直面内做变加速运动.
设经[t]时间导体棒达到速度[V]，此时导体棒的加速度为[a]，由法拉第电磁感应定律，有[E=BLV]，由闭合电路欧姆定律，有[I=ER+r]，于是导体棒所受的安培力为[F=BIL]，由牛顿第二定律，有[mg-BIL=ma]，联立可得[a=g-B2L2Vm]. 观察[a]随[V]变化的关系式不难发现：导体棒做的是一种加速度逐渐减小的加度运动，当速为0时，棒的加速度达最大值[g]，当棒的加速度为0时，棒有最大速度[Vm=mgB2L2]，整个运动过程中导体棒的[V-t]曲线如图5所示. 例5 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为[l]，导轨上面横放着两根导体棒[ab]和[cd]，构成矩形回路，如图6所示，两根导体棒的质量皆为[m]，电阻皆为[R]，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场， 磁感应强度为[B]. 设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时棒[cd]静止，棒[ab]有指向棒[cd]的初速度[v0]，若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热；
（2）当[ab]棒的速度变为初速度的[34]时，[cd]棒的加速度是多少？
解析 （1）选择两棒作为研究对象，从初始至两棒达到速度相同的过程中，系统不受外力，总动量守恒[mV0=2mV]，而且系统损失的动能全部用于生热，依据能的转化和守恒律，得该过程中产生的总热量[Q=12mV02-12?2m?V2]，即[Q=14mV02].
（2）设[ab]速度[34v0]时，[cd]棒的速度为[v]，则由动量守恒，有[mv0=m?34v0+mv]
此时回路中的感应电动势为[ε=BI（34v0-v）]，感应电流为[I=ε2R]，此时[cd]棒所受的安培力[F=BIL]，于是[cd]棒的加速度为[a=Fm]，联立可得[a=B2L2V04mR].
例6 如图7所示，半径为[L]粗细均匀的金属圆环，其阻值为[R]处在磁感应强度为[B]的匀强磁场中. 另有一长度为[L]，电阻为[R4]的金属棒[OA]可绕[O]轴在磁场中以角速度[ω]逆时针匀速转动. 转动过程中金属棒的[A]端与金属圆环接触良好，一阻值为[R2]的定值电阻分别与杆的[O]端和金属圆环边缘[C]连接. 求电路中总电流的变化范围.
解析 导体棒[OA]在磁场中匀速转动切割磁感线，产生的感应电动势[E=BL?12ω]. 通过金属圆环对外电阻供电，且电流在外电路中顺时针循环.
当棒转到[C]点时，金属圆环被短路，外电阻最小[Rmin=R2]，此时回路中的电流最大；当棒转到[CO]线上时，金属圆环被一分为二，外电阻最大[Rmax=R2+R4]，此时外电路中的电流最小，由闭合电路欧姆定律，可得电路中总电流的变化范围是[BL2ω2R≤I≤2BL2ω3R].
一、通电导体棒在磁场中的运动
通电导体棒在磁场中，只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断，大小可运用公式[ F=BILsinθ]来计算. 若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段，先求每段所受的力再求它们的矢量和. 由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度，也可以和其它力相平衡，因此通电导体棒问题常常和其它知识进行联合考察，此类问题概括起来一般分为平衡和运动两大类.
例1 如图1所示，在倾角为[θ=30°]的光滑斜面上垂直放置一根长为L，质量为m的通电直导体棒，棒内电流方向垂直纸面向外，电流大小为I，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限定在xOy 面内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度B.
（1）若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止；
（2）若使导体棒在斜面上静止，求磁感应强度[B]的最小值；
（3）试确定能使导体棒在斜面上保持静止的匀强磁场的所有可能方向.
解析 （1）欲使通电导体棒受安培力水平向左，且棒在重力、安培力和斜面的支持力作用下平衡. 即[tan30°=BILmg]，故磁场方向竖直向上，大小为[B=3mgBIL.]
（2）磁感应强度[B]最小时，安培力和重力的一个分力相平衡，满足[mgsin30°=B1IL]，故磁场方向垂直斜面向上，大小为[B1=mg2IL].
（3） 棒在重力、安培力和支持力作用下平衡，欲使导体棒在斜面上保持静止，所施磁场力的方向应使其所受合外力为零，即[B]与[x]轴正方间的夹角为[0°≤α<150°].
例2 电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如图2所示，利用这种装置可以把质量为2.0g的弹体（包括金属杆[EF]的质量）加速到6km/s，若这种装置的轨道宽为2m，长为100m，轨道摩擦不计，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大，磁场力的最大功率是多少？
解析 通电导体棒在磁场中受安培力的作用而对弹体加速，根据功能关系，可得[BILS=12mV2]，又功率满足[P=FV]，当速度最大时其功率也最大，即[Pm=BILVm]，代入数值可得[B=]18T和[Pm]=2.16×106 W.
二、导体棒在磁场中运动产生感应电动势
导体棒在磁场中运动时，通常由于导体棒切割磁感应线而产生一定的感应电动势，如果电路闭合将在该闭合电路中形成一定强度的感应电流，将其它形式的能转化成电能，该过程中产生的感应电动势大小遵循法拉第电磁感应定律[E=BLVsinθ]，方向满足右手定则. 由于导体棒的运动形式不一，此类问题通常分成平动和转动两大类，在平动中还可分为双棒运动和导体棒的渐变运动等情况.
例3 如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为[L]=0.2m，在导轨的一端接有阻值为[R]=0.5Ω的电阻，在[x≥0]处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感应强度为[B]=0.5T. 一质量为[m]=0.1kg的金属直杆垂直放在导轨上，并以[V0]=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一个垂直于杆的水平外力[F]的共同作用下作匀变速运动，加速度大小恒为[a]=2m/s2，方向与初速度方向相反. 设导轨与金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好.
（1）电流为零时金属棒所处的位置；
（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力[F]的大小和方向；
（3）保持其它条件不变， 而初速度[V0]取不同的值 ， 求开始时[F]的方向与初速度[V0]取值的关系.
解析 （1）导体棒在外力作用下切割磁感线，产生电动势[E=BIL]，由闭合电路欧姆定律，有[I=ER]，故当[I=0]时[V=0]，又棒做匀变速直线运动，因此满足[x=V022a]，于是可解得[x=1m].
（2）因棒匀减速运动，故初速度最大，此时电流在最大[Im=BLV0R]，因此安培力为[F安=Im2BL]，代入数据得[F安=0.02N]. 又根据运动的对称性可知，电流为最大值的一半时棒可能向左运动，也有可能向右运动. 当棒向右运动时[F+F安=ma]，得[F=0.18N]，方向与[x]轴相反；当棒向左运动时[F-F安=ma]，得[F=0.22N]，方向与[x]轴相反.
（3）开始时[F安=ImBL=B2L2V0R]，且[F+F安=ma]，故[F=ma-B2L2V0R]. 因此当[V0
例4 如图4所示，两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为[L]，磁感应强度为[B]的匀强磁场与框架平面垂直，一质量为[m]阻值为[r]的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个定值电阻[R]，不计导轨电阻，试分析松手后金属棒在磁场中的运动情况.
解析 松手后，金属棒在重力的作用下开始做自由落体运动，而物体一旦运动起来，棒就有切割磁感应线的速度，于是在[U]型框架中将形成逆时针方向的感应电流，此时导体棒又成了一段通电直导线，必然受到一个竖直向上的安培力作用，因此导体棒将在重力和安培力的共同作用下在竖直面内做变加速运动.
设经[t]时间导体棒达到速度[V]，此时导体棒的加速度为[a]，由法拉第电磁感应定律，有[E=BLV]，由闭合电路欧姆定律，有[I=ER+r]，于是导体棒所受的安培力为[F=BIL]，由牛顿第二定律，有[mg-BIL=ma]，联立可得[a=g-B2L2Vm]. 观察[a]随[V]变化的关系式不难发现：导体棒做的是一种加速度逐渐减小的加度运动，当速为0时，棒的加速度达最大值[g]，当棒的加速度为0时，棒有最大速度[Vm=mgB2L2]，整个运动过程中导体棒的[V-t]曲线如图5所示. 例5 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为[l]，导轨上面横放着两根导体棒[ab]和[cd]，构成矩形回路，如图6所示，两根导体棒的质量皆为[m]，电阻皆为[R]，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场， 磁感应强度为[B]. 设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时棒[cd]静止，棒[ab]有指向棒[cd]的初速度[v0]，若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热；
（2）当[ab]棒的速度变为初速度的[34]时，[cd]棒的加速度是多少？
解析 （1）选择两棒作为研究对象，从初始至两棒达到速度相同的过程中，系统不受外力，总动量守恒[mV0=2mV]，而且系统损失的动能全部用于生热，依据能的转化和守恒律，得该过程中产生的总热量[Q=12mV02-12?2m?V2]，即[Q=14mV02].
（2）设[ab]速度[34v0]时，[cd]棒的速度为[v]，则由动量守恒，有[mv0=m?34v0+mv]
此时回路中的感应电动势为[ε=BI（34v0-v）]，感应电流为[I=ε2R]，此时[cd]棒所受的安培力[F=BIL]，于是[cd]棒的加速度为[a=Fm]，联立可得[a=B2L2V04mR].
例6 如图7所示，半径为[L]粗细均匀的金属圆环，其阻值为[R]处在磁感应强度为[B]的匀强磁场中. 另有一长度为[L]，电阻为[R4]的金属棒[OA]可绕[O]轴在磁场中以角速度[ω]逆时针匀速转动. 转动过程中金属棒的[A]端与金属圆环接触良好，一阻值为[R2]的定值电阻分别与杆的[O]端和金属圆环边缘[C]连接. 求电路中总电流的变化范围.
解析 导体棒[OA]在磁场中匀速转动切割磁感线，产生的感应电动势[E=BL?12ω]. 通过金属圆环对外电阻供电，且电流在外电路中顺时针循环.
当棒转到[C]点时，金属圆环被短路，外电阻最小[Rmin=R2]，此时回路中的电流最大；当棒转到[CO]线上时，金属圆环被一分为二，外电阻最大[Rmax=R2+R4]，此时外电路中的电流最小，由闭合电路欧姆定律，可得电路中总电流的变化范围是[BL2ω2R≤I≤2BL2ω3R].