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七年级学生在第五章《相交线与平行线》中经历了推理的初步训练,已感受到推理的重要性与学习推理的必要性,但多种原因交困,大部分学生对推理仍心生畏惧,推理过程的设计、因果关系的把握、条件的使用、条件充分性的斟酌以及推理过程的优化等,困扰着学生,教师也为学生进步缓慢着急.笔者在课堂教学中尝试着利用一些素材进行“说理”的训练,坚持下来收到了好的效果,增强了学生的理性思维,“推理”变得不再难了.
“说”表面上是降低了难度,学生也容易接受,其实,“说”与“写”相辅相成,互为表里,推理的有序、严谨、创新等硬性要求往往使学生望而却步,而口头“说理”有较大的自由度,可重复,可修改,可推倒重来,这样学生心理放松,没有了畏难情绪,成为解决推理问题的突破口.下面结合人教版七年级下册第七章《三角形》中一节课例的教学过程做一展示评析.
1 一画一拼说“定义”,谁更严谨?
师:三角形是一种常见的几何图形,(多媒体展示)如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标志等等,处处都有三角形的形象.既然大家对三角形这么熟悉,现在每人用直尺和铅笔画一个三角形,并告诉大家你是怎么画的?(很快地)
生1:画三条线段,彼此连接起来.
师:若对着图形去说明,即使讲的不清楚,图形的形象也会衬托清楚,若仅凭说明去想象图形,就需要严谨准确了.试着讲得再清楚一些?
生2:标上字母说起来清楚,画线段AB、AC,再连结B、C就得到一个三角形.
师:是清楚多了!标的字母有了指向性,表达起来容易一些!生2讲的可以了吧?
生3:还是不严谨!若如图1那样画,三条线段在[LM]一条直线上,就得不到三角形.
生4:还有一种画法,也得不到三角形,如图2.
师:是这样吗?再修改一下说法!
众生:加一个前提“不在同一直线上的三条线段”.
师:很好!下面用事先准备的三根小木棒拼一个三角形,并把拼法讲一讲.
生5:(抢先)与画三角形一样,将三根木棒连接起来.
生6:这说法不准确,容易误认为图3的图形,应说成“三根木棒首尾顺次相接”,如图4.
生7:一条线段有“首”、“尾”吗?
生8:怎么没有?你可以规定线段的一个端点为“首”,那另一端点就是“尾”.
师:这样可以,那我们根据刚才的操作为三角形下一个定义吧!
生9:由三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
生10插言:还有首尾相接得不到三角形的,就是三条线段在一条直线上时,刚才画三角形总结的!
几生站起来:我们这三根木棒首尾不能相接,有一根太长了.
众生:二个要点:三条线段首尾能顺次相接;不在一条直线上.
师:试着重新说出三角形定义.
生11:由三条线段首尾顺次相接,若不在一条直线上,则构成三角形.
生12:或者说成“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.”
评析[HTK] 一画一拼,得出三角形的定义,看似简单的图形,交由低年级学生下定义却不容乐观,有的抓不住要点,有的顾此失彼,还有的表达不精炼,严谨是推理的第一大要素,讲的严谨,表明学生对三角形的本质特征有了深刻的认识,而做好图形语言与文字语言的这种“互译”是良好推理的开端.在说“定义”中,各种说法一一亮相,学生会在对比中引发认知冲突,并不断地优化自己的想法.一画一拼,很多人看来,重复多余,其实不然,“画”后表达三角形定义,其中的不严谨可通过木棒的“拼”举出反例,这对初学推理的学生来说,会多一份感知,多一次诠释问题的机会.
2 选择路线说“性质”,谈“果”论“因”?
探究:任意画一个△ABC(图5),假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么?
生13:有两条路线:(1)从B→C,(2)从B→A→C;路线长不一样,AB+AC>BC①.
师:为什么AB+AC>BC?
众生:这不很明显吗?
师:“很明显”是数学根据吗?
生14:我知道根据,是“两点之间线段最短”.(其他生也恍然大悟,随声附和)
师:那在△ABC中还能得到哪些不等式呢?
生15∶AC+BC>AB,②
AB+BC>AC,③
师:在△ABC中,由式子①②③我们能否概括成一句话呢?
众生:三角形两边的和大于第三边.
生16:我觉得应该加上“任意”两个字,三角形任意两边的和大于第三边,以强调包含三个不等式.
生17:这样好一点!可避免应用时只考虑一个不等式的情况.
师:解题时只考虑一个不等式不行么?看一组练习.
练习1 有三根木棒长分别为3cm、6cm和4cm,用这些木棒能否围成一个三角形?为什么?
生18:能,因为3+4>6.
师:这样答可以吗?
生19:还应该验证另两个不等式是否成立.就是“6+4>3,3+6>4”.
几声插话:不需要,3+4>6成立,其余两个一定成立.
师:若真是这样,应用该定理去判断就简单多了.(生答:是这样)那好,做一总结.
师生共同概括得出:若两条较短线段长的和大于最长的线段,那这三条线段能组成三角形.
练习2 用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗?为什么?
学生思考、分析.
生20:(1)小题用算术法或方程去做均可,(2)小题因为4cm的边长没指明是腰长还是底边,应该按两种情况讨论.
生21:最后应只有一种情况,因为当腰长是4cm时,三边长分别是4cm,4cm,10cm,围不成三角形.
师:确实得不到三角形,那根据是什么?
众生:三角形任意两边的和大于第三边.
师:很好!现在大家再酝酿整理一下,完整的讲出来.
解:(1)设底边长为xcm,则腰长2xcm.
x+2x+2x=18,
解得x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.
(2)因为长4cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.
如果4cm长的边为底边,设腰长为xcm,则
4+2x=18,
解得x=7.
如果长4cm的边为腰,设底边长为xcm,则
2×4+x=18,
解得x=10.
因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上可知,可以围成边长是4cm的等腰三角形.
评析[HTK] 练习1的设置是为了让学生明白,“三角形两边的和大于第三边”可以用来判断三条线段能否组成三角形.在解答时,学生有时会只因为5+9>3错解为能够组成三角形,忽略了这三个长度,只有在任意两个长度之和都比第三个大时,才能够组成三角形.为了使判断方法简便一些,教师利用个别学生的想法将成果扩大,得到只要检查较小的两边的和是否大于第三边就可以了.练习2中学生注意到“有一边的长是4cm”并没有指明这一边是腰还是底,所以要分情况考虑,同时验证所求出的三个长度要能够组成三角形.在你来我往的讨论“说理”中,推理的切入点、推理的走向以及推理链条的有序、衔接等问题暴露在大家面前,带给学生深刻的体验.
3 不同标准说“分类”,不重不漏?
师:三角形的形状多种多样,为了研究方便,需要将三角形进行分类,同学们试着确定一个标准,将三角形分开.
生22:若从边上考虑,按“有几条边相等”来分类.
师:请大家按“有几条边相等”将三角形分类.
生23:三边都相等的三角形;有两条边相等的三角形;三边都不相等的三角形.
师:小学学过,同学们应该知道它们叫什么名字吧?
生24:三边都相等的三角形叫等边三角形;有两条边相等的三角形叫等腰三角形;三边都不相等的三角形叫不等边三角形.
师:同学们再思考一遍这种分法,看有没有疑问?
生25:我觉得“有两边相等”与“三边都相等”是包含关系,不是两类.
(一石激起千层浪,大部分学生认为“有两边相等”与“三边都相等”有联系.)
生25:(看有争议)我举个例子,甲、乙、丙三人中,甲没带钱,乙只有10元钱,丙有20元钱.你如果说“将有10元钱的分成一组”,是单指乙呢,还是指乙、丙两人呢?丙有20元,一定有10元,显然指乙、丙两人,因此上述说法不准确,若改为“只有两条边相等的三角形”就没有争议了.
师:大家以为呢?
生26:是这么回事!这时“等腰三角形”与“等边三角形”是独立的两类.
师:说起分类,标准可以很多,还有别的分类方法吗?
生27:按“是否有边相等”分成两类:不等边三角形与等腰三角形;不等边三角形指三边中没有相等的,等腰三角形指三边中有边相等.
师:等腰三角形能否再细分呢?
生28:能!等腰三角形中既然有边相等,至少有两边相等,相等的两边称为腰,以“底边是否与腰相等”为标准又分为两类:底边与腰不相等的等腰三角形,底边与腰相等的等腰三角形,也就是等边三角形.
师:同学们认可吗?(异口同声:认可)按这种分法,显然,等边三角形是特殊的等腰三角形.让我们一同画出分类图:
生29:我定一标准,依据周长与10cm的关系分成三类:周长等于10cm的三角形、周长小于10cm的三角形、周长大于10cm的三角形.
生30:我依据周长与10cm的关系分成二类:周长等于10cm的三角形与周长不等于10cm的三角形.
师:非常好!看来大家对不重不漏的分类原则已熟悉.(看同学们意犹未尽)索性倡议“七嘴八舌说分类”.
众生:(兴趣盎然地)以有没有60°的内角为标准将三角形分成两类;以三角形的高有没有在三角形外部为标准将三角形分成两类;以三角形是不是轴对称图形为标准将三角形分成两类;……
师:标准可以定出很多,分类也多种多样,可哪些标准是有价值的呢?哪些分类对解决问题有帮助呢?值得每一位同学深入思考.
评析[HTK] 对事物进行分类也是推理的内容,关于三角形的分类,教师的引导及对学生交流的点评,提高了学生对分类思想的认识,只要学生分得合理就给予肯定的做法,激起了学生分类的热情.当学生在定出各种标准进行分类时,出现的标准是否合理,分类中“重”、“漏”等问题,也依靠集体的力量得到了有效地纠正.
评价与反思(1)要有足够的耐心,将“说理”进行到底
在课堂教学中,叙理由、谈思路、论问题、讲道理,“说”占主导,“说理”的示范作用,可树立正确的导向,激励他人,培育理性精神,但推理能力的培养,不是一朝一夕之功,首先是教师,要利用丰富的教学素材,多创造机会进行“说理”的训练,其次是教师对学生持之以恒的要求,将“说理”活动渗透到学习的各个环节中去,并要长期坚持,相信有优秀生的示范引导,有课堂氛围的烘托,加之教师的有效点拨,学生的推理能力定会有一个较大的进步.
(2)“说理”能力的增强,还得益于科学的教学设计
“说理”是“写理”的雏形,“说理”活动在提升数学素养方面起到推波助澜的作用,而科学的教学设计又为“说理”活动插上双翅.本节内容是学生对三角形的部分知识已然了解的基础上,对三角形进行的更深入的研究,在教学设计上,关注学生自主学习、独立思考习惯的养成,并让学生懂得求助,讲究交流合作,使学生在亲身经历整个探究过程后,达到更深入的理解,在获得数学活动经验的同时,提高了探究、发现和创新的能力.可以发现,“说理”是独立思考后的“说理”,带有鲜明的个人色彩,同时“说理”又是交流提高的“说理”,学生最后拥有的是集体智慧的结晶.
作者简介 孙长智,男,1972年生,中学教师,滨州市学科带头人、教学能手,滨州市数学会常务理事,热心课堂教学及中考试题研究,主持和参与多项省市级规划课题研究,现有50余篇数学论文在各类学术期刊上发表.
“说”表面上是降低了难度,学生也容易接受,其实,“说”与“写”相辅相成,互为表里,推理的有序、严谨、创新等硬性要求往往使学生望而却步,而口头“说理”有较大的自由度,可重复,可修改,可推倒重来,这样学生心理放松,没有了畏难情绪,成为解决推理问题的突破口.下面结合人教版七年级下册第七章《三角形》中一节课例的教学过程做一展示评析.
1 一画一拼说“定义”,谁更严谨?
师:三角形是一种常见的几何图形,(多媒体展示)如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标志等等,处处都有三角形的形象.既然大家对三角形这么熟悉,现在每人用直尺和铅笔画一个三角形,并告诉大家你是怎么画的?(很快地)
生1:画三条线段,彼此连接起来.
师:若对着图形去说明,即使讲的不清楚,图形的形象也会衬托清楚,若仅凭说明去想象图形,就需要严谨准确了.试着讲得再清楚一些?
生2:标上字母说起来清楚,画线段AB、AC,再连结B、C就得到一个三角形.
师:是清楚多了!标的字母有了指向性,表达起来容易一些!生2讲的可以了吧?
生3:还是不严谨!若如图1那样画,三条线段在[LM]一条直线上,就得不到三角形.
生4:还有一种画法,也得不到三角形,如图2.
师:是这样吗?再修改一下说法!
众生:加一个前提“不在同一直线上的三条线段”.
师:很好!下面用事先准备的三根小木棒拼一个三角形,并把拼法讲一讲.
生5:(抢先)与画三角形一样,将三根木棒连接起来.
生6:这说法不准确,容易误认为图3的图形,应说成“三根木棒首尾顺次相接”,如图4.
生7:一条线段有“首”、“尾”吗?
生8:怎么没有?你可以规定线段的一个端点为“首”,那另一端点就是“尾”.
师:这样可以,那我们根据刚才的操作为三角形下一个定义吧!
生9:由三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
生10插言:还有首尾相接得不到三角形的,就是三条线段在一条直线上时,刚才画三角形总结的!
几生站起来:我们这三根木棒首尾不能相接,有一根太长了.
众生:二个要点:三条线段首尾能顺次相接;不在一条直线上.
师:试着重新说出三角形定义.
生11:由三条线段首尾顺次相接,若不在一条直线上,则构成三角形.
生12:或者说成“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.”
评析[HTK] 一画一拼,得出三角形的定义,看似简单的图形,交由低年级学生下定义却不容乐观,有的抓不住要点,有的顾此失彼,还有的表达不精炼,严谨是推理的第一大要素,讲的严谨,表明学生对三角形的本质特征有了深刻的认识,而做好图形语言与文字语言的这种“互译”是良好推理的开端.在说“定义”中,各种说法一一亮相,学生会在对比中引发认知冲突,并不断地优化自己的想法.一画一拼,很多人看来,重复多余,其实不然,“画”后表达三角形定义,其中的不严谨可通过木棒的“拼”举出反例,这对初学推理的学生来说,会多一份感知,多一次诠释问题的机会.
2 选择路线说“性质”,谈“果”论“因”?
探究:任意画一个△ABC(图5),假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么?
生13:有两条路线:(1)从B→C,(2)从B→A→C;路线长不一样,AB+AC>BC①.
师:为什么AB+AC>BC?
众生:这不很明显吗?
师:“很明显”是数学根据吗?
生14:我知道根据,是“两点之间线段最短”.(其他生也恍然大悟,随声附和)
师:那在△ABC中还能得到哪些不等式呢?
生15∶AC+BC>AB,②
AB+BC>AC,③
师:在△ABC中,由式子①②③我们能否概括成一句话呢?
众生:三角形两边的和大于第三边.
生16:我觉得应该加上“任意”两个字,三角形任意两边的和大于第三边,以强调包含三个不等式.
生17:这样好一点!可避免应用时只考虑一个不等式的情况.
师:解题时只考虑一个不等式不行么?看一组练习.
练习1 有三根木棒长分别为3cm、6cm和4cm,用这些木棒能否围成一个三角形?为什么?
生18:能,因为3+4>6.
师:这样答可以吗?
生19:还应该验证另两个不等式是否成立.就是“6+4>3,3+6>4”.
几声插话:不需要,3+4>6成立,其余两个一定成立.
师:若真是这样,应用该定理去判断就简单多了.(生答:是这样)那好,做一总结.
师生共同概括得出:若两条较短线段长的和大于最长的线段,那这三条线段能组成三角形.
练习2 用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗?为什么?
学生思考、分析.
生20:(1)小题用算术法或方程去做均可,(2)小题因为4cm的边长没指明是腰长还是底边,应该按两种情况讨论.
生21:最后应只有一种情况,因为当腰长是4cm时,三边长分别是4cm,4cm,10cm,围不成三角形.
师:确实得不到三角形,那根据是什么?
众生:三角形任意两边的和大于第三边.
师:很好!现在大家再酝酿整理一下,完整的讲出来.
解:(1)设底边长为xcm,则腰长2xcm.
x+2x+2x=18,
解得x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.
(2)因为长4cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.
如果4cm长的边为底边,设腰长为xcm,则
4+2x=18,
解得x=7.
如果长4cm的边为腰,设底边长为xcm,则
2×4+x=18,
解得x=10.
因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上可知,可以围成边长是4cm的等腰三角形.
评析[HTK] 练习1的设置是为了让学生明白,“三角形两边的和大于第三边”可以用来判断三条线段能否组成三角形.在解答时,学生有时会只因为5+9>3错解为能够组成三角形,忽略了这三个长度,只有在任意两个长度之和都比第三个大时,才能够组成三角形.为了使判断方法简便一些,教师利用个别学生的想法将成果扩大,得到只要检查较小的两边的和是否大于第三边就可以了.练习2中学生注意到“有一边的长是4cm”并没有指明这一边是腰还是底,所以要分情况考虑,同时验证所求出的三个长度要能够组成三角形.在你来我往的讨论“说理”中,推理的切入点、推理的走向以及推理链条的有序、衔接等问题暴露在大家面前,带给学生深刻的体验.
3 不同标准说“分类”,不重不漏?
师:三角形的形状多种多样,为了研究方便,需要将三角形进行分类,同学们试着确定一个标准,将三角形分开.
生22:若从边上考虑,按“有几条边相等”来分类.
师:请大家按“有几条边相等”将三角形分类.
生23:三边都相等的三角形;有两条边相等的三角形;三边都不相等的三角形.
师:小学学过,同学们应该知道它们叫什么名字吧?
生24:三边都相等的三角形叫等边三角形;有两条边相等的三角形叫等腰三角形;三边都不相等的三角形叫不等边三角形.
师:同学们再思考一遍这种分法,看有没有疑问?
生25:我觉得“有两边相等”与“三边都相等”是包含关系,不是两类.
(一石激起千层浪,大部分学生认为“有两边相等”与“三边都相等”有联系.)
生25:(看有争议)我举个例子,甲、乙、丙三人中,甲没带钱,乙只有10元钱,丙有20元钱.你如果说“将有10元钱的分成一组”,是单指乙呢,还是指乙、丙两人呢?丙有20元,一定有10元,显然指乙、丙两人,因此上述说法不准确,若改为“只有两条边相等的三角形”就没有争议了.
师:大家以为呢?
生26:是这么回事!这时“等腰三角形”与“等边三角形”是独立的两类.
师:说起分类,标准可以很多,还有别的分类方法吗?
生27:按“是否有边相等”分成两类:不等边三角形与等腰三角形;不等边三角形指三边中没有相等的,等腰三角形指三边中有边相等.
师:等腰三角形能否再细分呢?
生28:能!等腰三角形中既然有边相等,至少有两边相等,相等的两边称为腰,以“底边是否与腰相等”为标准又分为两类:底边与腰不相等的等腰三角形,底边与腰相等的等腰三角形,也就是等边三角形.
师:同学们认可吗?(异口同声:认可)按这种分法,显然,等边三角形是特殊的等腰三角形.让我们一同画出分类图:
生29:我定一标准,依据周长与10cm的关系分成三类:周长等于10cm的三角形、周长小于10cm的三角形、周长大于10cm的三角形.
生30:我依据周长与10cm的关系分成二类:周长等于10cm的三角形与周长不等于10cm的三角形.
师:非常好!看来大家对不重不漏的分类原则已熟悉.(看同学们意犹未尽)索性倡议“七嘴八舌说分类”.
众生:(兴趣盎然地)以有没有60°的内角为标准将三角形分成两类;以三角形的高有没有在三角形外部为标准将三角形分成两类;以三角形是不是轴对称图形为标准将三角形分成两类;……
师:标准可以定出很多,分类也多种多样,可哪些标准是有价值的呢?哪些分类对解决问题有帮助呢?值得每一位同学深入思考.
评析[HTK] 对事物进行分类也是推理的内容,关于三角形的分类,教师的引导及对学生交流的点评,提高了学生对分类思想的认识,只要学生分得合理就给予肯定的做法,激起了学生分类的热情.当学生在定出各种标准进行分类时,出现的标准是否合理,分类中“重”、“漏”等问题,也依靠集体的力量得到了有效地纠正.
评价与反思(1)要有足够的耐心,将“说理”进行到底
在课堂教学中,叙理由、谈思路、论问题、讲道理,“说”占主导,“说理”的示范作用,可树立正确的导向,激励他人,培育理性精神,但推理能力的培养,不是一朝一夕之功,首先是教师,要利用丰富的教学素材,多创造机会进行“说理”的训练,其次是教师对学生持之以恒的要求,将“说理”活动渗透到学习的各个环节中去,并要长期坚持,相信有优秀生的示范引导,有课堂氛围的烘托,加之教师的有效点拨,学生的推理能力定会有一个较大的进步.
(2)“说理”能力的增强,还得益于科学的教学设计
“说理”是“写理”的雏形,“说理”活动在提升数学素养方面起到推波助澜的作用,而科学的教学设计又为“说理”活动插上双翅.本节内容是学生对三角形的部分知识已然了解的基础上,对三角形进行的更深入的研究,在教学设计上,关注学生自主学习、独立思考习惯的养成,并让学生懂得求助,讲究交流合作,使学生在亲身经历整个探究过程后,达到更深入的理解,在获得数学活动经验的同时,提高了探究、发现和创新的能力.可以发现,“说理”是独立思考后的“说理”,带有鲜明的个人色彩,同时“说理”又是交流提高的“说理”,学生最后拥有的是集体智慧的结晶.
作者简介 孙长智,男,1972年生,中学教师,滨州市学科带头人、教学能手,滨州市数学会常务理事,热心课堂教学及中考试题研究,主持和参与多项省市级规划课题研究,现有50余篇数学论文在各类学术期刊上发表.