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摘 要：鉴于现在初中学生难于合理运用乘法公式对一些较复杂的求值题进行求解，我用平方差公式、完全平方公式及非负数的性质轻松解决了几道典型例题，学生在做的过程中感受并获取了解题思路，学习效果非常好，积极性也大大的提高了，充分反映我们在平时需要整合积累相关知识并学会综合运用。
关键词：平方差公式；完全平方公式；配方；非负数性质；最值
1. 教学目标：利用完全平方公式，及非负数的性质，求一些代数式值的问题、最值问题及恒等式证明问题。
2. 教学重点：熟练掌握完全平方公式的结构，构造完全平方式解决相关问题。
3. 教学难点：根据已给式子的结构配成完全平方式。
4. 教学过程（案例内容）
一、 复习引入
1. 复习提问完全平方公式及a2±2ab+b2=（a±b） 2
公式结构分析：左边三项各项都是二次式，右边是二项式的平方，
在左边中ab项的符号与右边第二项符号相同。
2. 填空①a2+4a+ =（a+2）2， ②9x2+1+ =（3x+1）2
二、 新课讲解
1. 用配方及非负数的性质求值问题
例1 已知x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y的值。
考点：配方法、非负数、求代数式值。
分析：本题是通过配完全平方及非负数的性质求代数式值的问题，常用的非负数有：①实数的绝对值；②偶次幂；③算术平方根。
解：∵x2+y2+4x-2y+5=0
∴（x+2）2+（y-1）2=0
又∵（x+2）2≥0，（y-1）2≥0
∴x+2=0，y-1=0
∴x=-2，y=1
∴x+y=-2+1=-1
變式练习
（1）已知x2+y2-6x-2y+10=0，求1x+1y的值。
（2）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求x+y+z的值。
例2 若（a+3b+4）2=14（a2+b2+4），求a+b的值。
考点：配方法、非负数、代数式。
分析：（1）配方时注意构造两个平方项和一个乘积项，平方项如果拆开要拆成几个平方数；
（2）利用非负数的性质求得a、b的值；
（3）求出代数式a+b的值。
解：∵（a+3b+4）2=14（a2+b2+4）
∴13a2+5b2-6ab-8a-24b+40=0
∴（2a-2）2+（2b-6）2+（3a-b）2=0
∴a=1，b=3
∴a+b=1+3=4
2. 最值问题
例3 （1）当x= 时，代数式x2+4取得最 值，是 。
（2）当x= 时，代数式-（x-3）2+4取得最 值，是 。
（3）当x= 时，代数式x2-4x-3取得最 值，是 。
（4）当x= 时，代数式-2x2-4x-3取得最 值，是 。
考点：配方，二次项系数为正，代数式有最小值；二次项系数为负，代数式有最大值。
分析：这些代数式都是关于x的二次式，同学们想想有最大值还是最小值是受什么影响？当二项式系数为正时有最小值，当二次项系数为负时有最大值。虽然我们以后学习二次函数的时候将对开口方向、对称轴、最值等进行更系统的学习，但它配方的依据就是我们所学的完全平方公式。
3. 用配方证明恒等式问题
例4 如果3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，求证：a=b=c。
考点：完全平方公式、配方、非负数性质。
分析：证明的关键是把从条件到结论的推导过程呈现出来，首先直接展开化解，然后根据式子结构配成完全平方公式，第三步借助非负数的性质得到相等的结论。
证明：∵3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2
∴3a2+3b2+3c2=（a+b）2+2（a+b）·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
∴a=b=c
例5 已知a4+b4+c4+d4=4abcd且a，b，c，d∈N。求证：a=b=c=d。
考点：配方（式子形式复杂），非负数性质。
分析：先将已知等式变式使其构成完全平方式，再利用非负数性质和条件即可得到证明。
证明：∵a4+b4+c4+d4-4abcd=0
∴（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0
∴（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0
∴a2=b2，c2=d2，ab=cd
∵a，b，c，d∈N
∴a=b，c=d，b=c
∴a=b=c=d
三、 课后练习
1. 若a2b2-4ab+a2-2a+5=0，则a= ，b= 。
2. 若∣a-1∣2+（ab-2）2=0，则2017a-12b= 。
3. 若a+10=b+9=c+8，则2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac= 。
4. 已知|ab-2|+（a-2）2=0，求1ab+1（a+1）（b+1）+1（a+2）（b+2）+…+1（a+2010）（b+2010）的值。
5. 试说明不论a，b为什么数，a2+b2-2a-4b+6的值总是正数。
四、 小结
本节课我们主要学习了乘法公式的三个方面的应用。
（1） 利用配方和非负数的性质求代数式的值的问题。重点掌握利用完全平方式的结构配出平方。
（2） 用配方法求代数式的最值问题。
（3） 借助完全平方公式来证明整式中的恒等式问题。
五、 案例分析与反思教学设想
本节课是在学习了平方差公式和完全平方公式的基础上，研究其在代数式求值、求最值及证明问题上的应用，想通过经历完全平方式的配方过程来培养学生研究问题和探索规律的能力，并使其达到举一反三的学习效果。本节课的学习重点是利用完全平方公式的结构进行配方来解决问题。
本节课由复习练习题入手，设置疑问，让学生在复习中回顾平方差公式和完全平方公式的应用。通过例1和例2两个求代数式的值的题目，让学生掌握配方的基本特点、基本技巧和步骤。通过例3的学习让学生知道关于二次三项式的最值问题是可以通过配方来解决的。最后两个证明题既能让学生了解证明的思路与步骤，也能在思维上要求学生灵活运用公式进行变形与转化。
教后反思
在课堂上学生还是很积极活跃的，但在后继学习中暴露出的一些问题还是值得我去反思和改进的。
1. 学生对知识的自主建构与交流探究还有待提高，这节课主要还是以老师的教授为主，让学生自主思考和构建知识体系方面时间偏少，还需加强。
2. 学生虽能很好地掌握本节课学习的解题方法，但那只是在这个特定的题型里。一旦把这类问题与其他问题目混合在一题时，我们的同学就不知道用这节课所学的方法来解决问题了，这说明学生对用配方法解决综合问题的能力还不够，还需加强练习。
3. 为提高课堂教学的有效性，我还需提高学生的参与度，让学生成为课堂的主人，教师扮演活动的参与者、合作者。让学生从认识事物的特征和规律出发，逐步设置问题，分析问题和解决问题。
作者简介：
李丹，江苏省南京市浦口区第三中学。
关键词：平方差公式；完全平方公式；配方；非负数性质；最值
1. 教学目标：利用完全平方公式，及非负数的性质，求一些代数式值的问题、最值问题及恒等式证明问题。
2. 教学重点：熟练掌握完全平方公式的结构，构造完全平方式解决相关问题。
3. 教学难点：根据已给式子的结构配成完全平方式。
4. 教学过程（案例内容）
一、 复习引入
1. 复习提问完全平方公式及a2±2ab+b2=（a±b） 2
公式结构分析：左边三项各项都是二次式，右边是二项式的平方，
在左边中ab项的符号与右边第二项符号相同。
2. 填空①a2+4a+ =（a+2）2， ②9x2+1+ =（3x+1）2
二、 新课讲解
1. 用配方及非负数的性质求值问题
例1 已知x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y的值。
考点：配方法、非负数、求代数式值。
分析：本题是通过配完全平方及非负数的性质求代数式值的问题，常用的非负数有：①实数的绝对值；②偶次幂；③算术平方根。
解：∵x2+y2+4x-2y+5=0
∴（x+2）2+（y-1）2=0
又∵（x+2）2≥0，（y-1）2≥0
∴x+2=0，y-1=0
∴x=-2，y=1
∴x+y=-2+1=-1
變式练习
（1）已知x2+y2-6x-2y+10=0，求1x+1y的值。
（2）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求x+y+z的值。
例2 若（a+3b+4）2=14（a2+b2+4），求a+b的值。
考点：配方法、非负数、代数式。
分析：（1）配方时注意构造两个平方项和一个乘积项，平方项如果拆开要拆成几个平方数；
（2）利用非负数的性质求得a、b的值；
（3）求出代数式a+b的值。
解：∵（a+3b+4）2=14（a2+b2+4）
∴13a2+5b2-6ab-8a-24b+40=0
∴（2a-2）2+（2b-6）2+（3a-b）2=0
∴a=1，b=3
∴a+b=1+3=4
2. 最值问题
例3 （1）当x= 时，代数式x2+4取得最 值，是 。
（2）当x= 时，代数式-（x-3）2+4取得最 值，是 。
（3）当x= 时，代数式x2-4x-3取得最 值，是 。
（4）当x= 时，代数式-2x2-4x-3取得最 值，是 。
考点：配方，二次项系数为正，代数式有最小值；二次项系数为负，代数式有最大值。
分析：这些代数式都是关于x的二次式，同学们想想有最大值还是最小值是受什么影响？当二项式系数为正时有最小值，当二次项系数为负时有最大值。虽然我们以后学习二次函数的时候将对开口方向、对称轴、最值等进行更系统的学习，但它配方的依据就是我们所学的完全平方公式。
3. 用配方证明恒等式问题
例4 如果3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，求证：a=b=c。
考点：完全平方公式、配方、非负数性质。
分析：证明的关键是把从条件到结论的推导过程呈现出来，首先直接展开化解，然后根据式子结构配成完全平方公式，第三步借助非负数的性质得到相等的结论。
证明：∵3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2
∴3a2+3b2+3c2=（a+b）2+2（a+b）·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
∴a=b=c
例5 已知a4+b4+c4+d4=4abcd且a，b，c，d∈N。求证：a=b=c=d。
考点：配方（式子形式复杂），非负数性质。
分析：先将已知等式变式使其构成完全平方式，再利用非负数性质和条件即可得到证明。
证明：∵a4+b4+c4+d4-4abcd=0
∴（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0
∴（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0
∴a2=b2，c2=d2，ab=cd
∵a，b，c，d∈N
∴a=b，c=d，b=c
∴a=b=c=d
三、 课后练习
1. 若a2b2-4ab+a2-2a+5=0，则a= ，b= 。
2. 若∣a-1∣2+（ab-2）2=0，则2017a-12b= 。
3. 若a+10=b+9=c+8，则2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac= 。
4. 已知|ab-2|+（a-2）2=0，求1ab+1（a+1）（b+1）+1（a+2）（b+2）+…+1（a+2010）（b+2010）的值。
5. 试说明不论a，b为什么数，a2+b2-2a-4b+6的值总是正数。
四、 小结
本节课我们主要学习了乘法公式的三个方面的应用。
（1） 利用配方和非负数的性质求代数式的值的问题。重点掌握利用完全平方式的结构配出平方。
（2） 用配方法求代数式的最值问题。
（3） 借助完全平方公式来证明整式中的恒等式问题。
五、 案例分析与反思教学设想
本节课是在学习了平方差公式和完全平方公式的基础上，研究其在代数式求值、求最值及证明问题上的应用，想通过经历完全平方式的配方过程来培养学生研究问题和探索规律的能力，并使其达到举一反三的学习效果。本节课的学习重点是利用完全平方公式的结构进行配方来解决问题。
本节课由复习练习题入手，设置疑问，让学生在复习中回顾平方差公式和完全平方公式的应用。通过例1和例2两个求代数式的值的题目，让学生掌握配方的基本特点、基本技巧和步骤。通过例3的学习让学生知道关于二次三项式的最值问题是可以通过配方来解决的。最后两个证明题既能让学生了解证明的思路与步骤，也能在思维上要求学生灵活运用公式进行变形与转化。
教后反思
在课堂上学生还是很积极活跃的，但在后继学习中暴露出的一些问题还是值得我去反思和改进的。
1. 学生对知识的自主建构与交流探究还有待提高，这节课主要还是以老师的教授为主，让学生自主思考和构建知识体系方面时间偏少，还需加强。
2. 学生虽能很好地掌握本节课学习的解题方法，但那只是在这个特定的题型里。一旦把这类问题与其他问题目混合在一题时，我们的同学就不知道用这节课所学的方法来解决问题了，这说明学生对用配方法解决综合问题的能力还不够，还需加强练习。
3. 为提高课堂教学的有效性，我还需提高学生的参与度，让学生成为课堂的主人，教师扮演活动的参与者、合作者。让学生从认识事物的特征和规律出发，逐步设置问题，分析问题和解决问题。
作者简介：
李丹，江苏省南京市浦口区第三中学。