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摘 要：在解有关向量运算问题时，大部分学生会选择利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理进行求解。笔者认为只要适当建立直角坐标系，用坐标表示向量，将向量运算转化为向量的坐标运算，把向量问题转化为代数问题进行求解，可以使图形中复杂的几何关系变得简单、明朗化，减少推理过程，有效地降低了思维量，起到事半功倍的效果。
关键词：建系法；向量问题；转化思想；代数问题
平面向量是高考考查的热点，每年高考基本上以1个小题来考查向量知识，若考查有关向量运算，解这类题一般有两种解法。解法（一）利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理进行求解，解法（二）建立平面直角坐标系，将向量坐标化，运用向量坐标运算法则进行求解。大部分学生采用解法（一）居多，整个解题的过程较复杂，对学生掌握向量知识的娴熟度要求较高，相当一部分学生解到最后却无功而返。而解法（二）避开了向量的几何意义，减少推理过程，将向量运算转化为向量的坐标运算，把向量问题转化为代数问题进行求解，此解法思路条理清晰，学生用起来得心应手，解题的准确率大大提高。
下面笔者将有关向量运算问题分为三种类型进行讲解，利用建系法巧妙快捷地解决各种有关向量运算题。
一、 在特殊图形中建立直角坐标系，解向量问题
解这类向量题，可根据题目已知条件的正方形、矩形、正三角形或已知角的特殊性，以特殊角的顶点为原点，适当建立直角坐标系，表示各顶点坐标，进而表示各向量坐标，利用向量坐标运算转化为代数问题来求解。
例1 在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC=λAM μBN，则λ-3μ= 。
解：如图建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），M（1，12），N（12，1），
∴AC=（1，1），AM=（1，12），BN=（-12，1），
∵AC=λAM μBN，∴（1，1）=λ（1，12） μ（-12，1）=（λ-12μ，12λ μ），
∴λ-12μ=1
12λ μ=1，解得λ=65
μ=25，∴λ-3μ=65-3×25=0.
例2 （2017天津理）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，若BD=2DC，AE=λAC-AB（λ∈R），且AD·AE=-4，则λ的值为 。
解：如图建立直角坐标系，可得A（0，0），C（2，0），设B（x1，y1），D（x2，y2）
∴x1=3cos60°=32，y1=3sin60°=332，∴B（32，332），
∵BD=2DC，∴（x2，y2）-（32，332）=2[（2，0）-（x2，y2）]，∴（x2，y2）=（116，32），即D（116，32），∴AD=（116，32），
∵AE=λAC-AB，∴AE=λ（2，0）-（32，332）=（2λ-32，-332），
∴AD·AE=116（2λ-32）-332×32=-4，解得λ=311.
例3 （2017江苏卷）如图，在同一平面内，向量OA、OB、OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°，若OC=mOA nOB（m，n∈R），则m n= 。
解：如图建立直角坐标系，可得O（0，0），A（1，0），设C（x1，y1），B（x2，y2），OB与x轴负半轴夹角为β由tanα=7，得cosα=210，sinα=7210，
∴x1=2cosα=15，y1=2sinα=75，∴C（15，75），
∵β α 45°=180°，∴tanβ=-tan（α 45°）=-tanα tan45°1-tanαtan45°=43.
∴cosβ=35，sinβ=45，∴x2=-1·cosβ=-35，y2=1·sinβ=45，得B（-35，45），
∵OC=mOA nOB，∴（15，75）=m（1，0） n（-35，45）=（m-35n，45n），
∴m-35n=15
45n=75，解得m=54
n=74，∴m n=54 74=3.
二、 將一般图形特殊化，建立直角坐标系，解向量问题
解这类向量题，可将题目已知条件中的一般四边形、三角形进行特殊化为正方形、正三角形来处理，再建立直角坐标系，这样有利于表示各顶点坐标，进而运用向量坐标运算进行求解。
例4 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC=a→，BD=b→，则AF等于（ ）
A. 14a→ 12b→
B. 23a→ 13b→
C. 12a→ 14b→
D. 13a→ 23b→
解：将平行四边形ABCD特殊化为边长为1的正方形，如图建立直角坐标系，可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），O（12，12），E（14，34），
设F（x，1），∴AE=（14，34），AF=（x，1），
∵AE∥AF， ∴34x-14=0，得x=13，∴F（13，1），
设AF=λAC μBD，∴（13，1）=λ（1，1） μ（-1，1）=（λ-μ，λ μ），
∴λ-μ=13
λ μ=1，解得λ=23
μ=13，
∴AF=23a→ 13b→，故选B。
例5 如图，OC=2OP，AB=2AC，OM=mOB，ON=nOA，若m=38，那么n等于（ ） A. 12
B. 23
C. 34
D. 45
解：将△OAB特殊化为边长为1的正三角形，如图建立直角坐标系，可得O（0，0），A（1，0），B（12，32），
由AB=2AC，得C（34，34），由OC=2OP，得P（38，38），
由OM=38OB，得M（316，3316），由ON=nOA，得N（n，0），
∴MN=（n-316，-3316），MP=（316，-316），
∵MN∥MP∴-316（n-316）=316×（-3316），解得n=34。故选C。
三、 建立直角坐标系，解向量运算的最值问题
解这类有关向量运算的最值问题，务必要建立直角坐标系，表示各顶点、各向量的坐标，进而将向量运算“代数化”，转化为求函数的最值问题来求解。
例6 （2017全国课标2理）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB PC）的最小值是（ ）
A. -2
B. -32
C. -43
D. -1
解：如图建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（1，3），设P（x，y）（0 ∴PA=（-x，-y），PB=（2-x，-y），PC=（1-x，3-y），
∴PB PC=（3-2x，3-2y），
∴PA·（PB PC）=-x（3-2x）-y（3-2y）=2x2-3x 2y2-3y
=2（x-34）2 2（y-34）2-32，
∴当x=34，y=34时，PA·（PB PC）取得最小值为-32。故选B。
例7 （2017全国课标3理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=λAB μAD，则λ μ的最大值为（ ）
A. 3
B. 22
C. 5
D. 2
解：如图建立直角坐标系，可得B（0，0），C（2，0），D（2，1），A（0，1），設圆的半径为r，在Rt△BCD中，BD2=BC2 CD2，
∴BD=12 22=5，据等积法得，12BD·r=12BC·CD，
∴r=25，∴圆C方程为：（x-2）2 y2=45，
设P（x，y），∵AP=λAB μAD，∴（x，y-1）=λ（0，-1） μ（2，0）=（2μ，-λ），
∴x=2μ
y-1=-λ，解得μ=x2
λ=-y 1，∴λ μ=x2-y 1，
令Z=λ μ=x2-y 1，∵P在圆C上，又圆C的参数方程为：x=2 25cosθ
y=25sinθ，
∴Z=15cosθ-25sinθ 2，∴Zmax=（15）2 （-25）2 2=3，故选A。
利用建系法解向量问题，为学生开辟了另类解向量的方法，同时也培养了学生数学建模转化解决问题的能力，这也是数学教学的目的所在，让学生遇到问题善于思考，分析问题、解决问题，构建模型，运用“转化思想”将问题进行转化求解，最终提升学生“数学建模”的数学素养。
参考文献：
[1]黄国斌.巧建平面直角坐标系求解向量问题.《福建中学数学》，2012年，第12期.
作者简介：
杨卫乾，福建省漳州市芗城中学。
关键词：建系法；向量问题；转化思想；代数问题
平面向量是高考考查的热点，每年高考基本上以1个小题来考查向量知识，若考查有关向量运算，解这类题一般有两种解法。解法（一）利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理进行求解，解法（二）建立平面直角坐标系，将向量坐标化，运用向量坐标运算法则进行求解。大部分学生采用解法（一）居多，整个解题的过程较复杂，对学生掌握向量知识的娴熟度要求较高，相当一部分学生解到最后却无功而返。而解法（二）避开了向量的几何意义，减少推理过程，将向量运算转化为向量的坐标运算，把向量问题转化为代数问题进行求解，此解法思路条理清晰，学生用起来得心应手，解题的准确率大大提高。
下面笔者将有关向量运算问题分为三种类型进行讲解，利用建系法巧妙快捷地解决各种有关向量运算题。
一、 在特殊图形中建立直角坐标系，解向量问题
解这类向量题，可根据题目已知条件的正方形、矩形、正三角形或已知角的特殊性，以特殊角的顶点为原点，适当建立直角坐标系，表示各顶点坐标，进而表示各向量坐标，利用向量坐标运算转化为代数问题来求解。
例1 在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC=λAM μBN，则λ-3μ= 。
解：如图建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），M（1，12），N（12，1），
∴AC=（1，1），AM=（1，12），BN=（-12，1），
∵AC=λAM μBN，∴（1，1）=λ（1，12） μ（-12，1）=（λ-12μ，12λ μ），
∴λ-12μ=1
12λ μ=1，解得λ=65
μ=25，∴λ-3μ=65-3×25=0.
例2 （2017天津理）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，若BD=2DC，AE=λAC-AB（λ∈R），且AD·AE=-4，则λ的值为 。
解：如图建立直角坐标系，可得A（0，0），C（2，0），设B（x1，y1），D（x2，y2）
∴x1=3cos60°=32，y1=3sin60°=332，∴B（32，332），
∵BD=2DC，∴（x2，y2）-（32，332）=2[（2，0）-（x2，y2）]，∴（x2，y2）=（116，32），即D（116，32），∴AD=（116，32），
∵AE=λAC-AB，∴AE=λ（2，0）-（32，332）=（2λ-32，-332），
∴AD·AE=116（2λ-32）-332×32=-4，解得λ=311.
例3 （2017江苏卷）如图，在同一平面内，向量OA、OB、OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°，若OC=mOA nOB（m，n∈R），则m n= 。
解：如图建立直角坐标系，可得O（0，0），A（1，0），设C（x1，y1），B（x2，y2），OB与x轴负半轴夹角为β由tanα=7，得cosα=210，sinα=7210，
∴x1=2cosα=15，y1=2sinα=75，∴C（15，75），
∵β α 45°=180°，∴tanβ=-tan（α 45°）=-tanα tan45°1-tanαtan45°=43.
∴cosβ=35，sinβ=45，∴x2=-1·cosβ=-35，y2=1·sinβ=45，得B（-35，45），
∵OC=mOA nOB，∴（15，75）=m（1，0） n（-35，45）=（m-35n，45n），
∴m-35n=15
45n=75，解得m=54
n=74，∴m n=54 74=3.
二、 將一般图形特殊化，建立直角坐标系，解向量问题
解这类向量题，可将题目已知条件中的一般四边形、三角形进行特殊化为正方形、正三角形来处理，再建立直角坐标系，这样有利于表示各顶点坐标，进而运用向量坐标运算进行求解。
例4 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC=a→，BD=b→，则AF等于（ ）
A. 14a→ 12b→
B. 23a→ 13b→
C. 12a→ 14b→
D. 13a→ 23b→
解：将平行四边形ABCD特殊化为边长为1的正方形，如图建立直角坐标系，可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），O（12，12），E（14，34），
设F（x，1），∴AE=（14，34），AF=（x，1），
∵AE∥AF， ∴34x-14=0，得x=13，∴F（13，1），
设AF=λAC μBD，∴（13，1）=λ（1，1） μ（-1，1）=（λ-μ，λ μ），
∴λ-μ=13
λ μ=1，解得λ=23
μ=13，
∴AF=23a→ 13b→，故选B。
例5 如图，OC=2OP，AB=2AC，OM=mOB，ON=nOA，若m=38，那么n等于（ ） A. 12
B. 23
C. 34
D. 45
解：将△OAB特殊化为边长为1的正三角形，如图建立直角坐标系，可得O（0，0），A（1，0），B（12，32），
由AB=2AC，得C（34，34），由OC=2OP，得P（38，38），
由OM=38OB，得M（316，3316），由ON=nOA，得N（n，0），
∴MN=（n-316，-3316），MP=（316，-316），
∵MN∥MP∴-316（n-316）=316×（-3316），解得n=34。故选C。
三、 建立直角坐标系，解向量运算的最值问题
解这类有关向量运算的最值问题，务必要建立直角坐标系，表示各顶点、各向量的坐标，进而将向量运算“代数化”，转化为求函数的最值问题来求解。
例6 （2017全国课标2理）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB PC）的最小值是（ ）
A. -2
B. -32
C. -43
D. -1
解：如图建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（1，3），设P（x，y）（0
∴PB PC=（3-2x，3-2y），
∴PA·（PB PC）=-x（3-2x）-y（3-2y）=2x2-3x 2y2-3y
=2（x-34）2 2（y-34）2-32，
∴当x=34，y=34时，PA·（PB PC）取得最小值为-32。故选B。
例7 （2017全国课标3理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=λAB μAD，则λ μ的最大值为（ ）
A. 3
B. 22
C. 5
D. 2
解：如图建立直角坐标系，可得B（0，0），C（2，0），D（2，1），A（0，1），設圆的半径为r，在Rt△BCD中，BD2=BC2 CD2，
∴BD=12 22=5，据等积法得，12BD·r=12BC·CD，
∴r=25，∴圆C方程为：（x-2）2 y2=45，
设P（x，y），∵AP=λAB μAD，∴（x，y-1）=λ（0，-1） μ（2，0）=（2μ，-λ），
∴x=2μ
y-1=-λ，解得μ=x2
λ=-y 1，∴λ μ=x2-y 1，
令Z=λ μ=x2-y 1，∵P在圆C上，又圆C的参数方程为：x=2 25cosθ
y=25sinθ，
∴Z=15cosθ-25sinθ 2，∴Zmax=（15）2 （-25）2 2=3，故选A。
利用建系法解向量问题，为学生开辟了另类解向量的方法，同时也培养了学生数学建模转化解决问题的能力，这也是数学教学的目的所在，让学生遇到问题善于思考，分析问题、解决问题，构建模型，运用“转化思想”将问题进行转化求解，最终提升学生“数学建模”的数学素养。
参考文献：
[1]黄国斌.巧建平面直角坐标系求解向量问题.《福建中学数学》，2012年，第12期.
作者简介：
杨卫乾，福建省漳州市芗城中学。