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[摘 要] 新课标指出，在高中阶段的数学教学活动中，在教授文化课知识的同时，需要以学生为基础进行数学核心素养的培养，这是推进素质教育的不可忽视的一环，因此，对数学核心素养进行深入探讨具有十分重要的实践价值. 文章从高中数学中的重点内容“三角函数”中抽取具体教学实例，从培养学生数学核心素养的角度入手，在不同层面、多个角度进行深入剖析，旨在促进高中阶段数学教学水平的进步，以向学生提供更具价值的教学思路.
[关键词] 数学核心素养;高中数学教学;素质教育
一直以来，素质教育都是我国教育事业的核心内容，在教育行业高速发展的今日，对学生的培养不仅仅是在知识的掌握上，更是在思维模式上，因此，如何进行核心素养的培养引起了教育界的广泛关注，也引起了教育工作者的高度重视. 众所周知，数学核心素养包含六项基本内容，数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，那么，在高中阶段，教学占据了学生大半时间的情况下，如何在教学实践中成功地培养学生应有的素养成为教师思考的重点，也为日常的教学任务提出了更高的标准和要求.
高中数学教学离不开问题的讲解，在进行数学题目的求解时，一般需要进行如下几步：首先是分析问题，建立已知条件与所求问题之间的逻辑关系;其次是思考问题，应该使用什么样的方法进行问题的求解，是否存在更加高效的数学方法得出同样的答案;最后是解决问题，整理好逻辑思路并运用恰当的数学方法完成题目的求解过程. 除此之外，在完成一道題目之后还需要再进行题目的反思，是否让一道题目发挥了它最大的价值在于对它的类比思考，只有将其真正纳入自己的知识体系中，这道题目才是真正的完成了. 文章将按照解决问题的思路，从具体的教学案例入手，进行数学素养的解读，给出笔者的思考.
为什么需要培养数学素养呢？因为在很多情境中，学生形成了固定的思维模式，只知道在一个题目中就必须按照该题目所给出的条件一步一步地寻找问题的答案，但是，很多的问题并不是这样的，它需要联系所学过的知识，将其作为隐含条件带入这道题目中，才能找到正确结果. 如果只是一味地按照传统的思维模式进行解题，就必然会陷入题目的陷阱中去. 首先，通过例1进行案例呈现.
因为方程存在着两个根，那么运用根的判别式条件可以得出Δ=-4a≥0，然后求解不等式可以得到a的取值范围应该如答案B所示.
分析学生的错误原因，事实上，存在着一个隐含条件，f（x）=sinx这个正弦函数是有界函数，当定义域为全体实数时它的值域限定在了[-1，1]之间. 因此，出错的学生会被题目条件所迷惑，仅从所给出的条件出发，进行计算，势必会造成错误. 究其根源，是由于学生在回答题目的过程中没有进行严密的思考，以至于造成求解思路的错误. 正确的求解过程应如下步骤所示：
问题评析：出错的学生在开始思考问题的过程中没有将问题需要的所有条件考虑全面，因此，没有对sinα和sinβ的取值进行条件限制，因此在得到sinα与sinβ的和为这一条件时没有思考条件存在的可能性，只有联系到函数的有界性质，才能得出正确的结果. 当忽略掉题目当中的隐含条件即“方程仅可能在（0，1]之内存在2个正根”的时候，就必然会导致错误的计算结果.
数学素养正是在一次次的习题解答中建立起来的，但是解决问题并不是盲目地进行机械化的训练，而是通过相关技巧进行高效的练习. 在进行阅读题目的过程中，需要学会对已知条件进行有效的分析，找到已知条件和最后结果之间存在的逻辑关系，通过适当的数学思维来体验数学的乐趣，在解决问题的过程中落实数学素养.
下面通过例2和例3进行分析.
例2：已知sinθ-cosθ=，求sin3θ-cos3θ的值.
解析：在这个问题之中，条件只有sinθ-cosθ的差值，但是无法直接与要求的结果联系起来. 那么就出现了一个思路，是否是需要将sinθ和cosθ的值分别求出之后再进行所求式子的计算？如果按照这个思路进行下去，由于没有对θ的范围进行详细的规定，因此只能通过平方布列，联立式子求解，这种解题思路容易思考，但是计算较为复杂，很容易就在求解过程中出现一些小问题导致错误的结果. 考虑一下出题人的意图，是否是通过三角函数的形式简单地考查数学计算能力呢？如果不是以耗费时间进行冗长的计算为目的，那么应该存在更为巧妙的计算方式. 将所求式子进行变形可以得到sin3θ-cos3θ=（sinθ-cosθ）·（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）=（sinθ-cosθ）（1+sinθcosθ），那么只需求得sinθcosθ的值即可. 将已知两边平方得sinθcosθ=，再将整体代入所求式子的变形中去即可求得结果为.
这个例子就是典型的“知二求一”的问题，通过归纳求解方法可知，对于sinθ±cosθ，sinθcosθ（或sin2θ）这3个式子，利用（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ即可获得简便的求解方法.
例3：（人教A版数学必修4第146页复习参考题A组第7题）已知cos（α+β）=，cos（α-β）=，求tanαtanβ的值.
解析：此题需要从结果入手进行式子的变形，通过逆向思维找到需要的求解条件.将求解式子变形可得tanαtanβ=，因此所需求的式子变为了sinαsinβ和cosαcosβ，联系已知条件可直接使用C（α+β）与C（α-β）公式，得到以sinαsinβ和cosαcosβ为整体未知数的二元一次方程组，求解后整体代入即可求得最后的结果.
按照传统的逻辑思路来说，正是需要从条件出发寻求问题的结果，但是从结果入手简化所求条件可以使得问题变得更为简单明了，这种解法源于逆向思维需要以所求条件为切入角度，通过反向追溯的方式得到更为简便的解题思路. 因此，如何建立条件与结果之间的内在联系，这需要扎实的数学理论知识和灵活的思维方式，逐渐培养起这样的内在感知联系，也逐渐培养起学生的数学素养. 在教学环节中，习题通常作为一种有效的手段用于学生数学素养的提升，它的重要性不言而喻. 但是司空见惯的题海战术是否有效还有待商榷，真正需要的是更加高效的练习方式. 教材中的习题作为经典题目，需要在深入透彻学习的同时发挥其独特的辐射作用，将相似度高的题目进行类比总结，找出相似性和相异性，一题多变，反复练习，只有做到举一反三才是真正做到了对题型的掌握. 通过对题目的相似性练习，能够让学生在培养熟练度的同时找到更多的灵活思维方法，熟能生巧，在教师的积极引导下形成专业的数学素养. 下面通过例4及其变形来进行讲解.
在上述的题目中，可以看到一个规律是，自变量的定义域在不断地变化，从最初的全体实数到逐步限定区间，同时正弦项和余弦项的次数在不断地升高，导致函数的最值也在不断地发生变化. 通过仔细地分析题目和细致地运算，可以很容易得到正确的结果. 因此，将经典题目加以变化，可以得到举一反三的效果，不断地训练学生的思考方式和探索兴趣. 在这样的实际训练中，学生的思维可以得到扩展，最终提升自身解决问题的能力.
在解决数学题目的时候，运用的就是一个学生的综合的数学能力，包括分析问题的逻辑推理能力，思考问题时的数学思维方式和计算问题时的综合计算能力等. 通常情况下，一个学生的逻辑推理能力是解决题目最为重要的地方，这种能力的正确建立会使得学生在进行数学学习的时候起到事半功倍的效果，对于遇到的任何数学题目都能够建立起自己独特的思考模式，那么在接下來寻找切入点进行问题解答时会更加的得心应手.
数学课程当中虽然逻辑推理比较重要，但是常识道理也不容忽视. 通过分析一些比较典型的例子和学习进行自主性的探究，能够让学生加深对数学概念的理解程度，逐步分析出题目隐藏的思想方式. 对数学发展的历史进行分析，将数学的学术知识转换成学生最容易接受的文本知识直观重要. 近些年来，在高考题目当中，探索性的问题屡见不鲜，其解决就是先对结论进行肯定，然后以此为基础，与当前的知识进行结合，通过给出的信息来进行反向的推理和计算，最终解决问题. 若相符合，则结果得到论证;若不符合，则假设不成立. 这类问题，是让学生通过“找问题”来进行分析和推理，从而形成怀疑和批判的态度和意识，在自主探究的活动当中找出有效的方式，提升学生的逻辑思维的严密性.
例5：函数f（x）=2cos2x+2sinx·cosx+m，x∈R.
问题评析：这样的问题在高中数学习题中是较为常见的一种类型，这种问题明显属于“存在性”问题的讨论，首先对f（x）中的高次幂三角函数进行降次处理，通过高次幂三角函数和二倍角公式的相互转化关系，最终将函数等价转化成单个三角函数的形式，进而求得函数周期、最大值和最小值等问题，在这种类型的问题中，函数的等价转化是解决问题的重点与难点.
[?] 在反思问题时提升数学素养
“学而不思则罔，思而不学则殆”是孔夫子的至理名言，其目的是教育我们要通过反省反思的方式从问题中获取价值来达到完善自己的目的. 在数学的实践教学环节当中，学生不但要努力地发现和探索新的问题，而且也需要对出现的问题进行独立的思考、回顾和分析，在反思中找出思维存在的错误的地方进行细细琢磨以进行及时纠正. 在推导的过程之中，逻辑关系可能是引起错误的关键点，因此，及时对逻辑思考过程进行严格的审查，找出问题潜在的地方并给予恰当的时间和精力进行思考和调整，这样可以锻炼学生精准把控问题的能力，对解决问题的准确度也有了大幅度的提高，这是培养学生数学素养最为有效和最具价值的方式.
首先，需要在得出计算结果的时候对结果是否正确给予恰当的反思，下面通过例6进行说明.
例6：（人教A版数学必修4第22页B组第2题）对式子-进行适当的化简操作，其中α为第二象限角.
解析：学生作业出现如下错解：原式= -=-==2tanα.
因为α为第二象限角，所以可以确定结果的符号，得到最终答案为2tanα.
问题评析：出现这个问题是由于在审题时比较粗心和大意，题目中α为第二象限角是已知条件，学生在运算的过程中并没有将这一条件考虑进去，导致结果为2tanα，默认为cosα>0. 如果学生的计算结果是正确的，那么2tanα=-2tanα推导出2=-2，这是绝对不可能的. 通过利用一些有误的资源来对学生的认知产生冲突，能够让学生及时纠正错误，提升自身思维的严谨性.
其次，需要对方法的有效性进行反思，下面通过例7来进行说明.
问题评析：通过两种解法解答题目后我们来进行一下反思，虽然解答的思路并不相同，但是得到的最后的答案是相同的，那么，两种解答相比而言，哪种方式更加合理呢？学生通过自身思考都认为解法1优于解法2，这是由于在解法1中，对分母的计算操作不是盲目的，而是在朝向既定目标而进行努力，在这里分母有理化是为了能够将分母变形为cosα的单项式，那么，在接下来的操作过程中，就可以省略掉通分的计算过程使计算变得更为简便;而解法2当中，相比于解法1更为烦琐. 在对习题作业进行讲解和评述的过程当中，通过分析和比较，让学生能够对题目进行分析，从而找出更加合适和优秀的解题思路和方法，提升学生的解题能力. 在对结果是否正确进行检验反思的时候，可以进行解题思路的重新思考，寻找是否有更为简便高效的解题思路，可以对思考过程进行有效的锻炼，通过对一道题目反复剖析，多次解答，可以有效地提升学生的数学核心素养.
最后，还需要对题目的正确性进行分析和反思. 在分析和反思的过程中，如果发现了问题要勇于质疑和发声，找出错误的源头. 在纠正错误的过程当中引起更多思考，加强理解和认知. 这样在以后的学习当中才不会犯同样类型的错误，才能够不断地提升自我. 下面通过例8来进行说明.
例8：已知sinα=，cos（α+β）=，且α和β为锐角，求cosβ的值. 解析：这道习题一直在众多的教学资料中作为经典例题被广泛使用，然而沿用多年却是一道错题. 事实上，因为cosα==<，所以cos（α+β）≥cosα. 据α，β为锐角，得0<α+β<π，所以α+β亦为锐角. 在（0，π）内余弦函数为减函数，所以α+β<α，β≤0，这与α，β为锐角矛盾，故通过本题所给的条件会推导得出自相矛盾的结果. 因此，原题的逻辑存在问题，是一道错误的题目.
问题评析：如果题目当中角α+β更换为α-β，其余的条件并不改变，通过替换原有条件可以将一道无逻辑的题目改换为一道经典题目，解决原有的矛盾问题. 学会提出问题、自主寻找问题要比埋头苦做更能锻炼学生的思考能力，这需要严密的逻辑思维能力和敢于质疑的勇气，找到问题产生的源头并予以纠正，对合理的地方进行分析加以完善，这样学生再解决问题时思路才能够更加清晰和明确，对于书本不迷信和盲从，学生独立思考的意识得到强化才能够进一步升华学生的核心素养.
解析：首先，我们来将题目分析一下. 第（1）问是常见的函数变形问题，在这类题目中，对函数进行有预见的处理会大大提高解题效率. 函数的变形并不是盲目的，如果单凭运气去凑相似形式将会耗费许多的时间和精力. 下面我们来具体分析例题，在这道题目中，尝试发现，如果将f（sinx），f（cosx）分别化简为和，之后通过已知条件对绝对值符号进行简化操作可以使得后续计算流程变得简易明了，也为最后把g（x）化简成为单角三角函数变式的形式打下基础. 这样的思维方式是通过多次练习后反思总结规律得来的，因此，要在解题的过程中不断地总结经验教训，并加以适当的逻辑思考，最终形成自己的解题思路，在之后的问题解答中灵活运用，这样才能成为学生自己的素养和能力.
数学学习中，错题和做题一样常见. 因此，作为数学学习中的重要一环，错误的有效利用就显得尤为重要了. 其实，在教学中，教师比起学生拥有天然的优势，他们可以接触到更多的学生，因此可以获得到更多的错题资源，在数量和质量达到一定程度后，教师可以将这些典型错题向更多的学生进行展示. 通过分析，指出解题过程当中正确的部分，通过对学生工作进行肯定的方式激发学生的创造力和积极性，同时，让学生在错题中获得自我反思的机会. 教师应该学会在辩证中看待学生的错误问题，需要将学生的错误看作在曲折中成长时不可缺少的重要环节. 一方面，学生需要在错误中得到成长，只有犯过错误才能不断地提升和完善自己;另一方面，教师需要对这些教学资源进行有效的利用，可以让一个学生的错误为更多的学生创造价值. 因此，教师在帮助学生改正错误的同时，也要建立起自己的错题资源体系，因为，教师的提升是更多学生素养提升的强效办法. 下面，通过例10来进行讲解.
但是，在批改试卷的过程中，曾经有一位老师对这样的解答哭笑不得，该学生的解题方法复杂不说，最后还得出了一个错误结果，这就是费力不讨好的典型写照.
在第（2）问之中，通常经过适当的分析可知有两种解题思路：一是求单角的值，将式子等价转化为单角形式代入求值;二是求二倍角的值，将式子等价转化为二倍角的形式带入求值. 但是通过单角的切值很容易求得二倍角的切值，即由tanα=2容易得到tan2α=-，那么可知第二种思路可能更为简单，最终将式子统一转化为二倍角的形式. 但是，同学的解题思路中忽略了一点，求解联立方程组的时候，还可能存在另一组解sin2α=-，cos2α=，这组解需要通过tanα=2>0这一条件判断后进行取舍. 当然，上述学生的解题过程中还存在着其他错误，如代值错误、符号错误等. 事实上，正确的答案是原式===1.
這样同样能够得出最终的正确结果，在三角变换当中，角的转换是最为核心的内容，需要注意角之间存在的结构差异，而三角公式就能够将这些结构差异理清楚. 在错误当中寻求正确的答案，在正确答案当中寻求最佳的解题思路和方法，这是探索的体验. 利用辩证唯物主义当中的观点来对学生整个解题的过程进行评价，能够打破僵化的固定思维模式开拓出新的思路，让学生的逻辑思考能力和综合思维能力在训练中得到提升，而我们的最终目的——学生的数学素养，也正是在这样反复训练的过程中逐渐得到培养的.
事实上，一切的学习过程都是以应用为最终目的的，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，只有真正能解决问题的知识和能力才是有价值的学习. 在数学的学习活动中，数学建模就是联通知识学习与解决问题的一道桥梁，也是数学的重点与难点. 学生在数学建模活动中，能够运用知识学会如何解决实际问题并锻炼自己的数学思维能力，不仅如此，数学建模作为一项联系实际的手段，它还与其他学科存在着千丝万缕的联系，在我们的生活中有着广泛的应用前景. 除此之外，数学建模还有着自己独特的优势，作为少数能与生活场景产生相关性的学科，数学建模以深入生活的方式引发了学生的广泛兴趣并激发了学生潜在的创造力，让同学们真真切切地感受到生活中数学应有的魅力所在.
为什么需要在数学建模中反思呢？
这的确是数学建模中不可缺少的一步. 毕竟是与生活息息相关的工作方法，在理论上来说，数学建模是应用数学模型去拟合实际问题建立数学思维方式. 那么，拟合这一步就存在着产生误差的可能性，需要去不断地完善，让数学模型无限地趋近于实际问题，这样的过程就需要不断地反思来完成. 这样的过程才是真正提升学生解决问题的强效手段，能够在反思中提升，在提升中获得解决问题的乐趣，可以极大地提升学生的数学核心素养.
经过前面的数项分析，我们得出在高中阶段的数学教学活动中，数学核心素养的养成是教育的根本目标. 学习需要以兴趣为导向这就引发教师广泛思考如何将学习变得更为生动这一议题，在高效学习的同时，还提出了趣味学习的更高要求. 数学教师们除了形成灵活高效的数学课堂教学体系外，还需要综合利用各种可得的教学资源，调动学生学习积极性的同时，提升学习的效率、提高学生的能力、提升学生的数学核心素养.
[关键词] 数学核心素养;高中数学教学;素质教育
一直以来，素质教育都是我国教育事业的核心内容，在教育行业高速发展的今日，对学生的培养不仅仅是在知识的掌握上，更是在思维模式上，因此，如何进行核心素养的培养引起了教育界的广泛关注，也引起了教育工作者的高度重视. 众所周知，数学核心素养包含六项基本内容，数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，那么，在高中阶段，教学占据了学生大半时间的情况下，如何在教学实践中成功地培养学生应有的素养成为教师思考的重点，也为日常的教学任务提出了更高的标准和要求.
高中数学教学离不开问题的讲解，在进行数学题目的求解时，一般需要进行如下几步：首先是分析问题，建立已知条件与所求问题之间的逻辑关系;其次是思考问题，应该使用什么样的方法进行问题的求解，是否存在更加高效的数学方法得出同样的答案;最后是解决问题，整理好逻辑思路并运用恰当的数学方法完成题目的求解过程. 除此之外，在完成一道題目之后还需要再进行题目的反思，是否让一道题目发挥了它最大的价值在于对它的类比思考，只有将其真正纳入自己的知识体系中，这道题目才是真正的完成了. 文章将按照解决问题的思路，从具体的教学案例入手，进行数学素养的解读，给出笔者的思考.
为什么需要培养数学素养呢？因为在很多情境中，学生形成了固定的思维模式，只知道在一个题目中就必须按照该题目所给出的条件一步一步地寻找问题的答案，但是，很多的问题并不是这样的，它需要联系所学过的知识，将其作为隐含条件带入这道题目中，才能找到正确结果. 如果只是一味地按照传统的思维模式进行解题，就必然会陷入题目的陷阱中去. 首先，通过例1进行案例呈现.
因为方程存在着两个根，那么运用根的判别式条件可以得出Δ=-4a≥0，然后求解不等式可以得到a的取值范围应该如答案B所示.
分析学生的错误原因，事实上，存在着一个隐含条件，f（x）=sinx这个正弦函数是有界函数，当定义域为全体实数时它的值域限定在了[-1，1]之间. 因此，出错的学生会被题目条件所迷惑，仅从所给出的条件出发，进行计算，势必会造成错误. 究其根源，是由于学生在回答题目的过程中没有进行严密的思考，以至于造成求解思路的错误. 正确的求解过程应如下步骤所示：
问题评析：出错的学生在开始思考问题的过程中没有将问题需要的所有条件考虑全面，因此，没有对sinα和sinβ的取值进行条件限制，因此在得到sinα与sinβ的和为这一条件时没有思考条件存在的可能性，只有联系到函数的有界性质，才能得出正确的结果. 当忽略掉题目当中的隐含条件即“方程仅可能在（0，1]之内存在2个正根”的时候，就必然会导致错误的计算结果.
数学素养正是在一次次的习题解答中建立起来的，但是解决问题并不是盲目地进行机械化的训练，而是通过相关技巧进行高效的练习. 在进行阅读题目的过程中，需要学会对已知条件进行有效的分析，找到已知条件和最后结果之间存在的逻辑关系，通过适当的数学思维来体验数学的乐趣，在解决问题的过程中落实数学素养.
下面通过例2和例3进行分析.
例2：已知sinθ-cosθ=，求sin3θ-cos3θ的值.
解析：在这个问题之中，条件只有sinθ-cosθ的差值，但是无法直接与要求的结果联系起来. 那么就出现了一个思路，是否是需要将sinθ和cosθ的值分别求出之后再进行所求式子的计算？如果按照这个思路进行下去，由于没有对θ的范围进行详细的规定，因此只能通过平方布列，联立式子求解，这种解题思路容易思考，但是计算较为复杂，很容易就在求解过程中出现一些小问题导致错误的结果. 考虑一下出题人的意图，是否是通过三角函数的形式简单地考查数学计算能力呢？如果不是以耗费时间进行冗长的计算为目的，那么应该存在更为巧妙的计算方式. 将所求式子进行变形可以得到sin3θ-cos3θ=（sinθ-cosθ）·（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）=（sinθ-cosθ）（1+sinθcosθ），那么只需求得sinθcosθ的值即可. 将已知两边平方得sinθcosθ=，再将整体代入所求式子的变形中去即可求得结果为.
这个例子就是典型的“知二求一”的问题，通过归纳求解方法可知，对于sinθ±cosθ，sinθcosθ（或sin2θ）这3个式子，利用（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ即可获得简便的求解方法.
例3：（人教A版数学必修4第146页复习参考题A组第7题）已知cos（α+β）=，cos（α-β）=，求tanαtanβ的值.
解析：此题需要从结果入手进行式子的变形，通过逆向思维找到需要的求解条件.将求解式子变形可得tanαtanβ=，因此所需求的式子变为了sinαsinβ和cosαcosβ，联系已知条件可直接使用C（α+β）与C（α-β）公式，得到以sinαsinβ和cosαcosβ为整体未知数的二元一次方程组，求解后整体代入即可求得最后的结果.
按照传统的逻辑思路来说，正是需要从条件出发寻求问题的结果，但是从结果入手简化所求条件可以使得问题变得更为简单明了，这种解法源于逆向思维需要以所求条件为切入角度，通过反向追溯的方式得到更为简便的解题思路. 因此，如何建立条件与结果之间的内在联系，这需要扎实的数学理论知识和灵活的思维方式，逐渐培养起这样的内在感知联系，也逐渐培养起学生的数学素养. 在教学环节中，习题通常作为一种有效的手段用于学生数学素养的提升，它的重要性不言而喻. 但是司空见惯的题海战术是否有效还有待商榷，真正需要的是更加高效的练习方式. 教材中的习题作为经典题目，需要在深入透彻学习的同时发挥其独特的辐射作用，将相似度高的题目进行类比总结，找出相似性和相异性，一题多变，反复练习，只有做到举一反三才是真正做到了对题型的掌握. 通过对题目的相似性练习，能够让学生在培养熟练度的同时找到更多的灵活思维方法，熟能生巧，在教师的积极引导下形成专业的数学素养. 下面通过例4及其变形来进行讲解.
在上述的题目中，可以看到一个规律是，自变量的定义域在不断地变化，从最初的全体实数到逐步限定区间，同时正弦项和余弦项的次数在不断地升高，导致函数的最值也在不断地发生变化. 通过仔细地分析题目和细致地运算，可以很容易得到正确的结果. 因此，将经典题目加以变化，可以得到举一反三的效果，不断地训练学生的思考方式和探索兴趣. 在这样的实际训练中，学生的思维可以得到扩展，最终提升自身解决问题的能力.
在解决数学题目的时候，运用的就是一个学生的综合的数学能力，包括分析问题的逻辑推理能力，思考问题时的数学思维方式和计算问题时的综合计算能力等. 通常情况下，一个学生的逻辑推理能力是解决题目最为重要的地方，这种能力的正确建立会使得学生在进行数学学习的时候起到事半功倍的效果，对于遇到的任何数学题目都能够建立起自己独特的思考模式，那么在接下來寻找切入点进行问题解答时会更加的得心应手.
数学课程当中虽然逻辑推理比较重要，但是常识道理也不容忽视. 通过分析一些比较典型的例子和学习进行自主性的探究，能够让学生加深对数学概念的理解程度，逐步分析出题目隐藏的思想方式. 对数学发展的历史进行分析，将数学的学术知识转换成学生最容易接受的文本知识直观重要. 近些年来，在高考题目当中，探索性的问题屡见不鲜，其解决就是先对结论进行肯定，然后以此为基础，与当前的知识进行结合，通过给出的信息来进行反向的推理和计算，最终解决问题. 若相符合，则结果得到论证;若不符合，则假设不成立. 这类问题，是让学生通过“找问题”来进行分析和推理，从而形成怀疑和批判的态度和意识，在自主探究的活动当中找出有效的方式，提升学生的逻辑思维的严密性.
例5：函数f（x）=2cos2x+2sinx·cosx+m，x∈R.
问题评析：这样的问题在高中数学习题中是较为常见的一种类型，这种问题明显属于“存在性”问题的讨论，首先对f（x）中的高次幂三角函数进行降次处理，通过高次幂三角函数和二倍角公式的相互转化关系，最终将函数等价转化成单个三角函数的形式，进而求得函数周期、最大值和最小值等问题，在这种类型的问题中，函数的等价转化是解决问题的重点与难点.
[?] 在反思问题时提升数学素养
“学而不思则罔，思而不学则殆”是孔夫子的至理名言，其目的是教育我们要通过反省反思的方式从问题中获取价值来达到完善自己的目的. 在数学的实践教学环节当中，学生不但要努力地发现和探索新的问题，而且也需要对出现的问题进行独立的思考、回顾和分析，在反思中找出思维存在的错误的地方进行细细琢磨以进行及时纠正. 在推导的过程之中，逻辑关系可能是引起错误的关键点，因此，及时对逻辑思考过程进行严格的审查，找出问题潜在的地方并给予恰当的时间和精力进行思考和调整，这样可以锻炼学生精准把控问题的能力，对解决问题的准确度也有了大幅度的提高，这是培养学生数学素养最为有效和最具价值的方式.
首先，需要在得出计算结果的时候对结果是否正确给予恰当的反思，下面通过例6进行说明.
例6：（人教A版数学必修4第22页B组第2题）对式子-进行适当的化简操作，其中α为第二象限角.
解析：学生作业出现如下错解：原式= -=-==2tanα.
因为α为第二象限角，所以可以确定结果的符号，得到最终答案为2tanα.
问题评析：出现这个问题是由于在审题时比较粗心和大意，题目中α为第二象限角是已知条件，学生在运算的过程中并没有将这一条件考虑进去，导致结果为2tanα，默认为cosα>0. 如果学生的计算结果是正确的，那么2tanα=-2tanα推导出2=-2，这是绝对不可能的. 通过利用一些有误的资源来对学生的认知产生冲突，能够让学生及时纠正错误，提升自身思维的严谨性.
其次，需要对方法的有效性进行反思，下面通过例7来进行说明.
问题评析：通过两种解法解答题目后我们来进行一下反思，虽然解答的思路并不相同，但是得到的最后的答案是相同的，那么，两种解答相比而言，哪种方式更加合理呢？学生通过自身思考都认为解法1优于解法2，这是由于在解法1中，对分母的计算操作不是盲目的，而是在朝向既定目标而进行努力，在这里分母有理化是为了能够将分母变形为cosα的单项式，那么，在接下来的操作过程中，就可以省略掉通分的计算过程使计算变得更为简便;而解法2当中，相比于解法1更为烦琐. 在对习题作业进行讲解和评述的过程当中，通过分析和比较，让学生能够对题目进行分析，从而找出更加合适和优秀的解题思路和方法，提升学生的解题能力. 在对结果是否正确进行检验反思的时候，可以进行解题思路的重新思考，寻找是否有更为简便高效的解题思路，可以对思考过程进行有效的锻炼，通过对一道题目反复剖析，多次解答，可以有效地提升学生的数学核心素养.
最后，还需要对题目的正确性进行分析和反思. 在分析和反思的过程中，如果发现了问题要勇于质疑和发声，找出错误的源头. 在纠正错误的过程当中引起更多思考，加强理解和认知. 这样在以后的学习当中才不会犯同样类型的错误，才能够不断地提升自我. 下面通过例8来进行说明.
例8：已知sinα=，cos（α+β）=，且α和β为锐角，求cosβ的值. 解析：这道习题一直在众多的教学资料中作为经典例题被广泛使用，然而沿用多年却是一道错题. 事实上，因为cosα==<，所以cos（α+β）≥cosα. 据α，β为锐角，得0<α+β<π，所以α+β亦为锐角. 在（0，π）内余弦函数为减函数，所以α+β<α，β≤0，这与α，β为锐角矛盾，故通过本题所给的条件会推导得出自相矛盾的结果. 因此，原题的逻辑存在问题，是一道错误的题目.
问题评析：如果题目当中角α+β更换为α-β，其余的条件并不改变，通过替换原有条件可以将一道无逻辑的题目改换为一道经典题目，解决原有的矛盾问题. 学会提出问题、自主寻找问题要比埋头苦做更能锻炼学生的思考能力，这需要严密的逻辑思维能力和敢于质疑的勇气，找到问题产生的源头并予以纠正，对合理的地方进行分析加以完善，这样学生再解决问题时思路才能够更加清晰和明确，对于书本不迷信和盲从，学生独立思考的意识得到强化才能够进一步升华学生的核心素养.
解析：首先，我们来将题目分析一下. 第（1）问是常见的函数变形问题，在这类题目中，对函数进行有预见的处理会大大提高解题效率. 函数的变形并不是盲目的，如果单凭运气去凑相似形式将会耗费许多的时间和精力. 下面我们来具体分析例题，在这道题目中，尝试发现，如果将f（sinx），f（cosx）分别化简为和，之后通过已知条件对绝对值符号进行简化操作可以使得后续计算流程变得简易明了，也为最后把g（x）化简成为单角三角函数变式的形式打下基础. 这样的思维方式是通过多次练习后反思总结规律得来的，因此，要在解题的过程中不断地总结经验教训，并加以适当的逻辑思考，最终形成自己的解题思路，在之后的问题解答中灵活运用，这样才能成为学生自己的素养和能力.
数学学习中，错题和做题一样常见. 因此，作为数学学习中的重要一环，错误的有效利用就显得尤为重要了. 其实，在教学中，教师比起学生拥有天然的优势，他们可以接触到更多的学生，因此可以获得到更多的错题资源，在数量和质量达到一定程度后，教师可以将这些典型错题向更多的学生进行展示. 通过分析，指出解题过程当中正确的部分，通过对学生工作进行肯定的方式激发学生的创造力和积极性，同时，让学生在错题中获得自我反思的机会. 教师应该学会在辩证中看待学生的错误问题，需要将学生的错误看作在曲折中成长时不可缺少的重要环节. 一方面，学生需要在错误中得到成长，只有犯过错误才能不断地提升和完善自己;另一方面，教师需要对这些教学资源进行有效的利用，可以让一个学生的错误为更多的学生创造价值. 因此，教师在帮助学生改正错误的同时，也要建立起自己的错题资源体系，因为，教师的提升是更多学生素养提升的强效办法. 下面，通过例10来进行讲解.
但是，在批改试卷的过程中，曾经有一位老师对这样的解答哭笑不得，该学生的解题方法复杂不说，最后还得出了一个错误结果，这就是费力不讨好的典型写照.
在第（2）问之中，通常经过适当的分析可知有两种解题思路：一是求单角的值，将式子等价转化为单角形式代入求值;二是求二倍角的值，将式子等价转化为二倍角的形式带入求值. 但是通过单角的切值很容易求得二倍角的切值，即由tanα=2容易得到tan2α=-，那么可知第二种思路可能更为简单，最终将式子统一转化为二倍角的形式. 但是，同学的解题思路中忽略了一点，求解联立方程组的时候，还可能存在另一组解sin2α=-，cos2α=，这组解需要通过tanα=2>0这一条件判断后进行取舍. 当然，上述学生的解题过程中还存在着其他错误，如代值错误、符号错误等. 事实上，正确的答案是原式===1.
這样同样能够得出最终的正确结果，在三角变换当中，角的转换是最为核心的内容，需要注意角之间存在的结构差异，而三角公式就能够将这些结构差异理清楚. 在错误当中寻求正确的答案，在正确答案当中寻求最佳的解题思路和方法，这是探索的体验. 利用辩证唯物主义当中的观点来对学生整个解题的过程进行评价，能够打破僵化的固定思维模式开拓出新的思路，让学生的逻辑思考能力和综合思维能力在训练中得到提升，而我们的最终目的——学生的数学素养，也正是在这样反复训练的过程中逐渐得到培养的.
事实上，一切的学习过程都是以应用为最终目的的，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，只有真正能解决问题的知识和能力才是有价值的学习. 在数学的学习活动中，数学建模就是联通知识学习与解决问题的一道桥梁，也是数学的重点与难点. 学生在数学建模活动中，能够运用知识学会如何解决实际问题并锻炼自己的数学思维能力，不仅如此，数学建模作为一项联系实际的手段，它还与其他学科存在着千丝万缕的联系，在我们的生活中有着广泛的应用前景. 除此之外，数学建模还有着自己独特的优势，作为少数能与生活场景产生相关性的学科，数学建模以深入生活的方式引发了学生的广泛兴趣并激发了学生潜在的创造力，让同学们真真切切地感受到生活中数学应有的魅力所在.
为什么需要在数学建模中反思呢？
这的确是数学建模中不可缺少的一步. 毕竟是与生活息息相关的工作方法，在理论上来说，数学建模是应用数学模型去拟合实际问题建立数学思维方式. 那么，拟合这一步就存在着产生误差的可能性，需要去不断地完善，让数学模型无限地趋近于实际问题，这样的过程就需要不断地反思来完成. 这样的过程才是真正提升学生解决问题的强效手段，能够在反思中提升，在提升中获得解决问题的乐趣，可以极大地提升学生的数学核心素养.
经过前面的数项分析，我们得出在高中阶段的数学教学活动中，数学核心素养的养成是教育的根本目标. 学习需要以兴趣为导向这就引发教师广泛思考如何将学习变得更为生动这一议题，在高效学习的同时，还提出了趣味学习的更高要求. 数学教师们除了形成灵活高效的数学课堂教学体系外，还需要综合利用各种可得的教学资源，调动学生学习积极性的同时，提升学习的效率、提高学生的能力、提升学生的数学核心素养.