论文部分内容阅读
[摘 要] 在核心素养的背景下，高考试题注重考查学生的综合能力，体现核心素养的考查意图，反映当前新课标的教学成果. 文章以一道高考试题为例，通过挖掘试题资源，以探索多解和变式提升的方式为学生搭建施展才华的平台，让学生在领略高考试题魅力的同时提升探究能力和思维水平，培养学生的综合能力，以落实数学核心素养.
[关键词] 核心素养;高考试题;培养
当前，新课程背景下的高考改革进入关键时期，随着新一轮高考改革理念的落实，高考也更加注重基础性和选拔性. 纵观历年的高考试题，不难看出命题人落实数学核心素养于各个试题之中，强调对探究能力、思维能力的考查. 从而，教师应及时理解高考试题变化的本质，真正理解高考改革，真正理解试题，在教学中落实教书育人的目标.
鉴于此，近年来广大一线教师都在积极探索培养核心素养的路径，通过挖掘高考试题资源，以引申拓展和变式提升的方式为学生搭建施展才华的平台，让学生在领略高考试题魅力的同时提升他们的探究能力和思维水平，培养学生的综合能力，以落实数学核心素养.
[?] 问题呈现
如图1，已知△ABC中，M为边BC的中点，∠C=90°，若sin∠BAM=，则sin∠BAC=________.
[?] 展现特色，领悟意图
本题是一道填空题，难度中等偏上，需要学生在考试中既快又准地完成解题. 不过不少学生在解决本题时易受诸多因素影响而耗时过多，导致无法完成整张试卷;又或是因为运算能力薄弱而出现错误，影响到最后考试的成绩.
事实上，就是这么看似不经意的一道小题，其“韵味”却是无限的. 本题所展现的特色：其设计聚焦核心知识，凸显核心素养，主要考查学生结合已有知识进行运算的能力，探索解决问题的思路. 在笔者看来，“运算”能力不仅是学生的童子功，更是核心素养理念下需要培育的重要能力. 不少学生认为运算就是充分利用公式进行计算，事实上并非如此，核心素养下的運算能力就是思维与运算的有效沟通，需要学生具备逻辑素养、数学建模和运算能力，只有具有了这些能力，才能在高考中完美取胜.
[?] 探究解法，寓教于思
尽管本题在考场答题需要做到快、准，但在平时的练习中却需要引导学生深入领略其风景，从而领悟其韵味，真正意义上理解编者的意图，以达到寓教于思的效果，培养学生的探究能力和思维能力.
本题涉及三角形计算的相关知识点，其韵味主要在于它的多解性. 万变不离其宗，尽管这是一道一题多解的试题，但不管运用哪一种解法都需运用到数形结合这一重要思想方法. 下面，笔者对本题进行深入分析.
解法1：设BC=a，AB=c，AC=b. 在△ABM中，沟通正弦定理和诱导公式，可得==，从而a=，整理后可得（3a2-2c2）2=0，=，所以sin∠BAC==.
意图：基础知识掌握的熟练程度直接决定着学生是否有能力将题干中的材料转化为所需要的相关概念、公式等. 在本题中，命题者以图形和公式作为题干信息，学生需要结合题干信息准确选择和运用相关知识. 所以，这一解法主要考查学生对相关公式、定理的灵活运用能力.
解法2：因为sin∠BAM=，所以cos∠BAM=.
如图1，在△ABM中，利用正弦定理，可得=，所以===.
在Rt△ACM中，有=sin∠CAM=sin（∠BAC-∠BAM）. 根据题意，可知BM=CM，所以=sin（∠BAC-∠BAM），借助两角差的正弦展开化简，可得2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1，所以=1，可得tan∠BAC=. 再结合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1和∠BAC为锐角，解得sin∠BAC=.
意图：从这种解法来看，命题者着重考查的是学生对几何量的求解能力，这需要教师在长期的教学实践中注重引导，着力提升其计算求解能力.
解法3：在Rt△MAC与Rt△BAC中，有tan∠MAC=，tan∠BAC=. 因为M为边BC的中点，所以BC=2MC，所以tan∠BAC=2tan∠MAC=tan（∠BAM+∠MAC）=. 又因为sin∠BAM=，所以cos∠BAM=，tan∠BAM=，所以2tan2∠MAC-2tan∠MAC+1=0，所以tan∠MAC=，tan∠BAC=. 再结合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1和∠BAC为锐角，解得sin∠BAC=.
意图：这一解法对学生考查的能力与解法2相同，不同点在于所涉知识点不同.
解法4：如图2，设AM=3，作MD⊥AB，垂足为点D. 根据sin∠BAM=，可求得MD=1，AD=2. 设CM=MB=x，则有AC2=9-x2，BD=. 在Rt△ACB中，CA2+CB2=AB2，则有9-x2+4x2=（+2）2，所以（x2-3）2=0，x=，所以CB=2，AB=AD+BD=3，所以sin∠BAC===.
意图：这一解法主要思路在于构造直角三角形求解，需要学生在明确运算对象的基础上构造直角三角形，进一步解数学问题，进而得出正确结论. 在本题中，学生不仅需找寻到构造直角三角形的正确思路，还需要通过运算得出正确答案. 从这种角度来看，学生能力的培养十分重要.
解法5：如图3，以点C为原点、CA为x轴、CB为y轴建立直角坐标系.
设A（x，0），B（0，2），M（0，1），则有=（-x，2），=（-x，1）. 根据向量的数量积，可得·=
cos∠BAM. 又因为sin∠BAM=，可得cos∠BAM=，x2+2=··，进一步解得x=.
在Rt△BAC中，AB2=CA2+CB2=6，所以AB=，所以sin∠BAC===.
意图：建系并利用平面向量的数量积求解是创新解法，但由于缺乏对向量的正确认识，学生很难将思维迁移到建立坐标系这样的解法上来，而一旦确定了建系这一思路，学生也就恍然大悟了. 高中数学问题的最大特色就是问题的解法多样，基于对数学问题的不同理解方向选择不同的解题策略，根据运算对象的理解程度不同选择不同的运算方法，从而收获多题训练的效果. 当然，多解中运用到的方法有的比较简洁，这样可以快速而准确地完成解题;也有的较为烦琐，這样运算也易出错，出错率自然也就高. 长期的一题多解训练，就是通过优化探究思路，精准选择解法，有效提升学生的探究能力和运算素养，提高解题能力，最终提升学生的数学核心素养.
[?] 变式拓展，孕育创新
数学知识间的联系往往是隐性的，常常隐匿于一些典型试题之中. 教学中，教师若对一些典型例题、习题和一些高质量的高考试题进行拓展、改装和引申，也就是通过“借题发挥”则可以最大可能地覆盖知识点，实现对知识的迁移和融会贯通，在这个过程中还可以彰显出较强的创新意识. 基于此，笔者对本题进行如下变形.
变式1：已知△ABC中，M为边BC的中点，C=，若tan∠CAM=2tan∠BAM，试求tan∠CAM.
变式2：已知△ABC中，M为边BC的中点，若tan∠CAM=2tan∠BAM=，证明：C=.
意图：就这样，通过对一个问题的变式达到了解决多种问题的效能，对引导学生主动学习，掌握双基，领悟数学思想，发展创新意识都有着很好的推进作用.
[?] 核心素养下的教学思考
1. 加强运算能力的培养
正确计算对学生最终成绩的影响极大，这一点是毋庸置疑的. 高考中，不少学生的失分点在于运算能力薄弱，易出现失误，易影响解题速度. 本题的解答中，大部分学生都是因为运算能力薄弱而造成的失分，因此，培养运算能力刻不容缓. 同时，深入剖析不难看出，想要在高考的重压下完成较大的计算任务并获得正确答案，必须具有良好的运算习惯和较高的运算能力. 有鉴于此，教师需在长期的教学实践中一以贯之地加以培养，以提升学生的运算能力.
2. 加强创新能力的培养
近年来，高考命题着重强调能力立意，从而对学生的创新能力提出了更高的要求. 在教学中，教师可以探究为基础，将创新藏于问题之中，引导学生对问题进行分析、思考、探究和反思，探索得出解决问题的方法，从中提升创新能力. 对于这道高考试题而言，从命题角度来说，其命制过程凝聚了命题者的创新智慧，充分体现了“图”中思道、“式”中求法的韵味，强化了运算能力和创新能力，是一道很好的创新试题. 从学生课堂中的解答来看也是一种创新，不仅考查了学生运算、推理、逻辑思维等学习能力，还考查了学生求异的创新能力，同时运用好数形结合是求解的关键.
3. 强化高考试题的应用性
高考试题蕴含着丰富的教学资源，具有较高的典型性、创新性和拓展性，都是值得探究性学习的典型问题. 从而，无论是高三一轮和二轮复习，还是高一或高二年级的教学中，都可以积极开发和利用好高考题，引导学生展开认知活动，使其成为提升探究能力、解题能力和创新思维能力的源头活水. 例如，教师以本题为素材，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的探究能力和运算能力，以实现核心素养的培育.
总之，我们不能总是从意识层面去强调运算能力、探究能力和创新能力的重要性，而应该把握数学核心素养的本质，从本质中探寻培养路径. 对于高考试题，一线教师应予以极大的关注，充分理解命题的意图，充分挖掘其内在潜能进行解法的探究，加强变式拓展，让学生通过解题感受试题的灵动与跳跃，以孕育数学核心素养.
[关键词] 核心素养;高考试题;培养
当前，新课程背景下的高考改革进入关键时期，随着新一轮高考改革理念的落实，高考也更加注重基础性和选拔性. 纵观历年的高考试题，不难看出命题人落实数学核心素养于各个试题之中，强调对探究能力、思维能力的考查. 从而，教师应及时理解高考试题变化的本质，真正理解高考改革，真正理解试题，在教学中落实教书育人的目标.
鉴于此，近年来广大一线教师都在积极探索培养核心素养的路径，通过挖掘高考试题资源，以引申拓展和变式提升的方式为学生搭建施展才华的平台，让学生在领略高考试题魅力的同时提升他们的探究能力和思维水平，培养学生的综合能力，以落实数学核心素养.
[?] 问题呈现
如图1，已知△ABC中，M为边BC的中点，∠C=90°，若sin∠BAM=，则sin∠BAC=________.
[?] 展现特色，领悟意图
本题是一道填空题，难度中等偏上，需要学生在考试中既快又准地完成解题. 不过不少学生在解决本题时易受诸多因素影响而耗时过多，导致无法完成整张试卷;又或是因为运算能力薄弱而出现错误，影响到最后考试的成绩.
事实上，就是这么看似不经意的一道小题，其“韵味”却是无限的. 本题所展现的特色：其设计聚焦核心知识，凸显核心素养，主要考查学生结合已有知识进行运算的能力，探索解决问题的思路. 在笔者看来，“运算”能力不仅是学生的童子功，更是核心素养理念下需要培育的重要能力. 不少学生认为运算就是充分利用公式进行计算，事实上并非如此，核心素养下的運算能力就是思维与运算的有效沟通，需要学生具备逻辑素养、数学建模和运算能力，只有具有了这些能力，才能在高考中完美取胜.
[?] 探究解法，寓教于思
尽管本题在考场答题需要做到快、准，但在平时的练习中却需要引导学生深入领略其风景，从而领悟其韵味，真正意义上理解编者的意图，以达到寓教于思的效果，培养学生的探究能力和思维能力.
本题涉及三角形计算的相关知识点，其韵味主要在于它的多解性. 万变不离其宗，尽管这是一道一题多解的试题，但不管运用哪一种解法都需运用到数形结合这一重要思想方法. 下面，笔者对本题进行深入分析.
解法1：设BC=a，AB=c，AC=b. 在△ABM中，沟通正弦定理和诱导公式，可得==，从而a=，整理后可得（3a2-2c2）2=0，=，所以sin∠BAC==.
意图：基础知识掌握的熟练程度直接决定着学生是否有能力将题干中的材料转化为所需要的相关概念、公式等. 在本题中，命题者以图形和公式作为题干信息，学生需要结合题干信息准确选择和运用相关知识. 所以，这一解法主要考查学生对相关公式、定理的灵活运用能力.
解法2：因为sin∠BAM=，所以cos∠BAM=.
如图1，在△ABM中，利用正弦定理，可得=，所以===.
在Rt△ACM中，有=sin∠CAM=sin（∠BAC-∠BAM）. 根据题意，可知BM=CM，所以=sin（∠BAC-∠BAM），借助两角差的正弦展开化简，可得2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1，所以=1，可得tan∠BAC=. 再结合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1和∠BAC为锐角，解得sin∠BAC=.
意图：从这种解法来看，命题者着重考查的是学生对几何量的求解能力，这需要教师在长期的教学实践中注重引导，着力提升其计算求解能力.
解法3：在Rt△MAC与Rt△BAC中，有tan∠MAC=，tan∠BAC=. 因为M为边BC的中点，所以BC=2MC，所以tan∠BAC=2tan∠MAC=tan（∠BAM+∠MAC）=. 又因为sin∠BAM=，所以cos∠BAM=，tan∠BAM=，所以2tan2∠MAC-2tan∠MAC+1=0，所以tan∠MAC=，tan∠BAC=. 再结合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1和∠BAC为锐角，解得sin∠BAC=.
意图：这一解法对学生考查的能力与解法2相同，不同点在于所涉知识点不同.
解法4：如图2，设AM=3，作MD⊥AB，垂足为点D. 根据sin∠BAM=，可求得MD=1，AD=2. 设CM=MB=x，则有AC2=9-x2，BD=. 在Rt△ACB中，CA2+CB2=AB2，则有9-x2+4x2=（+2）2，所以（x2-3）2=0，x=，所以CB=2，AB=AD+BD=3，所以sin∠BAC===.
意图：这一解法主要思路在于构造直角三角形求解，需要学生在明确运算对象的基础上构造直角三角形，进一步解数学问题，进而得出正确结论. 在本题中，学生不仅需找寻到构造直角三角形的正确思路，还需要通过运算得出正确答案. 从这种角度来看，学生能力的培养十分重要.
解法5：如图3，以点C为原点、CA为x轴、CB为y轴建立直角坐标系.
设A（x，0），B（0，2），M（0，1），则有=（-x，2），=（-x，1）. 根据向量的数量积，可得·=
cos∠BAM. 又因为sin∠BAM=，可得cos∠BAM=，x2+2=··，进一步解得x=.
在Rt△BAC中，AB2=CA2+CB2=6，所以AB=，所以sin∠BAC===.
意图：建系并利用平面向量的数量积求解是创新解法，但由于缺乏对向量的正确认识，学生很难将思维迁移到建立坐标系这样的解法上来，而一旦确定了建系这一思路，学生也就恍然大悟了. 高中数学问题的最大特色就是问题的解法多样，基于对数学问题的不同理解方向选择不同的解题策略，根据运算对象的理解程度不同选择不同的运算方法，从而收获多题训练的效果. 当然，多解中运用到的方法有的比较简洁，这样可以快速而准确地完成解题;也有的较为烦琐，這样运算也易出错，出错率自然也就高. 长期的一题多解训练，就是通过优化探究思路，精准选择解法，有效提升学生的探究能力和运算素养，提高解题能力，最终提升学生的数学核心素养.
[?] 变式拓展，孕育创新
数学知识间的联系往往是隐性的，常常隐匿于一些典型试题之中. 教学中，教师若对一些典型例题、习题和一些高质量的高考试题进行拓展、改装和引申，也就是通过“借题发挥”则可以最大可能地覆盖知识点，实现对知识的迁移和融会贯通，在这个过程中还可以彰显出较强的创新意识. 基于此，笔者对本题进行如下变形.
变式1：已知△ABC中，M为边BC的中点，C=，若tan∠CAM=2tan∠BAM，试求tan∠CAM.
变式2：已知△ABC中，M为边BC的中点，若tan∠CAM=2tan∠BAM=，证明：C=.
意图：就这样，通过对一个问题的变式达到了解决多种问题的效能，对引导学生主动学习，掌握双基，领悟数学思想，发展创新意识都有着很好的推进作用.
[?] 核心素养下的教学思考
1. 加强运算能力的培养
正确计算对学生最终成绩的影响极大，这一点是毋庸置疑的. 高考中，不少学生的失分点在于运算能力薄弱，易出现失误，易影响解题速度. 本题的解答中，大部分学生都是因为运算能力薄弱而造成的失分，因此，培养运算能力刻不容缓. 同时，深入剖析不难看出，想要在高考的重压下完成较大的计算任务并获得正确答案，必须具有良好的运算习惯和较高的运算能力. 有鉴于此，教师需在长期的教学实践中一以贯之地加以培养，以提升学生的运算能力.
2. 加强创新能力的培养
近年来，高考命题着重强调能力立意，从而对学生的创新能力提出了更高的要求. 在教学中，教师可以探究为基础，将创新藏于问题之中，引导学生对问题进行分析、思考、探究和反思，探索得出解决问题的方法，从中提升创新能力. 对于这道高考试题而言，从命题角度来说，其命制过程凝聚了命题者的创新智慧，充分体现了“图”中思道、“式”中求法的韵味，强化了运算能力和创新能力，是一道很好的创新试题. 从学生课堂中的解答来看也是一种创新，不仅考查了学生运算、推理、逻辑思维等学习能力，还考查了学生求异的创新能力，同时运用好数形结合是求解的关键.
3. 强化高考试题的应用性
高考试题蕴含着丰富的教学资源，具有较高的典型性、创新性和拓展性，都是值得探究性学习的典型问题. 从而，无论是高三一轮和二轮复习，还是高一或高二年级的教学中，都可以积极开发和利用好高考题，引导学生展开认知活动，使其成为提升探究能力、解题能力和创新思维能力的源头活水. 例如，教师以本题为素材，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的探究能力和运算能力，以实现核心素养的培育.
总之，我们不能总是从意识层面去强调运算能力、探究能力和创新能力的重要性，而应该把握数学核心素养的本质，从本质中探寻培养路径. 对于高考试题，一线教师应予以极大的关注，充分理解命题的意图，充分挖掘其内在潜能进行解法的探究，加强变式拓展，让学生通过解题感受试题的灵动与跳跃，以孕育数学核心素养.