论文部分内容阅读
摘 要：在数学教学过程中践行“能力与智慧的教育”，首先应当了解学生群体的数学学习心理规律，包括数学学习的性质、数学学习的发生、数学学习的过程、数学学习的方法、学生数学行为的变化、数学学习的迁移等；还包括学生个体的数学思维特征，即作为学习活动主体的学生是怎样学习数学的。教师可通过学习相关心理学理论、设计适切的数学活动、借助与学生的交流互动，以真正了解学生的数学思维。
关键词：学习心理 数学学习 思维特征 学生发展
一、为什么要了解学生是怎样学数学的
教育的本质在于促进学生的发展，这已成为当代教育的基本共识，数学教育自不例外。就数学教育而言，“促进学生的发展”包括多种内涵——增加学生数学知识，教会学生数学技能，培养学生数学能力，发展学生数学智慧，等等。而它们所指向的数学学习可称之为：经验与事实的教育、知识与技能的教育、能力与智慧的教育。
当下的社会文明乃至未来的社会文明发展，是影响今日教育的极为重要的因素。单从智力活动的角度分析，今日的中小学数学教育主要是数学知识、数学技能与数学能力的教育，教育过程中涉及的课程内容主要是数学知识与技能——基本上17世纪以前就已被人类所认知。而随着承载社会文明发展的数学知识信息呈“爆炸性增长”的态势——旧有分支的结论不断丰富，新近产生的分支不断涌现，今天的学生希望在课堂获得
一生发展所需要的数学知识与技能已不可能；又由于互联网的飞速发展，数学知识和技能变得易取易存——不分时间、不分地域，随用随取。因此，数学知识与技能本身已不是学生在数学学习过程中最为要紧的教育内容。更由于人类从事教育的基本目的是为了满足自身的生存与发展的需要，而在未来多变的环境中，新问题层出不穷，因而获取新的知识（技能）以及应用它们解决问题的能力已被认为是未来公民必备的素养。因此，在今天的数学教育过程中，“促进学生的发展”的诸内涵中最有价值的无疑是“能力与智慧的教育”。当然，“能力与智慧的教育”活动并不排斥“经验与事实的教育”和“知识与技能的教育”，事实上，在具体的教育过程中，获得知识、掌握技能都是学生发展智慧必不可少的。
但是当获得知识、掌握技能与提高能力、发展智慧相冲突的时候，通常是舍弃前者，而维护提高能力、发展智慧的终极目标。
上述关于数学教育的认知与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课程标准”）中关于四维课程目标，特别是其间关系的论述是吻合的。对此，课程标准给出了这样的表述：总目标的这四个方面（按：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度）不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体……数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。
需要明确的是，这里所说的“智慧”并不指个体的天赋潜能，而是指“其经过后天长期、有意识的发展所获得的对环境的一种反应特征”。学生的能力与智慧并不能被直接观察到，也不完全表现为对结果的拥有量，而体现在其活动（思考与操作等）过程之中，比如，“获取信息的方法、实验的技巧、对事物本质的思考、解决问题的策略等”。因此，学生只有经历这些活动过程，才可能是接受“能力与智慧的教育”。换言之，它是一种过程性教育。除此之外，由于能力和智慧都屬于个体的心理品质，其表现与发展都有着极为明显的个性化特征，因此，对广大的中小学数学教师而言，若要在数学教学过程中践行“能力与智慧的教育”，则首先应当了解学生群体的数学学习心理规律，它包括：数学学习的性质、数学学习的发生、数学学习的过程、数学学习的方法、学生数学行为的变化、数学学习的迁移，等等；还包括学生个体的数学思维特征，即作为学习活动主体的学生是怎样学习数学的。唯有如此，教师才能真正设计出有益于发展学生能力与智慧的教学活动。
实际教学过程中，学生的数学思维特征究竟是如何表现的？看下面的案例——
图1是一个平行四边形，其中，AC、BD交于O，写出图中所有的线段。
一种典型的答案是：AB、AC、AD、AO；BC、BD、BO；CD、CO；DO。
这样的答案习惯被称为“字典排列”式：将代表线段的所有字母按照字典排列顺序，一一列出。这样的排列呈现出明显的“序”特征，与图形自身所具有的特征没有明显的关联。
而表现图形特征的答案有以下几种：
（1）AB、BC、CD、DA；AC、BD；AO、OC；BO、OD；
（2）AB、BC、CD、DA；AO、OC、AC；BO、OD、BD；
（3）OA、OC、AC；OB、OD、BD；AB、BC、CD、DA；
这些答案明显借助了图形的特征：由外至内（或由内往外），围绕中心点对称标注。
具备以上两类不同思维（前者被称为代数思维，后者被称为图形思维）特征的学生，都存在于我们的数学课堂。而他们在面对不同形式表达的学习对象，或面对不同的学习任务时，有明显的“长”与“短”的表现。以“分数”内容的学习为例——具备代数思维特征的学生习惯以数字表述分数，比较擅长分数计算；而具备图形思维特征的学生则更习惯于用图形刻画分数，对分数大小关系较为敏感。但整体上看，两种思维特征并无优劣之分。
这一案例说明：同一个数学学习对象对于具有不同数学思维特征的学生而言，“难度”是不一样的，所谓“难”，并不一定是因为这个学生的学习基础不好或者理解能力较差，而只是因为他的思维特征不太适合这个学习对象的呈现形式。教师了解这一点，无疑有利于其设计教学，而学生了解这一点，也有利于其准确评价自己的数学学习状况。
二、如何了解学生是怎样学数学的
关于如何在实践中了解学生是怎样学数学的，笔者尝试给出以下几点建议。
（一）学习理论
作为教学实践工作者，一线教师为了能够真正了解学生的数学思维，无疑首先需要学习关于学生数学学习心理的相关知识，这方面有许多学习理论可以借鉴，比如行为主义、认知发展、建构主义等等。 1.行为主义理论。该理论认为，学习是个体对环境的反应。数学学习就是“形成联结”——学生在各种“刺激—反应”之间形成一个牢固的联结。比如，在“概念的名称与定义”之间，在“问题的类型与固定解法”之间等等。数学学习重在“数学行为”的获得。
学习计算的目的就是学会正确计算，而计算学习的成功关键在于强化。例如，通过安排不同形式（组合）的大量的反复练习，使学生熟练掌握相关的知识和技能。
2.认知发展理论。该理论认为，学习是个体作用于环境，而不是环境引起人的行为。按照皮亚杰的观点，数学学习的过程是个体对于数学学习对象认知图式的不断发展过程，即同化—顺应—平衡；而且，这种发展表现出一个带有普遍意义的阶段性，具体有四个阶段：感知运动阶段（0～2岁），前运算阶段（2～7岁），具体运算阶段（7～12岁），形式运算阶段（12岁以后）。
例如，就几何知识的学習而言，首先应当让学生在“具体运算阶段”接触现实世界中的学习对象——立体，而后在“形式运算阶段”研究平面图形，因为它们是抽象了的形式化对象。
3.建构主义理论。该理论认为，学生的数学学习过程不是简单地“被告知”，即不能简单地通过听讲掌握数学知识，应当是学生的“自我建构”过程——学生在有意义的学习情境中，基于自我原有的相关知识、经验和对环境的
认知等，通过自主活动建构自己对数学学习对象的理解。因此，真正的数学学习应当建立在学生已有基础之上
，学生是数学学习活动的主动参与者，每个学生通过活动所获得的是自己对
学习对象的理解。
例如，关于负数运算的学习。学生在学习负数运算以前，已经获得了有关“数的运算”的若干观念，他们会把这些观念自动地带进负数运算的学习过程中。遗憾的是，其中的一些重要观念并不适用于负数运算的情形，比如，越加越大、部分小于整体、较小数与较大数的比一定小于较大数与较小数的比等等。这些观念的识别与重新建立，应当通过学生自己的认知活动来实现，而不是被书本或者教师所告知。因此，按照建构主义的观点，教师不应当直接指出这些现象，甚至给出正确的答案。他们应当做的是：提供学习的素材与机会，让学生在处理素材的过程中发现“不和谐”之处，寻找合理的解释，与他人交流，进而构建自己对“负数运算”性质的理解。
课程标准指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生
应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。由此可见，课程标准意义下的数学学习，更与上述
理论所表述的数学学习观相近。
（二）设计活动
如课程标准所述，学生的数学学习应当是一种数学活动的学习，其中包含观察、实验、猜测、计算、推理、验证、交流等活动方式，而对学生个体数学思维情况（方式、过程、特征等）的了解必须基于活动过程进行。因此，设计一个富有理解空间、容纳多种理解方式、能够暴露学生思维过程，并预留足够理解时间的数学活动，是了解学生个体数学思维情况的前提。
例如，对于问题“小明5年以前的年龄和小兵5年以后的年龄相同，他现在的年龄是小兵年龄的3倍，今年他们的年龄分别是多少”，
不宜采用直接告知（讲解）的方式——用数学语言表达条件（文字题式的翻译），即年龄之差是10，又有3倍的关系，可以算出5、15；而应设计能够引发学生思考的活动过程，并在活动过程中向学生提供必要的帮助。让学生自己先猜：你觉得小明和小兵今年会是什么年龄？如果猜测不对，换哪两个数？如果还是不对，启发学生思考：应该换什么样的数，为什么？如果学生的思考仍有困难，鼓励他们回头思考问题的含义，比较两次（几次）错误答案的特点，找两个“看上去”可能对的数……
（三）交流互动
我们知道，“了解”的含义不仅仅是“看到”或“听到”学生是怎么做（思考）的，更重要的是理解其做（思考）背后的原因或者理由。这样的理解过程必须借助与学生的交流互动来进行。
例如，在学生学习分数运算的过程中，仅仅让他们做大量、复杂的分数四则运算，即使其操作结果又快又准，也不一定有助于学生提高对分数运算的理解水平。事实上，与分数运算相关的数学核心要义有两个：运算对象的计量单位一致（两者能够运算的前提），运算的含义准确（保证运算正确实施）。而要了解学生对这两个要义的理解情况，必须与他们交流：为什么两个分数相加需要通分，两个分数相乘不需要通分？你愿意用什么方式表达自己的理解？
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 【英】Richard.R.Skemp.数学学习心理学[M].林义雄，陈泽明译.台北：九章出版社，1992.
[3] 史宁中.教育与数学教育[M].长春：东北师范大学出版社，2006.
关键词：学习心理 数学学习 思维特征 学生发展
一、为什么要了解学生是怎样学数学的
教育的本质在于促进学生的发展，这已成为当代教育的基本共识，数学教育自不例外。就数学教育而言，“促进学生的发展”包括多种内涵——增加学生数学知识，教会学生数学技能，培养学生数学能力，发展学生数学智慧，等等。而它们所指向的数学学习可称之为：经验与事实的教育、知识与技能的教育、能力与智慧的教育。
当下的社会文明乃至未来的社会文明发展，是影响今日教育的极为重要的因素。单从智力活动的角度分析，今日的中小学数学教育主要是数学知识、数学技能与数学能力的教育，教育过程中涉及的课程内容主要是数学知识与技能——基本上17世纪以前就已被人类所认知。而随着承载社会文明发展的数学知识信息呈“爆炸性增长”的态势——旧有分支的结论不断丰富，新近产生的分支不断涌现，今天的学生希望在课堂获得
一生发展所需要的数学知识与技能已不可能；又由于互联网的飞速发展，数学知识和技能变得易取易存——不分时间、不分地域，随用随取。因此，数学知识与技能本身已不是学生在数学学习过程中最为要紧的教育内容。更由于人类从事教育的基本目的是为了满足自身的生存与发展的需要，而在未来多变的环境中，新问题层出不穷，因而获取新的知识（技能）以及应用它们解决问题的能力已被认为是未来公民必备的素养。因此，在今天的数学教育过程中，“促进学生的发展”的诸内涵中最有价值的无疑是“能力与智慧的教育”。当然，“能力与智慧的教育”活动并不排斥“经验与事实的教育”和“知识与技能的教育”，事实上，在具体的教育过程中，获得知识、掌握技能都是学生发展智慧必不可少的。
但是当获得知识、掌握技能与提高能力、发展智慧相冲突的时候，通常是舍弃前者，而维护提高能力、发展智慧的终极目标。
上述关于数学教育的认知与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课程标准”）中关于四维课程目标，特别是其间关系的论述是吻合的。对此，课程标准给出了这样的表述：总目标的这四个方面（按：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度）不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体……数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。
需要明确的是，这里所说的“智慧”并不指个体的天赋潜能，而是指“其经过后天长期、有意识的发展所获得的对环境的一种反应特征”。学生的能力与智慧并不能被直接观察到，也不完全表现为对结果的拥有量，而体现在其活动（思考与操作等）过程之中，比如，“获取信息的方法、实验的技巧、对事物本质的思考、解决问题的策略等”。因此，学生只有经历这些活动过程，才可能是接受“能力与智慧的教育”。换言之，它是一种过程性教育。除此之外，由于能力和智慧都屬于个体的心理品质，其表现与发展都有着极为明显的个性化特征，因此，对广大的中小学数学教师而言，若要在数学教学过程中践行“能力与智慧的教育”，则首先应当了解学生群体的数学学习心理规律，它包括：数学学习的性质、数学学习的发生、数学学习的过程、数学学习的方法、学生数学行为的变化、数学学习的迁移，等等；还包括学生个体的数学思维特征，即作为学习活动主体的学生是怎样学习数学的。唯有如此，教师才能真正设计出有益于发展学生能力与智慧的教学活动。
实际教学过程中，学生的数学思维特征究竟是如何表现的？看下面的案例——
图1是一个平行四边形，其中，AC、BD交于O，写出图中所有的线段。
一种典型的答案是：AB、AC、AD、AO；BC、BD、BO；CD、CO；DO。
这样的答案习惯被称为“字典排列”式：将代表线段的所有字母按照字典排列顺序，一一列出。这样的排列呈现出明显的“序”特征，与图形自身所具有的特征没有明显的关联。
而表现图形特征的答案有以下几种：
（1）AB、BC、CD、DA；AC、BD；AO、OC；BO、OD；
（2）AB、BC、CD、DA；AO、OC、AC；BO、OD、BD；
（3）OA、OC、AC；OB、OD、BD；AB、BC、CD、DA；
这些答案明显借助了图形的特征：由外至内（或由内往外），围绕中心点对称标注。
具备以上两类不同思维（前者被称为代数思维，后者被称为图形思维）特征的学生，都存在于我们的数学课堂。而他们在面对不同形式表达的学习对象，或面对不同的学习任务时，有明显的“长”与“短”的表现。以“分数”内容的学习为例——具备代数思维特征的学生习惯以数字表述分数，比较擅长分数计算；而具备图形思维特征的学生则更习惯于用图形刻画分数，对分数大小关系较为敏感。但整体上看，两种思维特征并无优劣之分。
这一案例说明：同一个数学学习对象对于具有不同数学思维特征的学生而言，“难度”是不一样的，所谓“难”，并不一定是因为这个学生的学习基础不好或者理解能力较差，而只是因为他的思维特征不太适合这个学习对象的呈现形式。教师了解这一点，无疑有利于其设计教学，而学生了解这一点，也有利于其准确评价自己的数学学习状况。
二、如何了解学生是怎样学数学的
关于如何在实践中了解学生是怎样学数学的，笔者尝试给出以下几点建议。
（一）学习理论
作为教学实践工作者，一线教师为了能够真正了解学生的数学思维，无疑首先需要学习关于学生数学学习心理的相关知识，这方面有许多学习理论可以借鉴，比如行为主义、认知发展、建构主义等等。 1.行为主义理论。该理论认为，学习是个体对环境的反应。数学学习就是“形成联结”——学生在各种“刺激—反应”之间形成一个牢固的联结。比如，在“概念的名称与定义”之间，在“问题的类型与固定解法”之间等等。数学学习重在“数学行为”的获得。
学习计算的目的就是学会正确计算，而计算学习的成功关键在于强化。例如，通过安排不同形式（组合）的大量的反复练习，使学生熟练掌握相关的知识和技能。
2.认知发展理论。该理论认为，学习是个体作用于环境，而不是环境引起人的行为。按照皮亚杰的观点，数学学习的过程是个体对于数学学习对象认知图式的不断发展过程，即同化—顺应—平衡；而且，这种发展表现出一个带有普遍意义的阶段性，具体有四个阶段：感知运动阶段（0～2岁），前运算阶段（2～7岁），具体运算阶段（7～12岁），形式运算阶段（12岁以后）。
例如，就几何知识的学習而言，首先应当让学生在“具体运算阶段”接触现实世界中的学习对象——立体，而后在“形式运算阶段”研究平面图形，因为它们是抽象了的形式化对象。
3.建构主义理论。该理论认为，学生的数学学习过程不是简单地“被告知”，即不能简单地通过听讲掌握数学知识，应当是学生的“自我建构”过程——学生在有意义的学习情境中，基于自我原有的相关知识、经验和对环境的
认知等，通过自主活动建构自己对数学学习对象的理解。因此，真正的数学学习应当建立在学生已有基础之上
，学生是数学学习活动的主动参与者，每个学生通过活动所获得的是自己对
学习对象的理解。
例如，关于负数运算的学习。学生在学习负数运算以前，已经获得了有关“数的运算”的若干观念，他们会把这些观念自动地带进负数运算的学习过程中。遗憾的是，其中的一些重要观念并不适用于负数运算的情形，比如，越加越大、部分小于整体、较小数与较大数的比一定小于较大数与较小数的比等等。这些观念的识别与重新建立，应当通过学生自己的认知活动来实现，而不是被书本或者教师所告知。因此，按照建构主义的观点，教师不应当直接指出这些现象，甚至给出正确的答案。他们应当做的是：提供学习的素材与机会，让学生在处理素材的过程中发现“不和谐”之处，寻找合理的解释，与他人交流，进而构建自己对“负数运算”性质的理解。
课程标准指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生
应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。由此可见，课程标准意义下的数学学习，更与上述
理论所表述的数学学习观相近。
（二）设计活动
如课程标准所述，学生的数学学习应当是一种数学活动的学习，其中包含观察、实验、猜测、计算、推理、验证、交流等活动方式，而对学生个体数学思维情况（方式、过程、特征等）的了解必须基于活动过程进行。因此，设计一个富有理解空间、容纳多种理解方式、能够暴露学生思维过程，并预留足够理解时间的数学活动，是了解学生个体数学思维情况的前提。
例如，对于问题“小明5年以前的年龄和小兵5年以后的年龄相同，他现在的年龄是小兵年龄的3倍，今年他们的年龄分别是多少”，
不宜采用直接告知（讲解）的方式——用数学语言表达条件（文字题式的翻译），即年龄之差是10，又有3倍的关系，可以算出5、15；而应设计能够引发学生思考的活动过程，并在活动过程中向学生提供必要的帮助。让学生自己先猜：你觉得小明和小兵今年会是什么年龄？如果猜测不对，换哪两个数？如果还是不对，启发学生思考：应该换什么样的数，为什么？如果学生的思考仍有困难，鼓励他们回头思考问题的含义，比较两次（几次）错误答案的特点，找两个“看上去”可能对的数……
（三）交流互动
我们知道，“了解”的含义不仅仅是“看到”或“听到”学生是怎么做（思考）的，更重要的是理解其做（思考）背后的原因或者理由。这样的理解过程必须借助与学生的交流互动来进行。
例如，在学生学习分数运算的过程中，仅仅让他们做大量、复杂的分数四则运算，即使其操作结果又快又准，也不一定有助于学生提高对分数运算的理解水平。事实上，与分数运算相关的数学核心要义有两个：运算对象的计量单位一致（两者能够运算的前提），运算的含义准确（保证运算正确实施）。而要了解学生对这两个要义的理解情况，必须与他们交流：为什么两个分数相加需要通分，两个分数相乘不需要通分？你愿意用什么方式表达自己的理解？
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 【英】Richard.R.Skemp.数学学习心理学[M].林义雄，陈泽明译.台北：九章出版社，1992.
[3] 史宁中.教育与数学教育[M].长春：东北师范大学出版社，2006.