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【摘 要】从四个方面阐述数学“难题”教学的化“易”方法：引入具体感性材料，有效降低教学难度；划分若干教学层次，有效降低教学难度；提炼普遍思想方法，有效降低教学难度；科学设计课后练习，有效降低教学难度。
【关键词】数学 “难”题化“易” 感性材料 教学层次 思想方法 设计练习
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）01B-0110-02
数学学习进入高中阶段之后，知识内容的难度明显提升了。这给教学活动的高效开展带来了挑战，也被学生所感知，使其学习心理产生了一定变化。很多学生进入高中学习后，没有做好学习状态的转化与衔接，导致对新的知识结构与难度级别很不适应，学习效果欠佳，最终对数学学习产生畏惧，甚至是厌恶的心理。这严重阻碍高中数学教学实效的提升。因此，教师有必要寻找一些合理的方式，在不改变预设教学内容的前提下降低教学难度，为学生的知识学习降低门槛铺平道路。
一、引入具体感性材料，有效降低教学难度
学生对某个数学知识难度的感知，往往是从第一次接触到这个知识内容的时候便开始了。正如同一个人给大家留下的第一印象，会在很大程度上影响人们对他的看法一样。如果学生在刚刚开始和一个知识打交道时便感到很困难，接下来要想轻松地学习也就无从谈起了。因此，降低高中数学教学难度的第一步，就是在知识内容的引入阶段降低难度，以学生喜闻乐见并容易接受的方式将其呈现出来。
例如，在对指数函数的内容进行教学时，笔者先向学生引入了这样一个实际情景。已知，一张白纸的厚度是0.1毫米，将它反复对折15次之后，其厚度可以超过一个身高2米的人！对于这个判断，学生都表示难以置信。于是，笔者带领大家依据题意列出算式：将白纸对折一次的厚度是 0.1×2=0.2（毫米），对折两次的厚度是 0.1×22=0.4（毫米），对折到第十五此时，其厚度便应该是 0.1×215。通过计算器辅助计算，最终结果竟然是 3276.8毫米！这个出人意料的结果让学生非常直接地从感性上对指数函数y=ax的形式与内涵都进行了初步感知，为全面教学提供了一个很好的开端。
将知识内容的呈现难度降低的方式多种多样，上述案例所阐述的是通过引入具体感性材料的方式来降低教学难度。所谓感性材料，就是与抽象的概念理论相对的，能被大家实际感知到的事物。具体感性材料的运用，能够很好地将看似遥不可及的数学知识变得触手可及，大大缩短抽象理论与现实生活之间的距离，让知识内容具体化、实际化。这样一来，学生在初次接受知识内容时，便不会被晦涩的理论语言吓到。入门难度降低了，下面的教学开展自然顺利很多。
二、划分若干教学层次，有效降低教学难度
同样的教学内容，以不同的形式在课堂上予以呈现，所体现出的教学难度是具有较大差异的。也就是说，教师需要通过变换知识的展现与推进方式，来改善学生在面对知识内容时的心理状态和对难易程度的实际感受。笔者在实际教学过程当中，对引发学生学习畏难情绪的原因进行了深入分析，最终发现，最为根本的因素还是在于教学内容的难度提升过于突兀，学生从心理上来不及适应。因此，想要降低教学难度，就要把重点放在缩短知识难度台阶的高度上。较为理想的方式就是将教学内容划分难度梯度逐一呈现。
例如，在学习平面几何知识时，笔者曾经向学生提出过这样一个问题：已知椭圆的左焦点是F（-c，0），离心率是 ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线 FM被圆所截得的线段长度是 c，。那么，设动点 P 在该椭圆上，若直线 PF 的斜率大于，则直线 OP（O是原点）的斜率的取值范围如何？这个问题对于学生来讲的难度着实不小，大家一时间不知该从何方向切入思考。于是，笔者请大家在解答这个问题前，先尝试分别求出直线 FM 的斜率以及椭圆的方程。这个简单的提示，将求解本题的求解难度大大降低了，前两个问题就像是为学生所搭建起来的突破难度的解题平台，让大家得以在求解中得到启发，为最终的最高难度问题的思考提供支撑。
当我们想要登上一个很高的地方时，可以借助台阶，将一个较大的高度分为几个小高度分步完成。接连迈几个高度适中的台阶，其难度远远要比一下子迈上一个能力范围以外的高度要轻松多了，同样是达到了相等的高度，效率却提高了很多。划分难度层次进行课堂教学，正是运用了这个道理。与其要求学生一步到位去接受难度很大的知识内容，不如将较高的难度进行分割。分层次予以接受，学生的思维压力自然减轻很多，教学效果也就随之提升了。
三、提炼普遍思想方法，有效降低教学难度
高中阶段出现的很多难题，其主要难在学生缺乏对数学思想方法的掌握。从具体知识内容当中寻找思想方法的影子，并将之抽象提炼出来，形成针对某一类问题的解答方式，是高中数学学习区别于从前的一大特点。也就是说，想要把高中数学学好，重点在对思想方法的宏观把握上，这也是降低解题难度的关键。掌握了方法，以之调控整个思维发展，再复杂的题目都可以得出清晰的思路，反之，学生会被大量的知识内容扰乱思路，导致解题无从下手。
例如，在对线性规划的内容进行教学时，笔者并没有直接告知学生应当如何解决相关问题，而是先请学生尝试解答一道比较典型的题目：
已知，变量 x，y 满足约束条件，那么，z=2x-y 的最小值是多少？
很多学生看到这个问题毫无解答思路。于是，笔者不断启发学生结合不等式的含义，尝试将已知条件在平面直角坐标系当中予以体现。大家开始大胆以图形的方式对题目条件展开“翻译”，最终成功找到了 z=2x-y 所代表的区域（如图1所示）。在这部分内容的教学过程中，之所以花时间让学生亲身来感受，不仅为了教会大家解答线性规划问题本身，而是将数形结合的重要思想植根于学生头脑当中。这种思想方法将是学生日后学习解题的有力武器，具有普遍的适用意义。 在以前的学习过程中，学生的学习重点始终集中在对一个个具体知识点的理解上，很少将其上升到系统方法的高度上。对普遍思想方法的提炼，实现了高中数学学习思维科学高效的升华。在这个过程中，教师需要起到积极的引导启发作用，帮助学生找到方法提炼的诀窍，得以自主降低问题解答的难度。
四、科学设计课后练习，有效降低教学难度
每次知识教学完成之后，课后练习都是必不可少的一个环节。这不仅是巩固所学知识的有效途径，而且更是降低教学难度的有力辅助。笔者通过加强对课后练习的科学设计，让学生在完成作业的过程中，更加灵活、深刻地理解了知识。有此作为基础，相关教学开展的难度自然得到降低。
例如，笔者曾经在课后作业中为学生布置了这样一道练习题：已知，实数x，y 满足，那么，x的取值范围是什么？这道题目看似简单，但其解答过程当中却实现了多种知识方法的结合。学生需要先令，对已知条件进行换元，通过化简变换最终得出的结论。随后，还需要以此得出，点（a，b）的轨迹是以（1，2）为圆心，为半径的圆在 a，b≥0 的部分（如图2）。由此，题目所求可以根据图象所示顺利得出。一道作业题中，却同时包含了对学生多种知识内容与解题方法的考察。对这道题的理解与把握，无疑是对既有所学的深入推进。
在设计课后练习时，笔者经常会有意识地将习题形式进行创新设计，尽可能地让知识练习密度增加，节约练习时间。同时将练习内容设计得灵活且有深度，让大家在最少的作业中得到最大的能力提升。坚实的知识基础是顺利学习的根本驱动力。以作业的途径为随后新知识的学习打好基础，对于降低整个教学过程的难度来讲是很有必要的。
不少师生认为，高中阶段数学教学难度的提升是由知识内容本身的难易程度决定的，只要按照计划内容进行教学，就没办法左右这个难度。实则不然。经过长时间的教学实践后发现，决定教学难度的因素除了知识内容本身之外，还有教师的教学方法。通过采取科学巧妙的方式，将知识内容生动灵活、循序渐进地呈现出来，并由教师及时点拨，对所学知识进行升华与巩固。学生在接受知识的过程中感到顺利很多的同时，还能够很快站在更高的学习视角上看待知识内容，实现高中数学学习的优质和高效。这种教学思路不仅适用于某一道难题的解答，而且更应当将之普及于整个高中数学的教学过程里，让学生得以在最低的思维难度中最好地掌握知识。
（责编 卢建龙）
【关键词】数学 “难”题化“易” 感性材料 教学层次 思想方法 设计练习
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）01B-0110-02
数学学习进入高中阶段之后，知识内容的难度明显提升了。这给教学活动的高效开展带来了挑战，也被学生所感知，使其学习心理产生了一定变化。很多学生进入高中学习后，没有做好学习状态的转化与衔接，导致对新的知识结构与难度级别很不适应，学习效果欠佳，最终对数学学习产生畏惧，甚至是厌恶的心理。这严重阻碍高中数学教学实效的提升。因此，教师有必要寻找一些合理的方式，在不改变预设教学内容的前提下降低教学难度，为学生的知识学习降低门槛铺平道路。
一、引入具体感性材料，有效降低教学难度
学生对某个数学知识难度的感知，往往是从第一次接触到这个知识内容的时候便开始了。正如同一个人给大家留下的第一印象，会在很大程度上影响人们对他的看法一样。如果学生在刚刚开始和一个知识打交道时便感到很困难，接下来要想轻松地学习也就无从谈起了。因此，降低高中数学教学难度的第一步，就是在知识内容的引入阶段降低难度，以学生喜闻乐见并容易接受的方式将其呈现出来。
例如，在对指数函数的内容进行教学时，笔者先向学生引入了这样一个实际情景。已知，一张白纸的厚度是0.1毫米，将它反复对折15次之后，其厚度可以超过一个身高2米的人！对于这个判断，学生都表示难以置信。于是，笔者带领大家依据题意列出算式：将白纸对折一次的厚度是 0.1×2=0.2（毫米），对折两次的厚度是 0.1×22=0.4（毫米），对折到第十五此时，其厚度便应该是 0.1×215。通过计算器辅助计算，最终结果竟然是 3276.8毫米！这个出人意料的结果让学生非常直接地从感性上对指数函数y=ax的形式与内涵都进行了初步感知，为全面教学提供了一个很好的开端。
将知识内容的呈现难度降低的方式多种多样，上述案例所阐述的是通过引入具体感性材料的方式来降低教学难度。所谓感性材料，就是与抽象的概念理论相对的，能被大家实际感知到的事物。具体感性材料的运用，能够很好地将看似遥不可及的数学知识变得触手可及，大大缩短抽象理论与现实生活之间的距离，让知识内容具体化、实际化。这样一来，学生在初次接受知识内容时，便不会被晦涩的理论语言吓到。入门难度降低了，下面的教学开展自然顺利很多。
二、划分若干教学层次，有效降低教学难度
同样的教学内容，以不同的形式在课堂上予以呈现，所体现出的教学难度是具有较大差异的。也就是说，教师需要通过变换知识的展现与推进方式，来改善学生在面对知识内容时的心理状态和对难易程度的实际感受。笔者在实际教学过程当中，对引发学生学习畏难情绪的原因进行了深入分析，最终发现，最为根本的因素还是在于教学内容的难度提升过于突兀，学生从心理上来不及适应。因此，想要降低教学难度，就要把重点放在缩短知识难度台阶的高度上。较为理想的方式就是将教学内容划分难度梯度逐一呈现。
例如，在学习平面几何知识时，笔者曾经向学生提出过这样一个问题：已知椭圆的左焦点是F（-c，0），离心率是 ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线 FM被圆所截得的线段长度是 c，。那么，设动点 P 在该椭圆上，若直线 PF 的斜率大于，则直线 OP（O是原点）的斜率的取值范围如何？这个问题对于学生来讲的难度着实不小，大家一时间不知该从何方向切入思考。于是，笔者请大家在解答这个问题前，先尝试分别求出直线 FM 的斜率以及椭圆的方程。这个简单的提示，将求解本题的求解难度大大降低了，前两个问题就像是为学生所搭建起来的突破难度的解题平台，让大家得以在求解中得到启发，为最终的最高难度问题的思考提供支撑。
当我们想要登上一个很高的地方时，可以借助台阶，将一个较大的高度分为几个小高度分步完成。接连迈几个高度适中的台阶，其难度远远要比一下子迈上一个能力范围以外的高度要轻松多了，同样是达到了相等的高度，效率却提高了很多。划分难度层次进行课堂教学，正是运用了这个道理。与其要求学生一步到位去接受难度很大的知识内容，不如将较高的难度进行分割。分层次予以接受，学生的思维压力自然减轻很多，教学效果也就随之提升了。
三、提炼普遍思想方法，有效降低教学难度
高中阶段出现的很多难题，其主要难在学生缺乏对数学思想方法的掌握。从具体知识内容当中寻找思想方法的影子，并将之抽象提炼出来，形成针对某一类问题的解答方式，是高中数学学习区别于从前的一大特点。也就是说，想要把高中数学学好，重点在对思想方法的宏观把握上，这也是降低解题难度的关键。掌握了方法，以之调控整个思维发展，再复杂的题目都可以得出清晰的思路，反之，学生会被大量的知识内容扰乱思路，导致解题无从下手。
例如，在对线性规划的内容进行教学时，笔者并没有直接告知学生应当如何解决相关问题，而是先请学生尝试解答一道比较典型的题目：
已知，变量 x，y 满足约束条件，那么，z=2x-y 的最小值是多少？
很多学生看到这个问题毫无解答思路。于是，笔者不断启发学生结合不等式的含义，尝试将已知条件在平面直角坐标系当中予以体现。大家开始大胆以图形的方式对题目条件展开“翻译”，最终成功找到了 z=2x-y 所代表的区域（如图1所示）。在这部分内容的教学过程中，之所以花时间让学生亲身来感受，不仅为了教会大家解答线性规划问题本身，而是将数形结合的重要思想植根于学生头脑当中。这种思想方法将是学生日后学习解题的有力武器，具有普遍的适用意义。 在以前的学习过程中，学生的学习重点始终集中在对一个个具体知识点的理解上，很少将其上升到系统方法的高度上。对普遍思想方法的提炼，实现了高中数学学习思维科学高效的升华。在这个过程中，教师需要起到积极的引导启发作用，帮助学生找到方法提炼的诀窍，得以自主降低问题解答的难度。
四、科学设计课后练习，有效降低教学难度
每次知识教学完成之后，课后练习都是必不可少的一个环节。这不仅是巩固所学知识的有效途径，而且更是降低教学难度的有力辅助。笔者通过加强对课后练习的科学设计，让学生在完成作业的过程中，更加灵活、深刻地理解了知识。有此作为基础，相关教学开展的难度自然得到降低。
例如，笔者曾经在课后作业中为学生布置了这样一道练习题：已知，实数x，y 满足，那么，x的取值范围是什么？这道题目看似简单，但其解答过程当中却实现了多种知识方法的结合。学生需要先令，对已知条件进行换元，通过化简变换最终得出的结论。随后，还需要以此得出，点（a，b）的轨迹是以（1，2）为圆心，为半径的圆在 a，b≥0 的部分（如图2）。由此，题目所求可以根据图象所示顺利得出。一道作业题中，却同时包含了对学生多种知识内容与解题方法的考察。对这道题的理解与把握，无疑是对既有所学的深入推进。
在设计课后练习时，笔者经常会有意识地将习题形式进行创新设计，尽可能地让知识练习密度增加，节约练习时间。同时将练习内容设计得灵活且有深度，让大家在最少的作业中得到最大的能力提升。坚实的知识基础是顺利学习的根本驱动力。以作业的途径为随后新知识的学习打好基础，对于降低整个教学过程的难度来讲是很有必要的。
不少师生认为，高中阶段数学教学难度的提升是由知识内容本身的难易程度决定的，只要按照计划内容进行教学，就没办法左右这个难度。实则不然。经过长时间的教学实践后发现，决定教学难度的因素除了知识内容本身之外，还有教师的教学方法。通过采取科学巧妙的方式，将知识内容生动灵活、循序渐进地呈现出来，并由教师及时点拨，对所学知识进行升华与巩固。学生在接受知识的过程中感到顺利很多的同时，还能够很快站在更高的学习视角上看待知识内容，实现高中数学学习的优质和高效。这种教学思路不仅适用于某一道难题的解答，而且更应当将之普及于整个高中数学的教学过程里，让学生得以在最低的思维难度中最好地掌握知识。
（责编 卢建龙）