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摘 要：数学练习课是为巩固数学学习效果，通过适量、适度的练习题，达到使学生掌握知识和形成技能为目的的课堂教学形式。小学数学“图形与几何”领域的练习课教学中，要根据学生的学习起点和教学目标精心设计课堂练习题，在落实“四基”的基础上，利用多种途径发展学生的空间观念，学会用图形思考、想象问题，进而培养学生的几何直观能力。
关键词：练习课；学习起点；空间观念
数学练习课是为巩固数学学习效果，通过适量、适度的练习题，达到使学生掌握知识和形成技能为目的的课堂教学形式。练习课的练习设计不但要认真钻研教材，吃透习题设计的意图，同时结合学生作业中出现的各类错误问题，对教材提供的习题做针对性的调整、组合或改编。特别是小学数学“图形与几何”领域的练习课教学中，要根据学生的学习起点和教学目标精心设计课堂练习题，在落实“四基”的基础上，关注发展学生的空间观念和几何直观能力的培养。下面笔者以《圆锥体积练习课》为例，谈谈教学前测及分析、练习的设计以及教学实践与反思。
一、了解学生学习起点
为了解学生的学习起点，引领学生更有效地开展学习活动，在练习课教学前我对《圆锥的体积》新授课后学生的作业情况进行了调查及相关的前测，对信息进行了汇总分析，并以此为依据进行了练习设计。
（一）了解方式和对象
主要以统计学生作业本错误题型并结合前测题的方式进行调查，人数为50人。
（二）了解内容和结果汇总
（三）调查情况分析
基础知识起点：学生基本掌握圆锥的体积计算公式，作业中只有12%的学生将圆锥的计算公式和圆柱的体积计算公式混淆，没有乘■，表明学生对圆锥体积的计算方法掌握较好。
基本技能起点：学生计算的能力有待提高，特别是小数的乘除法计算错误约16%；部分学生审题欠仔细，常常把题目中的一些信息混淆，导致解题错误；前测题中发现约70%的学生无法完成从二维空间到三维空间的转换，想象不出旋转后图形的形状，表明学生的空间观念有待提高，在解题的过程中，大部分学生没有画图的习惯。
基本思想起点：学生经历了圆锥体积计算公式的推导过程，具备初步的转化思想，也具备了一定的数形结合的思想。
基本活动经验起点：学生在解题时借助图形分析题意的活动经验比较欠缺。
情感态度起点：本学段的学生大部分具备一定的独立思考能力，85%的学生学习这一内容兴趣浓厚，有强烈的自信心。
二、练习设计对策
根据学生作业情况和前测题的分析，大部分学生能较好地掌握计算圆锥体积及解决相关问题的基础知识和基本技能，但是学生的空间想象能力不足，解决问题的过程中缺乏画图的能力。因而本节练习课设计，在加强圆锥体积计算基础知识回顾和基本技能练习的基础上，重点沟通圆锥和圆柱体积计算的内在联系，在练习中强调画图的策略，积累解决图形问题时画图的活动经验，发展学生的空间观念。
（一）结合学生起点，夯实基础知识和基本技能
调查学生的作业发现一些典型的错误，为使一部分学生能再次回顾圆锥体积计算的基本方法，落实基本的教学目标，设计了如下第一层次的练习：
1. 如图1，圆锥的体积是（ ）dm3。
2. 与这个圆锥等底等高的圆柱，体积是（ ）dm3。
3. 一堆煤成圆锥形，底面半径是2米，高1.5米，如果每立方米的煤重1.4吨，这堆煤约有多少吨？（得数保留整数）
作业调查中发现大部分学生能掌握圆锥体积的计算方法，但也有许多的典型错误存在，例如题目中的信息辨别不清，圆锥的体积公式和圆柱混淆，常规的计算错误等。针对这些错误类型，在分析学生作业错误原因的基础上安排了上述练习，旨在进一步巩固圆锥体积计算的方法，同时再次沟通等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，强化圆锥体积计算时要乘的原因。结合实际问题情景的解决，让学生体验数学知识的实际价值，并提高学生的计算能力。
（二）经历想象、操作，发展学生空间观念
1. 图2是一个直角三角形，如果以某一条直角边所在的直线为轴旋转一周，会形成什么图形？
（1）把你想到的图形在作业纸上画一画。
（2）有困难的学生可以借助老师的学具转一转，再来画。
（3）选择一个旋转后形成的立体图形，计算它的体积。
①学生思考后动手画一画；②同桌交流；③全班反馈，电脑演示；④计算并反馈。
■
2. 如果现在沿着这个直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周。
（1）想象会形成怎样的立体图形？
（2）请你画一画。
（3）这样的立体图形的体积你会计算吗？谁来说说计算的思路。
3. 如果现在是这样的一个钝角三角形（如图3），以某一条边所在的直线为轴旋转一周，分别会形成怎样的立体图形？你能想象出吗？
【设计意图：培养学生的“几何直观”是图形与几何教学的核心理念，而想象和画图是培养学生几何直观能力有效的途径之一。从一个平面的直角三角形入手，让学生先想象旋转后的图形的形状，再画出这样的立体图形，进而选择一个圆锥进行体积的计算，这样的设计不但进一步巩固了圆锥体积的计算方法，而且有效地培养了学生的空间观念，学生的思维从一维空间发展到二维空间。同时沿斜边的旋转和钝角三角形的旋转，提升了思维的含量，激发了学生的探索欲望。】
（三）观察思考探索规律，培养学生推理能力
1. 根据下面的信息，先想象出图形，再按照图（1）的比例画一画。
图（1）：圆柱的半径4 cm，高4 cm；图（2）：圆锥的直径8 cm，高12 cm。
图（3）：圆锥的半径8 cm，高6 cm；图（4）：圆锥的直径16 cm，高3 cm。 （1）学生想象；
（2）学生画一画；
（3）全班反馈。
2. 图4中的4个图形，哪几个图形的体积相等？你是怎样解决这个问题的？
3. 观察思考，从这张表格中你发现了什么？
4. 应用提升。（先画草图，再解答。）
（1）如果一个圆锥和一个圆柱，体积和底面积相等，圆锥的高是15 cm，圆柱的高是（ ）cm。
（2）两个体积相等的圆锥，圆锥A的高是圆锥B的2倍。如果圆锥A的底面积是20 dm2，那么圆锥B的底面积是（ ）dm2。
【设计意图：课标指出“学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力，这种能力的培养要贯穿于数学教学的全过程”。因此，这题设计时让学生根据提供的信息先想象出这个立体图形，再画出这个立体图形，就是把头脑中的几何形象进行物化，这是一种培养学生几何直观的有效方法。把学生课堂生成的信息汇总成表，让学生进行观察探索，培养了学生的分析、推理和综合的能力，沟通了圆柱和圆锥体积计算之间的内在联系，更是突出了体积与底面积和高之间的关系，激发了学生探索数学的欲望。】
（四）实践尝试应用，体验数学价值
1. 有一段圆柱形钢材，要加工成一个零件（如图5），已知圆锥部分的高和圆柱部分的高相等。结合图形：
（1）你能提出什么数学问题？
（2）要解决这个问题，需要知道哪些信息？
（3）根据下面的信息，你有哪些解决的方法？
信息1：圆柱的底面积是12.56平方厘米。
信息2：圆柱的高是6厘米。
信息3：削去部分的体积是50.24立方厘米。
2. 介绍沙漏。
沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计算时间的。你能求出图6中沙漏上部和下部沙子的体积吗？
【设计意图：图形练习课的练习不要太强求基本技能的训练，要关注学生解决问题的不同策略能力的培养。设计这样的一个综合题，看似简单，其实是让学生经历解决问题的全过程，在解决问题的过程中培养学生转化的思路，体验到解决问题时不同策略的有效性。课的最后结合沙漏知识的介绍，渗透我国数学文化的博大精深，更给部分优秀学生继续探索数学知识的平台，感受数学的实际价值。】
三、整体反思
《数学课程标准（2011版）》明确指出：“图形与几何”的课程内容，是以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开的，而这三个核心理念应当贯穿“图形与几何”教学的全过程。以往这一领域新授课的教学比较关注 “四基”的落实，而在相关的练习课中则重视学生基础知识的巩固和基本技能的熟练与提高，对于基本数学思想和基本数学活动经验的关注相对较少，对于上述三个核心理念的渗透则更加忽视。因此，本课的设计，摒弃以训练解题能力获取解题技巧为目的的设计理念，主要有以下几点思考：
1. 关注学生的学习起点，设计有针对性的练习，做到层次分明，有保有升。
第一个环节的错例分析，教学信息来源于学生，让学生在观察、分析、归纳的过程中巩固圆锥体积计算的基础知识，同时通过错误原因的分析培养了学生良好的作业习惯。这样设计是为实现本课第一层次的教学目标暨通过练习进一步巩固圆锥体积计算的方法，能比较准确地计算圆锥的体积并解决相关实际问题。后面的几个练习设计层次清晰，练习目的明确，体现出练习设计时要关注的层次性原则。
2. 利用多种途径发展学生的空间观念。
课标指出，生活经验的回忆和再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要经验的不断积累、想象力的丰富。因此教学中，笔者为学生提供了足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析，同时在教学中让学生逐步养成画图的习惯，这样的练习设计，不但有基础知识的巩固和基本技能的提升，更重视了学生空间观念的发展和学习能力的提升。
3. 重视图形的变换，在图形运动的过程中培养学生的几何直观。
课标指出，要在学生思考、想象的过程中发展空间观念，培养几何直观。因而，本课的第二个练习就是借助一个直角三角形，让学生先想象再画图，最后借助课件动态演示，经历由平面图形旋转形成立体图形的探索全过程。在探索的过程中，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的思维能力。同时，由沿直角边旋转到沿斜边旋转，由直角三角形的旋转到钝角三角形的旋转，想象难度提升，给了优秀学生探索的平台。
综上所述，图形与几何的练习课设计除了让学生掌握“四基”外，更为重要的是通过练习培养学生的几何直观能力。要结合学生的实际，关注学生的学习起点，设计有针对性的、利于学生想象和操作的练习题，在学生动手、动脑、动口的过程中培养学生的几何直观能力，做到“下要保底，上不封顶”，最终达到改变学习方式、提升数学素养、发展学生空间观念的目的。
关键词：练习课；学习起点；空间观念
数学练习课是为巩固数学学习效果，通过适量、适度的练习题，达到使学生掌握知识和形成技能为目的的课堂教学形式。练习课的练习设计不但要认真钻研教材，吃透习题设计的意图，同时结合学生作业中出现的各类错误问题，对教材提供的习题做针对性的调整、组合或改编。特别是小学数学“图形与几何”领域的练习课教学中，要根据学生的学习起点和教学目标精心设计课堂练习题，在落实“四基”的基础上，关注发展学生的空间观念和几何直观能力的培养。下面笔者以《圆锥体积练习课》为例，谈谈教学前测及分析、练习的设计以及教学实践与反思。
一、了解学生学习起点
为了解学生的学习起点，引领学生更有效地开展学习活动，在练习课教学前我对《圆锥的体积》新授课后学生的作业情况进行了调查及相关的前测，对信息进行了汇总分析，并以此为依据进行了练习设计。
（一）了解方式和对象
主要以统计学生作业本错误题型并结合前测题的方式进行调查，人数为50人。
（二）了解内容和结果汇总
（三）调查情况分析
基础知识起点：学生基本掌握圆锥的体积计算公式，作业中只有12%的学生将圆锥的计算公式和圆柱的体积计算公式混淆，没有乘■，表明学生对圆锥体积的计算方法掌握较好。
基本技能起点：学生计算的能力有待提高，特别是小数的乘除法计算错误约16%；部分学生审题欠仔细，常常把题目中的一些信息混淆，导致解题错误；前测题中发现约70%的学生无法完成从二维空间到三维空间的转换，想象不出旋转后图形的形状，表明学生的空间观念有待提高，在解题的过程中，大部分学生没有画图的习惯。
基本思想起点：学生经历了圆锥体积计算公式的推导过程，具备初步的转化思想，也具备了一定的数形结合的思想。
基本活动经验起点：学生在解题时借助图形分析题意的活动经验比较欠缺。
情感态度起点：本学段的学生大部分具备一定的独立思考能力，85%的学生学习这一内容兴趣浓厚，有强烈的自信心。
二、练习设计对策
根据学生作业情况和前测题的分析，大部分学生能较好地掌握计算圆锥体积及解决相关问题的基础知识和基本技能，但是学生的空间想象能力不足，解决问题的过程中缺乏画图的能力。因而本节练习课设计，在加强圆锥体积计算基础知识回顾和基本技能练习的基础上，重点沟通圆锥和圆柱体积计算的内在联系，在练习中强调画图的策略，积累解决图形问题时画图的活动经验，发展学生的空间观念。
（一）结合学生起点，夯实基础知识和基本技能
调查学生的作业发现一些典型的错误，为使一部分学生能再次回顾圆锥体积计算的基本方法，落实基本的教学目标，设计了如下第一层次的练习：
1. 如图1，圆锥的体积是（ ）dm3。
2. 与这个圆锥等底等高的圆柱，体积是（ ）dm3。
3. 一堆煤成圆锥形，底面半径是2米，高1.5米，如果每立方米的煤重1.4吨，这堆煤约有多少吨？（得数保留整数）
作业调查中发现大部分学生能掌握圆锥体积的计算方法，但也有许多的典型错误存在，例如题目中的信息辨别不清，圆锥的体积公式和圆柱混淆，常规的计算错误等。针对这些错误类型，在分析学生作业错误原因的基础上安排了上述练习，旨在进一步巩固圆锥体积计算的方法，同时再次沟通等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，强化圆锥体积计算时要乘的原因。结合实际问题情景的解决，让学生体验数学知识的实际价值，并提高学生的计算能力。
（二）经历想象、操作，发展学生空间观念
1. 图2是一个直角三角形，如果以某一条直角边所在的直线为轴旋转一周，会形成什么图形？
（1）把你想到的图形在作业纸上画一画。
（2）有困难的学生可以借助老师的学具转一转，再来画。
（3）选择一个旋转后形成的立体图形，计算它的体积。
①学生思考后动手画一画；②同桌交流；③全班反馈，电脑演示；④计算并反馈。
■
2. 如果现在沿着这个直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周。
（1）想象会形成怎样的立体图形？
（2）请你画一画。
（3）这样的立体图形的体积你会计算吗？谁来说说计算的思路。
3. 如果现在是这样的一个钝角三角形（如图3），以某一条边所在的直线为轴旋转一周，分别会形成怎样的立体图形？你能想象出吗？
【设计意图：培养学生的“几何直观”是图形与几何教学的核心理念，而想象和画图是培养学生几何直观能力有效的途径之一。从一个平面的直角三角形入手，让学生先想象旋转后的图形的形状，再画出这样的立体图形，进而选择一个圆锥进行体积的计算，这样的设计不但进一步巩固了圆锥体积的计算方法，而且有效地培养了学生的空间观念，学生的思维从一维空间发展到二维空间。同时沿斜边的旋转和钝角三角形的旋转，提升了思维的含量，激发了学生的探索欲望。】
（三）观察思考探索规律，培养学生推理能力
1. 根据下面的信息，先想象出图形，再按照图（1）的比例画一画。
图（1）：圆柱的半径4 cm，高4 cm；图（2）：圆锥的直径8 cm，高12 cm。
图（3）：圆锥的半径8 cm，高6 cm；图（4）：圆锥的直径16 cm，高3 cm。 （1）学生想象；
（2）学生画一画；
（3）全班反馈。
2. 图4中的4个图形，哪几个图形的体积相等？你是怎样解决这个问题的？
3. 观察思考，从这张表格中你发现了什么？
4. 应用提升。（先画草图，再解答。）
（1）如果一个圆锥和一个圆柱，体积和底面积相等，圆锥的高是15 cm，圆柱的高是（ ）cm。
（2）两个体积相等的圆锥，圆锥A的高是圆锥B的2倍。如果圆锥A的底面积是20 dm2，那么圆锥B的底面积是（ ）dm2。
【设计意图：课标指出“学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力，这种能力的培养要贯穿于数学教学的全过程”。因此，这题设计时让学生根据提供的信息先想象出这个立体图形，再画出这个立体图形，就是把头脑中的几何形象进行物化，这是一种培养学生几何直观的有效方法。把学生课堂生成的信息汇总成表，让学生进行观察探索，培养了学生的分析、推理和综合的能力，沟通了圆柱和圆锥体积计算之间的内在联系，更是突出了体积与底面积和高之间的关系，激发了学生探索数学的欲望。】
（四）实践尝试应用，体验数学价值
1. 有一段圆柱形钢材，要加工成一个零件（如图5），已知圆锥部分的高和圆柱部分的高相等。结合图形：
（1）你能提出什么数学问题？
（2）要解决这个问题，需要知道哪些信息？
（3）根据下面的信息，你有哪些解决的方法？
信息1：圆柱的底面积是12.56平方厘米。
信息2：圆柱的高是6厘米。
信息3：削去部分的体积是50.24立方厘米。
2. 介绍沙漏。
沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计算时间的。你能求出图6中沙漏上部和下部沙子的体积吗？
【设计意图：图形练习课的练习不要太强求基本技能的训练，要关注学生解决问题的不同策略能力的培养。设计这样的一个综合题，看似简单，其实是让学生经历解决问题的全过程，在解决问题的过程中培养学生转化的思路，体验到解决问题时不同策略的有效性。课的最后结合沙漏知识的介绍，渗透我国数学文化的博大精深，更给部分优秀学生继续探索数学知识的平台，感受数学的实际价值。】
三、整体反思
《数学课程标准（2011版）》明确指出：“图形与几何”的课程内容，是以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开的，而这三个核心理念应当贯穿“图形与几何”教学的全过程。以往这一领域新授课的教学比较关注 “四基”的落实，而在相关的练习课中则重视学生基础知识的巩固和基本技能的熟练与提高，对于基本数学思想和基本数学活动经验的关注相对较少，对于上述三个核心理念的渗透则更加忽视。因此，本课的设计，摒弃以训练解题能力获取解题技巧为目的的设计理念，主要有以下几点思考：
1. 关注学生的学习起点，设计有针对性的练习，做到层次分明，有保有升。
第一个环节的错例分析，教学信息来源于学生，让学生在观察、分析、归纳的过程中巩固圆锥体积计算的基础知识，同时通过错误原因的分析培养了学生良好的作业习惯。这样设计是为实现本课第一层次的教学目标暨通过练习进一步巩固圆锥体积计算的方法，能比较准确地计算圆锥的体积并解决相关实际问题。后面的几个练习设计层次清晰，练习目的明确，体现出练习设计时要关注的层次性原则。
2. 利用多种途径发展学生的空间观念。
课标指出，生活经验的回忆和再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要经验的不断积累、想象力的丰富。因此教学中，笔者为学生提供了足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析，同时在教学中让学生逐步养成画图的习惯，这样的练习设计，不但有基础知识的巩固和基本技能的提升，更重视了学生空间观念的发展和学习能力的提升。
3. 重视图形的变换，在图形运动的过程中培养学生的几何直观。
课标指出，要在学生思考、想象的过程中发展空间观念，培养几何直观。因而，本课的第二个练习就是借助一个直角三角形，让学生先想象再画图，最后借助课件动态演示，经历由平面图形旋转形成立体图形的探索全过程。在探索的过程中，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的思维能力。同时，由沿直角边旋转到沿斜边旋转，由直角三角形的旋转到钝角三角形的旋转，想象难度提升，给了优秀学生探索的平台。
综上所述，图形与几何的练习课设计除了让学生掌握“四基”外，更为重要的是通过练习培养学生的几何直观能力。要结合学生的实际，关注学生的学习起点，设计有针对性的、利于学生想象和操作的练习题，在学生动手、动脑、动口的过程中培养学生的几何直观能力，做到“下要保底，上不封顶”，最终达到改变学习方式、提升数学素养、发展学生空间观念的目的。