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【摘要】关于学前儿童乘法能力发展的研究大多集中在许多与一对应、乘法概念起源、乘法类型以及乘法问题解决策略等方面。已有研究成果对当前幼儿园开展数学教育有积极指导意义。本文通过对已有研究文献的综述，展望了今后的研究方向。
【关键词】学前儿童；乘法能力；研究综述
【中图分类号】G610 【文献标识码】A 【文章编号】1004-4604（2013）07/08-0077-04
乘法是一种运算方法。最简单的乘法。是对几个相同数连加的简便算法。例如。2 2 2 2 2.5个2相加，可以改为2乘以5，或者5乘以2进行计算。在我国，一般是在小学二年级上学期开始学乘法的。不过有相关研究表明，在学前阶段，儿童已经具备了一定的乘法能力，儿童在学前期获得的这些数学知识与技能会在一定程度上影响他们在小学阶段的数学学习。因此，研究学前儿童的乘法能力，有助于进一步了解儿童数学思维的发展状况，为儿童日后更好地适应小学学习提供帮助。目前已有的关于学前儿童乘法能力发展的研究主要集中在许多与一对应、乘法概念起源、乘法类型以及乘法问题解决策略等方面。相关研究综述如下。
一、许多与一对应
学前儿童不仅在数的一一对应能力上发展很快，而且还具有较好的许多与一对应的能力。通常，许多与一对应的能力是在学前儿童开始形成数单元（unit）意识之后、正式学习乘法之前发展起来的。研究表明，在最初尝试解决乘法问题时，学前儿童往往只会考虑问题所涉及的两个数量中的一个。例如，在回答给4个娃娃每人分3张卡片，一共需要多少张卡片的问题时，儿童的回答要么是4，要么是3。
其实，儿童在日常生活中时常需要处理许多与一的对应问题。研究表明，在小学正式开始学习数学前，学前儿童已经具有一定的数学理解能力了，这种理解能力来自于儿童处理身边的日常生活问题时的经验积累。贝克尔研究了学前儿童是否能运用数数来对当时不能感知到的许多与一的对应关系进行推理。结果表明，许多4～5岁学前儿童都能理解许多与一的对应关系，能用数数的方式来解决给每个娃娃分2个或3个物体的问题。研究发现，二对一的情境比三对一的情境的表现好，年龄大的儿童比年龄小的儿童的表现好，4岁半和5岁的儿童基本都能完成许多与一对应的任务。
那么，对较小的学前儿童进行许多与一对应的训练，是否有利于促进儿童乘法能力的提高呢？布罗特将4岁儿童分为训练组和控制组，为训练组儿童提供实物并详细向儿童介绍怎样一个一个数这些物体。结果表明，这样的短期训练是有效的。训练组儿童取得了很大进步。布罗特的研究表明，理解物体的集合是解决许多与一对应问题的核心，学习许多与一对应数数的策略以及正确的运用这种策略与儿童对物体集合的理解程度有关。在日常生活中，学前儿童是有机会学习这种策略的。例如，当儿童要给一定数量的人按公平原则来分配饼干的时候，他们就会采用许多与一对应数数的策略来完成任务。
上述研究表明，部分儿童早在4岁时就已经能够理解简单的许多与一的对应关系了，年龄越大的儿童表现越好，大部分5～6岁儿童能采用有效策略解决简单的乘法问题。学前儿童对许多与一对应关系的理解标志着儿童抽象思维能力的进一步发展。当然，学前儿童对许多与一对应关系的理解尚处于初级阶段，并且受制于问题的抽象程度，他们大多数时候是使用数数策略来解决许多与一的对应问题的，不过这种成功经验仍然为他们今后的乘法学习奠定了基础。了解学前儿童对许多与一对应关系的理解水平，有利于教师为儿童提供适宜的指导。
二、乘法概念起源
乘法概念的起源有两种不同的假设。一种假设是认为乘法的直觉模式就是重复加。斯特菲认为学前儿童乘法概念的起源就是他定义的“合成单元”（composite units），这个合成单元就是重复地加。尽管斯特菲认为这些单元的重复相加非常重要，但他也支持在数这些合成单元之前儿童对乘法的理解是问题解决的关键。然而，他并没有提到儿童是怎样得出或者为什么会得出“合成单元”这一概念的。
第二种假设是认为学前儿童乘法概念的起源是他们形成了对应机制，而不是加法概念。皮亚杰提到，乘法不仅是重复加的简便运算，而是一项需要更高层次思维能力的运算，是在儿童具有加法思维能力之外建构的。加法思维仅仅包含一层抽象关系，而乘法思维需要包含两种加法思维所没有的抽象关系：例如，一是3和3的个数之间的许多与一的对应关系，如有4组，每组对应3个物体；二是不只一个层面的包含关系，如第一层是4组，第二层是每组包含3个物体。
帕克和努涅斯的研究验证了以上两种假设。他们在前测中测查6岁儿童在解决加法和乘法问题时的表现，然后将儿童随机分配到两个训练组，一组通过重复加来学乘法，一组通过许多与一的对应来学乘法，然后进行后测。结果表明两组儿童均取得了明显进步，而通过许多与一的对应来学乘法的训练组的进步更明显，支持了乘法概念的起源是基于对应而不是重复加的假设.即儿童对乘法概念的理解是建立在许多与一的对应机制上的。
这两种假设会影响教师对待学前儿童数学学习的态度。如果教师赞同乘法就是重复加，那么在引导儿童解决乘法问题时就会强调将相同的数相加。如果教师认同乘法要突出许多与一的对应关系，那么就会引导儿童关注许多与一的对应关系。而理解许多与一的对应关系，正是学前儿童能够正确理解乘法关系的重要基础。
努涅斯和布莱恩特的研究发现，尽管加法和乘法在概念上不相同，但在运算上却有程序上的联系，重复加可以作为解决乘法问题的一种程序性方法，而不是概念性基础。儿童也可以用其他的程序性方法来解决乘法问题，如数数。尽管这样的程序性方法效率较低，但只要儿童能够理解问题情境中数量的关系，他们就能正确解答问题。至少，在数量较小的简单乘法问题中是如此。
三、乘法类型
乘法类型有不同的分类方式。格里尔将乘法分为四类：相等小组（2张桌子，每张桌子坐4个人），乘法比较（男孩是女孩的3倍），矩形排列（站3排，每排站4个人），笛卡尔积（即配对问题，3件上衣和4条裤子，计算可以配成几套衣服）。这些类型涉及了重复集合、许多与一对应、多行多列以及交叉对应等关系。在乘法关系中，这些类型均涉及三个数字，即每个集合中物体的数量、集合的数量以及总数。 对学前儿童来说，比较容易理解的是相等小组和矩形排列任务，因为儿童可以在头脑中形象展示这两种任务情境，而乘法比较和笛卡尔积任务则在大多数儿童的理解范围之外，因为倍数和配对概念过于抽象，所以不适合学前儿童学习。也就是说，在学前阶段，儿童可以更多涉及相等小组和矩形排列任务，这两类任务均体现了许多与一的对应关系。
学前儿童在理解简单的乘法关系时存在两个主要的困难：一是对特定术语的理解能力不足，对行、列、每等术语的理解存在困难。二是信息处理有难度，不知如何正确使用问题中包含的数字信息。因此，如何使用学前儿童能够理解的语言.引导儿童理解乘法关系，是幼儿园教育中应该深入研究的问题。
四、乘法问题解决策略
关于乘法问题的解决策略类型有两种不同的分类方式。一种是哈德曼根据儿童的计算策略，即抽象程度分出来的五类：一是直接数，即用实物来表征问题；二是有规律地数，即按问题的结构来数，例如先数第一组的个数，再数其他组的个数；三是跳数，即按照乘数来数（如2、4、6）；四是加法计算，即用加法代替数数，如2 2=4，4 2=6；五是乘法计算，即利用已知的乘法事实来计算。[14]一种是按儿童所使用的实物来区分，即看儿童使用什么物体，如是用代币、手指，还是用符号、线条等，或者是什么都不用。研究者一般将两种分类方式结合起来，考察学前儿童解决乘法问题的水平。
在学前阶段，直接数、有规律地数、跳数、加法计算都是儿童常使用的问题解决策略，而个别儿童会采用乘法计算策略。这与儿童自身所接受的辅导有关。在关于儿童乘法问题解决策略的研究中可以发现，学前儿童在解决乘法问题时采取的策略经常会由数数、重复加，过渡到乘法运算，儿童先前获得的技能，如加法、重复、心算等，均有利于乘法的学习。儿童通常会利用简单的数数和将每个相等数量的集合中的数相加来解决乘法问题。
相关研究发现，儿童在利用数数来解决乘法问题时会表现出很多不同的特点。布罗特对4岁儿童解决许多与一对应问题时采取的策略进行了总结，发现有的儿童采用的是许多对一的数数策略，例如先数第一种动物的卡片，然后再数第二种动物的卡片，或先数第一排的卡片，再数第二排的卡片；有的儿童在使用许多对一数数策略时出现了错误，即虽然采用的是许多对一的数数策略，但是在数某一行或列时会出现计数错误；还有的儿童采用的只是初步的许多对一数数策略，例如对每种动物不止数了一张卡片，但却没有连续数，导致不清楚每种动物有几张卡片；还有儿童采用的是无效策略，例如只数动物的数量，或者只数小组的数量等。可见，学前儿童解决乘法问题的策略是多种多样的，而出现错误的原因大多是因为儿童尚处于加法思维阶段，并没有掌握乘法的实质，即许多与一的对应关系。至于中国儿童解决乘法问题的策略具有怎样的发展特点，何时是儿童由加法思维向乘法思维转折的关键时期等问题。尚未有足够的研究。
五、研究启示与展望
综上所述，学前儿童的乘法能力是逐步提高的，儿童能否完成乘法任务，既与儿童的年龄有关，也与任务的难度、抽象程度有关。儿童对乘法关系的理解大多来自于日常生活中与同伴及成人的互动。因此，教师可以考虑将一些适宜的活动引入幼儿园教育实践，同时也可以向家长提供相应教育建议，从而帮助学前儿童获得更多具体直观的感性经验，更好地激发儿童的数学学习兴趣。
目前已有的研究对学前儿童乘法问题解决策略的具体应用年龄阶段涉及的不多，对儿童如何实现从加法思维到乘法思维的转换的研究也很少。今后的研究似可重点关注学前儿童由加法思维向乘法思维转换的问题，以及在正式学习乘法之前，学前儿童主要采用什么乘法问题解决策略等，也可探究学前儿童乘法能力发展的性别差异等。以往的相关研究显示，中国儿童的数学能力发展水平与其他国家的儿童不完全相同。因此，考察中国学前儿童的乘法能力发展也很有意义，有可能会得出不一样的研究结论。
【关键词】学前儿童；乘法能力；研究综述
【中图分类号】G610 【文献标识码】A 【文章编号】1004-4604（2013）07/08-0077-04
乘法是一种运算方法。最简单的乘法。是对几个相同数连加的简便算法。例如。2 2 2 2 2.5个2相加，可以改为2乘以5，或者5乘以2进行计算。在我国，一般是在小学二年级上学期开始学乘法的。不过有相关研究表明，在学前阶段，儿童已经具备了一定的乘法能力，儿童在学前期获得的这些数学知识与技能会在一定程度上影响他们在小学阶段的数学学习。因此，研究学前儿童的乘法能力，有助于进一步了解儿童数学思维的发展状况，为儿童日后更好地适应小学学习提供帮助。目前已有的关于学前儿童乘法能力发展的研究主要集中在许多与一对应、乘法概念起源、乘法类型以及乘法问题解决策略等方面。相关研究综述如下。
一、许多与一对应
学前儿童不仅在数的一一对应能力上发展很快，而且还具有较好的许多与一对应的能力。通常，许多与一对应的能力是在学前儿童开始形成数单元（unit）意识之后、正式学习乘法之前发展起来的。研究表明，在最初尝试解决乘法问题时，学前儿童往往只会考虑问题所涉及的两个数量中的一个。例如，在回答给4个娃娃每人分3张卡片，一共需要多少张卡片的问题时，儿童的回答要么是4，要么是3。
其实，儿童在日常生活中时常需要处理许多与一的对应问题。研究表明，在小学正式开始学习数学前，学前儿童已经具有一定的数学理解能力了，这种理解能力来自于儿童处理身边的日常生活问题时的经验积累。贝克尔研究了学前儿童是否能运用数数来对当时不能感知到的许多与一的对应关系进行推理。结果表明，许多4～5岁学前儿童都能理解许多与一的对应关系，能用数数的方式来解决给每个娃娃分2个或3个物体的问题。研究发现，二对一的情境比三对一的情境的表现好，年龄大的儿童比年龄小的儿童的表现好，4岁半和5岁的儿童基本都能完成许多与一对应的任务。
那么，对较小的学前儿童进行许多与一对应的训练，是否有利于促进儿童乘法能力的提高呢？布罗特将4岁儿童分为训练组和控制组，为训练组儿童提供实物并详细向儿童介绍怎样一个一个数这些物体。结果表明，这样的短期训练是有效的。训练组儿童取得了很大进步。布罗特的研究表明，理解物体的集合是解决许多与一对应问题的核心，学习许多与一对应数数的策略以及正确的运用这种策略与儿童对物体集合的理解程度有关。在日常生活中，学前儿童是有机会学习这种策略的。例如，当儿童要给一定数量的人按公平原则来分配饼干的时候，他们就会采用许多与一对应数数的策略来完成任务。
上述研究表明，部分儿童早在4岁时就已经能够理解简单的许多与一的对应关系了，年龄越大的儿童表现越好，大部分5～6岁儿童能采用有效策略解决简单的乘法问题。学前儿童对许多与一对应关系的理解标志着儿童抽象思维能力的进一步发展。当然，学前儿童对许多与一对应关系的理解尚处于初级阶段，并且受制于问题的抽象程度，他们大多数时候是使用数数策略来解决许多与一的对应问题的，不过这种成功经验仍然为他们今后的乘法学习奠定了基础。了解学前儿童对许多与一对应关系的理解水平，有利于教师为儿童提供适宜的指导。
二、乘法概念起源
乘法概念的起源有两种不同的假设。一种假设是认为乘法的直觉模式就是重复加。斯特菲认为学前儿童乘法概念的起源就是他定义的“合成单元”（composite units），这个合成单元就是重复地加。尽管斯特菲认为这些单元的重复相加非常重要，但他也支持在数这些合成单元之前儿童对乘法的理解是问题解决的关键。然而，他并没有提到儿童是怎样得出或者为什么会得出“合成单元”这一概念的。
第二种假设是认为学前儿童乘法概念的起源是他们形成了对应机制，而不是加法概念。皮亚杰提到，乘法不仅是重复加的简便运算，而是一项需要更高层次思维能力的运算，是在儿童具有加法思维能力之外建构的。加法思维仅仅包含一层抽象关系，而乘法思维需要包含两种加法思维所没有的抽象关系：例如，一是3和3的个数之间的许多与一的对应关系，如有4组，每组对应3个物体；二是不只一个层面的包含关系，如第一层是4组，第二层是每组包含3个物体。
帕克和努涅斯的研究验证了以上两种假设。他们在前测中测查6岁儿童在解决加法和乘法问题时的表现，然后将儿童随机分配到两个训练组，一组通过重复加来学乘法，一组通过许多与一的对应来学乘法，然后进行后测。结果表明两组儿童均取得了明显进步，而通过许多与一的对应来学乘法的训练组的进步更明显，支持了乘法概念的起源是基于对应而不是重复加的假设.即儿童对乘法概念的理解是建立在许多与一的对应机制上的。
这两种假设会影响教师对待学前儿童数学学习的态度。如果教师赞同乘法就是重复加，那么在引导儿童解决乘法问题时就会强调将相同的数相加。如果教师认同乘法要突出许多与一的对应关系，那么就会引导儿童关注许多与一的对应关系。而理解许多与一的对应关系，正是学前儿童能够正确理解乘法关系的重要基础。
努涅斯和布莱恩特的研究发现，尽管加法和乘法在概念上不相同，但在运算上却有程序上的联系，重复加可以作为解决乘法问题的一种程序性方法，而不是概念性基础。儿童也可以用其他的程序性方法来解决乘法问题，如数数。尽管这样的程序性方法效率较低，但只要儿童能够理解问题情境中数量的关系，他们就能正确解答问题。至少，在数量较小的简单乘法问题中是如此。
三、乘法类型
乘法类型有不同的分类方式。格里尔将乘法分为四类：相等小组（2张桌子，每张桌子坐4个人），乘法比较（男孩是女孩的3倍），矩形排列（站3排，每排站4个人），笛卡尔积（即配对问题，3件上衣和4条裤子，计算可以配成几套衣服）。这些类型涉及了重复集合、许多与一对应、多行多列以及交叉对应等关系。在乘法关系中，这些类型均涉及三个数字，即每个集合中物体的数量、集合的数量以及总数。 对学前儿童来说，比较容易理解的是相等小组和矩形排列任务，因为儿童可以在头脑中形象展示这两种任务情境，而乘法比较和笛卡尔积任务则在大多数儿童的理解范围之外，因为倍数和配对概念过于抽象，所以不适合学前儿童学习。也就是说，在学前阶段，儿童可以更多涉及相等小组和矩形排列任务，这两类任务均体现了许多与一的对应关系。
学前儿童在理解简单的乘法关系时存在两个主要的困难：一是对特定术语的理解能力不足，对行、列、每等术语的理解存在困难。二是信息处理有难度，不知如何正确使用问题中包含的数字信息。因此，如何使用学前儿童能够理解的语言.引导儿童理解乘法关系，是幼儿园教育中应该深入研究的问题。
四、乘法问题解决策略
关于乘法问题的解决策略类型有两种不同的分类方式。一种是哈德曼根据儿童的计算策略，即抽象程度分出来的五类：一是直接数，即用实物来表征问题；二是有规律地数，即按问题的结构来数，例如先数第一组的个数，再数其他组的个数；三是跳数，即按照乘数来数（如2、4、6）；四是加法计算，即用加法代替数数，如2 2=4，4 2=6；五是乘法计算，即利用已知的乘法事实来计算。[14]一种是按儿童所使用的实物来区分，即看儿童使用什么物体，如是用代币、手指，还是用符号、线条等，或者是什么都不用。研究者一般将两种分类方式结合起来，考察学前儿童解决乘法问题的水平。
在学前阶段，直接数、有规律地数、跳数、加法计算都是儿童常使用的问题解决策略，而个别儿童会采用乘法计算策略。这与儿童自身所接受的辅导有关。在关于儿童乘法问题解决策略的研究中可以发现，学前儿童在解决乘法问题时采取的策略经常会由数数、重复加，过渡到乘法运算，儿童先前获得的技能，如加法、重复、心算等，均有利于乘法的学习。儿童通常会利用简单的数数和将每个相等数量的集合中的数相加来解决乘法问题。
相关研究发现，儿童在利用数数来解决乘法问题时会表现出很多不同的特点。布罗特对4岁儿童解决许多与一对应问题时采取的策略进行了总结，发现有的儿童采用的是许多对一的数数策略，例如先数第一种动物的卡片，然后再数第二种动物的卡片，或先数第一排的卡片，再数第二排的卡片；有的儿童在使用许多对一数数策略时出现了错误，即虽然采用的是许多对一的数数策略，但是在数某一行或列时会出现计数错误；还有的儿童采用的只是初步的许多对一数数策略，例如对每种动物不止数了一张卡片，但却没有连续数，导致不清楚每种动物有几张卡片；还有儿童采用的是无效策略，例如只数动物的数量，或者只数小组的数量等。可见，学前儿童解决乘法问题的策略是多种多样的，而出现错误的原因大多是因为儿童尚处于加法思维阶段，并没有掌握乘法的实质，即许多与一的对应关系。至于中国儿童解决乘法问题的策略具有怎样的发展特点，何时是儿童由加法思维向乘法思维转折的关键时期等问题。尚未有足够的研究。
五、研究启示与展望
综上所述，学前儿童的乘法能力是逐步提高的，儿童能否完成乘法任务，既与儿童的年龄有关，也与任务的难度、抽象程度有关。儿童对乘法关系的理解大多来自于日常生活中与同伴及成人的互动。因此，教师可以考虑将一些适宜的活动引入幼儿园教育实践，同时也可以向家长提供相应教育建议，从而帮助学前儿童获得更多具体直观的感性经验，更好地激发儿童的数学学习兴趣。
目前已有的研究对学前儿童乘法问题解决策略的具体应用年龄阶段涉及的不多，对儿童如何实现从加法思维到乘法思维的转换的研究也很少。今后的研究似可重点关注学前儿童由加法思维向乘法思维转换的问题，以及在正式学习乘法之前，学前儿童主要采用什么乘法问题解决策略等，也可探究学前儿童乘法能力发展的性别差异等。以往的相关研究显示，中国儿童的数学能力发展水平与其他国家的儿童不完全相同。因此，考察中国学前儿童的乘法能力发展也很有意义，有可能会得出不一样的研究结论。