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我们知道FIFA世界杯有32支参赛球队，每支球队有23名球员。那么同一支球队的两名球員同一天过生日的几率有多大呢？似乎可能性很小，毕竟一年有365天，而一个队只有23名球员，很难有两位生日撞在一起的情况。
实际上这种想法完全错误，一支球队里面找到两位同一天生日球员的几率超过了50%：如果人数再多点，在一个班级里面，假设有50名同学的话，其中两位同学同一天生日的概率甚至高达97%，这是不是违背了大多数人的直觉？要了解为什么我们的直觉判断跟科学认知有那么大的偏差，就要明白一个数学概念——生日悖论。
严格意义上，这并不是一个悖论，称之为悖论是由于跟人们的常识相悖。
假设我们让23名球员依次进入更衣室，第一名球员的生日可以是365天中任意一天;第二名球员这时再进来，如果要与第一名球员生日不同，他可以是剩下的364天中任意一天，即364/365，第三名球员要与前两名球员生日不同，概率是363/365;第四名球员是362/365，第五名是361/365……先进入房间的这些人生日两两不同的概率是很大的，比如说前面5个是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。
而对于最后进入房间的几个人情况就完全不同。最后几个人进入房间并且找不到同生日者的概率是345/365，344/365，343/365。那么全部23人相乘，你会发现1×364/365×363/365×362/365×……345/365×344/365×343/365的结果约等于0.49，也就是这23人生日都不同的概率是49%，还不到一半，反过来即是51%的可能性找到两人生日在同一天。
大多数人之所以会认为23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%，是因为将问题理解为“其他22人与自己的生日相同的概率”，你要在22人当中去找一个与自己在365天内撞到同一天的人，概率当然非常小，但问题本意是“23人之中两两之间存在生日相同”。假设一个靶子上面有365个格子，其中364格为白色，1格为红色（你的生日），给其他22人每人开1枪的机会，命中红色格子的几率也很低。但如果开枪的人不管打中哪一格白色，都会将白色变成红色，那么越到后面，靶上的红色格子就越多，如果最后一人有机会开枪的话，靶上已经有22个红色格子了（对于23人来说可以出现22个不同的生日，只需要其中2人在同一天），命中红色格子的几率就大了很多。
理解了这一点，你就会明白实际概率为什么会比直觉大很多了。现在你可以拿自己班级来测算，当全班有50人时，概率约是97%。当100人在一起时，概率达到99.999997%，当200人在一起时，概率约是99.9999999999999999999999999998%，人越多，越无限接近100%，当人数达到366时，即超过365天，概率达到100%。
当然，以上算法是按常规年份一年365天来举例，排除了2月29日这样的特殊日期。
在计算机领域，这是一个不容忽视的问题。很多网络服务会使用哈希函数，产生一个token，标识用户的身份和权限。在这里我们不用去深入探究哈希函数是什么，简单来说，无论你是在某网站注册一个用户账号，还是自己的私人电脑账户，不需要太多人，可能就会出现另一个账号跟你重合（哈希碰撞），被服务器视为同一个人，这样对方就可以读取和更改你的账户信息，黑客攻击的一种方法，就是设法制造“哈希碰撞”，然后入侵系统，窃取信息。
我们把哈希值看成前面说的生日，如果只有3个字符长度，就像前面365天，那么很容易两个不同用户就撞车了。如果增加到5个字符，就好比在36500天当中找同一天生日的23个人，几率就大大降低了。22个字符的哈希值，就能保证300万亿次计算里面，只有1000亿分之一的概率发生碰撞。而常用的哈希函数产生的是64个字符的哈希值，发生碰撞的概率还要低得多。
举例说说我们生活中的应用，你的网络密码。如果是4位纯数字，那么只有总计1万个不同的密码（0000-9999），几乎别人随便找把钥匙就能把你家大门打开。6位纯数字，总计100万个不同的密码（000000-999999），对于存心要打开你家大门的人来说，也就是分分钟的事。8位以内的小写字母，一般是有意义的拼音或者单词，总计估计不超过1000万个不同的密码，也不算复杂;8位小写字母加数字，就是2.8万亿个不同组合，如果你不是什么特别人物，黑客也没兴趣来破解了。
实际上这种想法完全错误，一支球队里面找到两位同一天生日球员的几率超过了50%：如果人数再多点，在一个班级里面，假设有50名同学的话，其中两位同学同一天生日的概率甚至高达97%，这是不是违背了大多数人的直觉？要了解为什么我们的直觉判断跟科学认知有那么大的偏差，就要明白一个数学概念——生日悖论。
严格意义上，这并不是一个悖论，称之为悖论是由于跟人们的常识相悖。
假设我们让23名球员依次进入更衣室，第一名球员的生日可以是365天中任意一天;第二名球员这时再进来，如果要与第一名球员生日不同，他可以是剩下的364天中任意一天，即364/365，第三名球员要与前两名球员生日不同，概率是363/365;第四名球员是362/365，第五名是361/365……先进入房间的这些人生日两两不同的概率是很大的，比如说前面5个是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。
而对于最后进入房间的几个人情况就完全不同。最后几个人进入房间并且找不到同生日者的概率是345/365，344/365，343/365。那么全部23人相乘，你会发现1×364/365×363/365×362/365×……345/365×344/365×343/365的结果约等于0.49，也就是这23人生日都不同的概率是49%，还不到一半，反过来即是51%的可能性找到两人生日在同一天。
大多数人之所以会认为23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%，是因为将问题理解为“其他22人与自己的生日相同的概率”，你要在22人当中去找一个与自己在365天内撞到同一天的人，概率当然非常小，但问题本意是“23人之中两两之间存在生日相同”。假设一个靶子上面有365个格子，其中364格为白色，1格为红色（你的生日），给其他22人每人开1枪的机会，命中红色格子的几率也很低。但如果开枪的人不管打中哪一格白色，都会将白色变成红色，那么越到后面，靶上的红色格子就越多，如果最后一人有机会开枪的话，靶上已经有22个红色格子了（对于23人来说可以出现22个不同的生日，只需要其中2人在同一天），命中红色格子的几率就大了很多。
理解了这一点，你就会明白实际概率为什么会比直觉大很多了。现在你可以拿自己班级来测算，当全班有50人时，概率约是97%。当100人在一起时，概率达到99.999997%，当200人在一起时，概率约是99.9999999999999999999999999998%，人越多，越无限接近100%，当人数达到366时，即超过365天，概率达到100%。
当然，以上算法是按常规年份一年365天来举例，排除了2月29日这样的特殊日期。
在计算机领域，这是一个不容忽视的问题。很多网络服务会使用哈希函数，产生一个token，标识用户的身份和权限。在这里我们不用去深入探究哈希函数是什么，简单来说，无论你是在某网站注册一个用户账号，还是自己的私人电脑账户，不需要太多人，可能就会出现另一个账号跟你重合（哈希碰撞），被服务器视为同一个人，这样对方就可以读取和更改你的账户信息，黑客攻击的一种方法，就是设法制造“哈希碰撞”，然后入侵系统，窃取信息。
我们把哈希值看成前面说的生日，如果只有3个字符长度，就像前面365天，那么很容易两个不同用户就撞车了。如果增加到5个字符，就好比在36500天当中找同一天生日的23个人，几率就大大降低了。22个字符的哈希值，就能保证300万亿次计算里面，只有1000亿分之一的概率发生碰撞。而常用的哈希函数产生的是64个字符的哈希值，发生碰撞的概率还要低得多。
举例说说我们生活中的应用，你的网络密码。如果是4位纯数字，那么只有总计1万个不同的密码（0000-9999），几乎别人随便找把钥匙就能把你家大门打开。6位纯数字，总计100万个不同的密码（000000-999999），对于存心要打开你家大门的人来说，也就是分分钟的事。8位以内的小写字母，一般是有意义的拼音或者单词，总计估计不超过1000万个不同的密码，也不算复杂;8位小写字母加数字，就是2.8万亿个不同组合，如果你不是什么特别人物，黑客也没兴趣来破解了。