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笔者在研究椭圆第二定义时，发现椭圆一个有趣的等比性质，并对其推广，现介绍如下：
一、问题提出
图1
如图1，在椭圆x2a2+y2b2=1 （a>b>0）中，直线
l过焦
点F（c，0）交椭圆于A、B两点，分别过A、B作准线x=a2c的垂线交于C、D，由椭圆的第二定义知
|FA||AC|=e，|FB||BD|=e，
于是我们就得到一个有趣的等比性质
|FA||AC|=|FB||BD|，
让点F动起来，我们可以得到此性质的推广.
二、推广与证明
定理1：已知椭圆x2a2+
y2b2=1 （a>b>0），直线l过不在曲线上的点P（t，0）（t≠0） 交椭圆于A、B两点，分别过A、B作直线
x=a2t
的垂线交于C、D，则有|PA||AC|=|PB||BD|.
证明：设l的方程为
x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x=my+t
b2x2+a2y2=a2b2
，得： （a2+m2b2）y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0
所以y1+y2=-2mtb2a2+m2b2，y1y2=
b2t2-a2b2a2+m2b2.
|AC| 2|PB|2-|BD|2|PA|2=（a2t
-x1）2[（x2-t）2+y22]-（a2t
-x2）2[（x1-t）2+y21]
=（my1+t-a2t）2（m2+1）y22-（my2+t-a2t）2（m2+1
）y21
=（m2+1）（t-a2t）（y2-y1）[2my1y2+（t-a2t）（y1+y2）]
又因为
2my1y2+（t-a2t）（y1+y2）=2m·b2t2-a2b2
a2+m2b2+（t-a2t）（-2mb2a2+m2b2
）=2m（b2t2-a2b2+a2b2-b2t2）
a2+m2b2=0.
所以|AC|2|PB|2-|BD|2|PA|2=0， 即
|PA||AC|=|PB||BD|，
容易验证当l为x轴结论也成立.
类比定理1可得双曲线和抛物线也有类似性质：
定理2：已知双曲线
x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）
，直线l过不在曲线上的点P（t，0）（t≠0）交曲线于A、B两点，分别过A、B作直线
x=a2t的垂线，交于C、D，则有
|PA||AC|=|PB||BD|.
图3 图4
定理3：已知抛物线y2=2px（p>0），直线l过点p（t，0）（t≠0）
交抛物线于A、B两点，分别过A、B作直线x=-t
的垂线，交于C、D，则有|PA||AC|=|PB||BD|.
定理2、定理3可类比定理1的证明证之.
三、性质进一步推广
借助几何画板我们探究出更一般的结论：
图5
定理4：已知圆锥曲线x2a2+
y2b2=1（a>b>0）（或x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）
或y2=2px（p>0）
，过点P（x0，y0）（不在曲线上）的直
线l交曲线于A、B两点，分别过A、B作直线t：
x0xa2+y0yb2=1（或x0xa2
-y0yb2=1或y0y=p（x0+x））
的垂线交于C、D，则有
|PA||AC|=|PB||BD|.
证明：设AB的参数方程为
x=x0+tcosα
y=y0+tsinα
①， A（x0+t1cosα，y0+t1sinα），
B（x0+t2cosα，y0+t2sinα），即|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，
将①代入椭圆方程并整理得
（a2sin2α+b2cos2α）t2+（2b2x0cosα+2a2y0sinα）
t+a2y20+b2x20-a2b2=0.
所以t1+t2=-2b2x0cosα+2a2y0sinα
a2sin2α+b2cosα，t1t2=a2y20+b2x20-a2b2
a2sin2α+b2cos2α.
再由点到直线的距离公式可得：
|AC|2=
[b2x0（x0+t1cosα）+a2y0（y0+t1sinα）-a2b2]2
a4y20+b4x20
=[（b2x0cosα+a2y0cosα）t1+a2y20+b2x20-a2b2]2
a4y20+b4x20
|BD|2=[（b2x0cosα+a2y0sinα）t2+a2y20
+b2x20-a2b2]2
a4y20+b4x20
所以|AC|2|PB|-|BD|2|PA|2分子为：
t22[（b2x0cosα+a2y0sinα）t1+a2y20+b2x20-a2b2]2
-t21[（b2x0cosα+a2y0sinα]t2+a2y20+b2x20- a2b2]2=
（a2y20+b2x20-a2b2）（t2-t1）[
2（b2x0cosα+a2y0sinα）t1t2+
（a2y20+b2x20-a2b2）（t1+t2）]
.
又因为：
2（b2x0cosα+a2y0sinα）t1t2+（a2y20+b2x20-a2b2）（t1+t2）
=2（b2x0cosα+a2y0sinα）（a2y20+b2x20-a2b2
a2sin2α+b2cos2α）
+（a2y20+b2x20-a2b2）（-
2b2x0cosα+2a2y0sinαa2sin2α+b2cosα）
=
2（b2x0cosα+a2y0sinα）-2（b2x0cosα+a2y0sinα）
a2sin2α+b2cos2α
=0.
所以|AC|2|PB|2-|BD|2|PA|2=0，即
|PA||AC|
=|PB||BD|.
另外两种情况可类似证明.
四、性质的应用
图6
例1 （2009年湖北）过抛物线y2=2px（p>0）的对称轴上一点
A（a，0）（a>0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=-a作垂线，垂足分别为M1、N1.
（Ⅰ）略（Ⅱ）记△AMM1、 △AM1N1、 △ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的
a>0，都有S2=λS1S3成立.若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
证明：如图，由定理3可得
|MA||MM1|
=|NA||NN1|
，所以
|M1A1||MM1|
=|N1A1||NN1|.
设|MM1|=k|M1A1|，|NN1|=k|N1A1|，所以：
S1=12|MM1||M1A1|=12k|M1A1|2，S3=
12|NN1||N1A1|=12k|N1A1|2
S2=12（|MM1|+|NN1|）（|M1A1|+|N1A1|）
-（S1+S3）=k|M1A1||N1A1|.
所以，S22=4S1S3，即存在λ=4，使得S2=λS1S3成立.
说明：在椭圆和双曲线中也有同样的结论，读者可由定理1，定理2自行证之.
例2 （文[1]中提到的圆锥曲线的一个等角定理）
若P（a2t，0）为椭圆（或双曲线）内一点，直线AB（非x轴）过点
E（t，0）（t≠0）且与椭圆
x2a2+y2b2=1（a>b>0）（或双曲线x2
a2-y2b2=1（a>0，b>0）
交于不同的两点A、B，则直线PA、PB与x轴所成的角相等.
下面我以椭圆为例证明，双曲线的情形可仿此证明
图7
证明：如图7，过
A、B作直线x=a2t的垂线，交
于C、D，由定理1得：
|EA||AC|=|EB||BD|，
所以|PC||AC|=|PD||BD|，即
tan∠BPD=tan∠APD，即
∠BPD=∠APD，所以∠APE=∠BPO即命题得证.
说明：将P点放到曲线的外面，也有类似的性质，有兴趣的读者可自行探究.
一、问题提出
图1
如图1，在椭圆x2a2+y2b2=1 （a>b>0）中，直线
l过焦
点F（c，0）交椭圆于A、B两点，分别过A、B作准线x=a2c的垂线交于C、D，由椭圆的第二定义知
|FA||AC|=e，|FB||BD|=e，
于是我们就得到一个有趣的等比性质
|FA||AC|=|FB||BD|，
让点F动起来，我们可以得到此性质的推广.
二、推广与证明
定理1：已知椭圆x2a2+
y2b2=1 （a>b>0），直线l过不在曲线上的点P（t，0）（t≠0） 交椭圆于A、B两点，分别过A、B作直线
x=a2t
的垂线交于C、D，则有|PA||AC|=|PB||BD|.
证明：设l的方程为
x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x=my+t
b2x2+a2y2=a2b2
，得： （a2+m2b2）y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0
所以y1+y2=-2mtb2a2+m2b2，y1y2=
b2t2-a2b2a2+m2b2.
|AC| 2|PB|2-|BD|2|PA|2=（a2t
-x1）2[（x2-t）2+y22]-（a2t
-x2）2[（x1-t）2+y21]
=（my1+t-a2t）2（m2+1）y22-（my2+t-a2t）2（m2+1
）y21
=（m2+1）（t-a2t）（y2-y1）[2my1y2+（t-a2t）（y1+y2）]
又因为
2my1y2+（t-a2t）（y1+y2）=2m·b2t2-a2b2
a2+m2b2+（t-a2t）（-2mb2a2+m2b2
）=2m（b2t2-a2b2+a2b2-b2t2）
a2+m2b2=0.
所以|AC|2|PB|2-|BD|2|PA|2=0， 即
|PA||AC|=|PB||BD|，
容易验证当l为x轴结论也成立.
类比定理1可得双曲线和抛物线也有类似性质：
定理2：已知双曲线
x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）
，直线l过不在曲线上的点P（t，0）（t≠0）交曲线于A、B两点，分别过A、B作直线
x=a2t的垂线，交于C、D，则有
|PA||AC|=|PB||BD|.
图3 图4
定理3：已知抛物线y2=2px（p>0），直线l过点p（t，0）（t≠0）
交抛物线于A、B两点，分别过A、B作直线x=-t
的垂线，交于C、D，则有|PA||AC|=|PB||BD|.
定理2、定理3可类比定理1的证明证之.
三、性质进一步推广
借助几何画板我们探究出更一般的结论：
图5
定理4：已知圆锥曲线x2a2+
y2b2=1（a>b>0）（或x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）
或y2=2px（p>0）
，过点P（x0，y0）（不在曲线上）的直
线l交曲线于A、B两点，分别过A、B作直线t：
x0xa2+y0yb2=1（或x0xa2
-y0yb2=1或y0y=p（x0+x））
的垂线交于C、D，则有
|PA||AC|=|PB||BD|.
证明：设AB的参数方程为
x=x0+tcosα
y=y0+tsinα
①， A（x0+t1cosα，y0+t1sinα），
B（x0+t2cosα，y0+t2sinα），即|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，
将①代入椭圆方程并整理得
（a2sin2α+b2cos2α）t2+（2b2x0cosα+2a2y0sinα）
t+a2y20+b2x20-a2b2=0.
所以t1+t2=-2b2x0cosα+2a2y0sinα
a2sin2α+b2cosα，t1t2=a2y20+b2x20-a2b2
a2sin2α+b2cos2α.
再由点到直线的距离公式可得：
|AC|2=
[b2x0（x0+t1cosα）+a2y0（y0+t1sinα）-a2b2]2
a4y20+b4x20
=[（b2x0cosα+a2y0cosα）t1+a2y20+b2x20-a2b2]2
a4y20+b4x20
|BD|2=[（b2x0cosα+a2y0sinα）t2+a2y20
+b2x20-a2b2]2
a4y20+b4x20
所以|AC|2|PB|-|BD|2|PA|2分子为：
t22[（b2x0cosα+a2y0sinα）t1+a2y20+b2x20-a2b2]2
-t21[（b2x0cosα+a2y0sinα]t2+a2y20+b2x20- a2b2]2=
（a2y20+b2x20-a2b2）（t2-t1）[
2（b2x0cosα+a2y0sinα）t1t2+
（a2y20+b2x20-a2b2）（t1+t2）]
.
又因为：
2（b2x0cosα+a2y0sinα）t1t2+（a2y20+b2x20-a2b2）（t1+t2）
=2（b2x0cosα+a2y0sinα）（a2y20+b2x20-a2b2
a2sin2α+b2cos2α）
+（a2y20+b2x20-a2b2）（-
2b2x0cosα+2a2y0sinαa2sin2α+b2cosα）
=
2（b2x0cosα+a2y0sinα）-2（b2x0cosα+a2y0sinα）
a2sin2α+b2cos2α
=0.
所以|AC|2|PB|2-|BD|2|PA|2=0，即
|PA||AC|
=|PB||BD|.
另外两种情况可类似证明.
四、性质的应用
图6
例1 （2009年湖北）过抛物线y2=2px（p>0）的对称轴上一点
A（a，0）（a>0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=-a作垂线，垂足分别为M1、N1.
（Ⅰ）略（Ⅱ）记△AMM1、 △AM1N1、 △ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的
a>0，都有S2=λS1S3成立.若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
证明：如图，由定理3可得
|MA||MM1|
=|NA||NN1|
，所以
|M1A1||MM1|
=|N1A1||NN1|.
设|MM1|=k|M1A1|，|NN1|=k|N1A1|，所以：
S1=12|MM1||M1A1|=12k|M1A1|2，S3=
12|NN1||N1A1|=12k|N1A1|2
S2=12（|MM1|+|NN1|）（|M1A1|+|N1A1|）
-（S1+S3）=k|M1A1||N1A1|.
所以，S22=4S1S3，即存在λ=4，使得S2=λS1S3成立.
说明：在椭圆和双曲线中也有同样的结论，读者可由定理1，定理2自行证之.
例2 （文[1]中提到的圆锥曲线的一个等角定理）
若P（a2t，0）为椭圆（或双曲线）内一点，直线AB（非x轴）过点
E（t，0）（t≠0）且与椭圆
x2a2+y2b2=1（a>b>0）（或双曲线x2
a2-y2b2=1（a>0，b>0）
交于不同的两点A、B，则直线PA、PB与x轴所成的角相等.
下面我以椭圆为例证明，双曲线的情形可仿此证明
图7
证明：如图7，过
A、B作直线x=a2t的垂线，交
于C、D，由定理1得：
|EA||AC|=|EB||BD|，
所以|PC||AC|=|PD||BD|，即
tan∠BPD=tan∠APD，即
∠BPD=∠APD，所以∠APE=∠BPO即命题得证.
说明：将P点放到曲线的外面，也有类似的性质，有兴趣的读者可自行探究.