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重庆十八中400020
摘要：本文介绍了与直线相关的四个最值的统一求法.
关键词：直线；最值；求法.
如图1所示，过第一象限定点P（x0，y0）的直线l，分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，试分别求解下列最值和相应的直线方程.
[y][B][P][N][O][M][A][x]
图1
引理设PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∠BAO=α0<α<
，则AP=，PB=，OA=x0+y0cotα，OB=y0+x0tanα.
[⇩]求线段AB的最小值及此时直线l的方程.
解析因为AB=AP+PB=+，
所以AB2=
+
2（sin2α+cos2α）
=x+y+xtan2α+ycot2α+2x0y0tanα+2x0y0cotα
=x+y+xtan2α+x0y0cotα+x0y0cotα+ycot2α+x0y0tanα+x0y0tanα
≥x+y+3x0+3y0=（+）3.
当且仅当x
tan2α=x0y0cotα，
y
cot2α=x0y0tanα，
即tanα=时，ABmin=. 此时直线l:y－y0= －（x－x0）.
[⇩]求线段OA与OB的和的最小值及此时直线l的方程.
解析OA+OB=x0+y0cotα+y0+x0tanα≥x0+y0+2=（+）2.
当且仅当y0cotα=x0tanα，即tanα=时，（OA+OB）min=（+）2. 此时直线l:y－y0=－（x－x0）.
[⇩]求△OAB的周长的最小值及此时直线l的方程.
解析因为C=OA+OB+AB=x0+y0cotα+y0+x0tanα++
=x0+y0+x0·+y0·=x0+y0+x0·cot
－+y0·cot，
所以C′=x0·+y0·－
. 令C′=0得cot=1+.
所以cot
－=1+，tanα=.
所以当tanα=时，
Cmin=x0+y0+y0·1+
+x0·1+
=2x0+y0+
.
此时直线l:y－y0=－（x－x0）.
[⇩]求△OAB的面积的最小值及此时直线l的方程.
解析S=OA·OB=（x0+y0cotα）·（y0+x0tanα）
=（2x0y0+xtanα+ycotα）≥2x0y0 .
当且仅当xtanα=ycotα，即tanα=时，Smin=2x0y0 .
此时直线l:y－y0=－（x－x0），
即+=1（该P点正好是AB的中点）.
摘要：本文介绍了与直线相关的四个最值的统一求法.
关键词：直线；最值；求法.
如图1所示，过第一象限定点P（x0，y0）的直线l，分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，试分别求解下列最值和相应的直线方程.
图1
引理设PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∠BAO=α0<α<
，则AP=，PB=，OA=x0+y0cotα，OB=y0+x0tanα.
[⇩]求线段AB的最小值及此时直线l的方程.
解析因为AB=AP+PB=+，
所以AB2=
+
2（sin2α+cos2α）
=x+y+xtan2α+ycot2α+2x0y0tanα+2x0y0cotα
=x+y+xtan2α+x0y0cotα+x0y0cotα+ycot2α+x0y0tanα+x0y0tanα
≥x+y+3x0+3y0=（+）3.
当且仅当x
tan2α=x0y0cotα，
y
cot2α=x0y0tanα，
即tanα=时，ABmin=. 此时直线l:y－y0= －（x－x0）.
[⇩]求线段OA与OB的和的最小值及此时直线l的方程.
解析OA+OB=x0+y0cotα+y0+x0tanα≥x0+y0+2=（+）2.
当且仅当y0cotα=x0tanα，即tanα=时，（OA+OB）min=（+）2. 此时直线l:y－y0=－（x－x0）.
[⇩]求△OAB的周长的最小值及此时直线l的方程.
解析因为C=OA+OB+AB=x0+y0cotα+y0+x0tanα++
=x0+y0+x0·+y0·=x0+y0+x0·cot
－+y0·cot，
所以C′=x0·+y0·－
. 令C′=0得cot=1+.
所以cot
－=1+，tanα=.
所以当tanα=时，
Cmin=x0+y0+y0·1+
+x0·1+
=2x0+y0+
.
此时直线l:y－y0=－（x－x0）.
[⇩]求△OAB的面积的最小值及此时直线l的方程.
解析S=OA·OB=（x0+y0cotα）·（y0+x0tanα）
=（2x0y0+xtanα+ycotα）≥2x0y0 .
当且仅当xtanα=ycotα，即tanα=时，Smin=2x0y0 .
此时直线l:y－y0=－（x－x0），
即+=1（该P点正好是AB的中点）.