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扬州市2009届高三第一学期期中统考中有一道立体几何题题目如下：
如图，四棱锥P-ABCD中，所有棱长都相等，O是底面对角线AC的中点，M是侧棱PB的中点.
(1) 求证：MO∥平面PCD；
(2) 求证：平面PMO⊥平面PAO.
【题目分析】 本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定.
本题对学生所学知识的理解要求较高，有一定的区分度，各种层次的学生都能做它，但所需的时间区别很大. 现将阅卷中发现的几种证明过程例举出来与大家共享.
第(1)小题：
【证法一】 如图1，取PA的中点N，连结MN、ON，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，M、N是PB、PA的中点，所以MN∥AB，所以MN∥CD
因为CD面PCD，MN面PCD，所以MN∥面PCD.
同理可证：ON∥面PCD，
因为MN∩ON=N,MN面MNO,ON面MNO，
所以面MNO∥面PCD，因为MO面PCD,
所以MO∥平面PCD.
【评注】 这种证法是由线面平行化归为面面平行，利用面面平行的性质进行的. 但是在解题中“AB∥CD”未经证明，不能直接使用. 本小题也可取BC的中点E，连结EM、EO来证明.
【证法二】 连结BD，
因为四棱锥P-ABCD中，所有棱长都相等，
所以底面ABCD是正方形.
因为O是底面对角线AC的中点，
所以O是BD的中点，
因为M是侧棱PB的中点，
所以OM∥PD.
因为MO面PCD, PD面PCD,
所以MO∥平面PCD.
【评注】 这种证法是利用线面平行的判定定理. 但在解题中由“四棱锥中所有棱长都相等”不能直接得到“底面是正方形”的结论，只能得到“底面是菱形”、“底面是平行四边形”的结论. 正方形还需进一步证明. 本小题证明只需“底面是平行四边形”就可以了.
还有一种通过线面平行的判定定理来证明的方法，但过程较为复杂：
取PC的中点E，DC的中点F，连结EF、OF、ME，通过中位线定理证明四边形OFEM是平行四边形，从而得到线线平行，得到线面平行.
第(2)小题：
【证法一】 因为四棱锥P-ABCD中，所有棱长都相等，O是底面对角线AC的中点，
所以O是P在底面上的投影点，
所以PO⊥面ABCD
所以PO⊥AC
因为ABCD是菱形
所以AC⊥BD
所以AC⊥面PBD
所以平面PAC⊥平面PBD
即平面PMO⊥平面PAO
【评注】 这种证法是利用线面垂直的判定，关键在于证明线线垂直. 但是本证法中漏洞较多：①“AC⊥面PBD”需要说明PO、BD共面，O是AC、BD的交点，②“O是P在底面上的投影点”需要证明，PA=PC，O是中点，得PO⊥AC，同理PO⊥BD.
【证法二】 如图2，连结AM、CM、PO.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
如图，四棱锥P-ABCD中，所有棱长都相等，O是底面对角线AC的中点，M是侧棱PB的中点.
(1) 求证：MO∥平面PCD；
(2) 求证：平面PMO⊥平面PAO.
【题目分析】 本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定.
本题对学生所学知识的理解要求较高，有一定的区分度，各种层次的学生都能做它，但所需的时间区别很大. 现将阅卷中发现的几种证明过程例举出来与大家共享.
第(1)小题：
【证法一】 如图1，取PA的中点N，连结MN、ON，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，M、N是PB、PA的中点，所以MN∥AB，所以MN∥CD
因为CD面PCD，MN面PCD，所以MN∥面PCD.
同理可证：ON∥面PCD，
因为MN∩ON=N,MN面MNO,ON面MNO，
所以面MNO∥面PCD，因为MO面PCD,
所以MO∥平面PCD.
【评注】 这种证法是由线面平行化归为面面平行，利用面面平行的性质进行的. 但是在解题中“AB∥CD”未经证明，不能直接使用. 本小题也可取BC的中点E，连结EM、EO来证明.
【证法二】 连结BD，
因为四棱锥P-ABCD中，所有棱长都相等，
所以底面ABCD是正方形.
因为O是底面对角线AC的中点，
所以O是BD的中点，
因为M是侧棱PB的中点，
所以OM∥PD.
因为MO面PCD, PD面PCD,
所以MO∥平面PCD.
【评注】 这种证法是利用线面平行的判定定理. 但在解题中由“四棱锥中所有棱长都相等”不能直接得到“底面是正方形”的结论，只能得到“底面是菱形”、“底面是平行四边形”的结论. 正方形还需进一步证明. 本小题证明只需“底面是平行四边形”就可以了.
还有一种通过线面平行的判定定理来证明的方法，但过程较为复杂：
取PC的中点E，DC的中点F，连结EF、OF、ME，通过中位线定理证明四边形OFEM是平行四边形，从而得到线线平行，得到线面平行.
第(2)小题：
【证法一】 因为四棱锥P-ABCD中，所有棱长都相等，O是底面对角线AC的中点，
所以O是P在底面上的投影点，
所以PO⊥面ABCD
所以PO⊥AC
因为ABCD是菱形
所以AC⊥BD
所以AC⊥面PBD
所以平面PAC⊥平面PBD
即平面PMO⊥平面PAO
【评注】 这种证法是利用线面垂直的判定，关键在于证明线线垂直. 但是本证法中漏洞较多：①“AC⊥面PBD”需要说明PO、BD共面，O是AC、BD的交点，②“O是P在底面上的投影点”需要证明，PA=PC，O是中点，得PO⊥AC，同理PO⊥BD.
【证法二】 如图2，连结AM、CM、PO.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”