论文部分内容阅读
【摘 要】学生数学素养得到提高的重要标志是学生积累了丰富的数学活动经验。数学活动经验是在“做”中积累起来的，充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础。本文以《三角形内角和》一课的教学为例，阐明在教学中教师应设计有效的数学活动，让学生在活动中积累经验；运用多种方法进行验证，注重数学思想方法的渗透；关注学生的实践活动与数学结论存在误差的处理；注重探索和证明的有机结合。以此提高学生操作的有效性，提高数学素养。
【关键词】数学活动；经验积累；教学方法；教学案例
新课标强调：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。“数学经验”是让学生在“做”中积累起来的。笔者也进行了多次操作教学的尝试，但仍对如何提高学生操作的有效性存在困惑。在教学了《三角形内角和》一课后，笔者对在数学活动中，如何引导学生运用多种方法验证，以及注重探索与验证的有机结合，有了更深的了解和启发。
【片断回放】
片断1：提出问题，引发猜想
1. 出示一副三角板，告诉学生三角形的内角是指三角形里面的角。请学生分别说出两副三角板的内角和是多少？
2. 告诉学生三个内角的度数之和就是三角形的内角和。通过计算得知两副三角板的内角和都是180°。
3. 由此，抛出问题：既然三角板三个内角和是180°，由此猜测是不是所有三角形的内角和都是180°呢？但只有猜想可不行，还得想办法验证一下。
4. 确定研究范围
师：研究三角形的内角和，是不是应该包括所有的三角形？只研究黑板上这一个行不行？那就随便画，挨个研究吧。（学生反对）请你想个办法吧！
“研究哪几类三角形，就能代表所有的三角形”，从而确定研究锐角三角形、直角三角形、钝角三角形就能代表所有的三角形。
片断2：动手操作，验证猜想
1. 测量的方法
（1）小组合作量一量，动手操作，组内交流
（2）全班匯报交流
师根据学生不同的汇报结果，总结并板书“量一量”，“形状不同的三角形内角和大约是180°”。同时指出测量存在误差，不够严谨和科学，向学生提出要求，利用教学道具，想出更科学、更严谨的验证方法。
2. 学生动手探索，交流后得出以下验证方法：
（1）剪拼的方法
学生汇报后，师小结：能想到这个方法不简单，拼成的看起来像平角，到底是不是平角呢，我们一起来试试看。（教师和学生剪一剪、拼一拼，把三角形的三个内角凑到了一起，拼成了一个大角）角的两条边是不是在一条直线上呢？看起来挺像的，但在操作的过程中难免会产生误差，有时会差一点点，谁还有别的方法确定三角形的内角和一定是180°？
（2）折拼的方法
学生汇报后，师小结：我们要研究三角形的内角和，实际上就是想办法把三角形的三个内角凑到一起，像剪和折的方法，看三个内角拼到一起是不是180°，都是借助我们学过的平角的知识来解决问题。这三种方法都不错，但在操作的过程中，有时会有误差，不太有说服力。想一想，你还能不能借助我们学过的其他图形，说明三角形的内角和一定是180°？
（3）演绎推理的方法
有学生提出借助学过的长方形，把一个长方形沿对角线分成两个三角形。
师：你认为这种方法好不好？我们看看是不是这么回事。
（演示课件：两个完全相同的三角形内角和等于360°，一个三角形内角和等于180°）
师小结：这种方法避免了在剪拼过程中由于操作出现的误差，非常准确地说明了三角形的内角和一定是180°。
3. 验证猜想
请学生把刚才研究的三角形举起来，分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三类三角形的内角和都是180°，那就可以说，所有的三角形的内角和都是180°。
师：这个结论和课前知道的或猜的一样吗？
4. 老师介绍科学验证方法
师：不同的方法，同样的精彩，大家发现了吗？无论是剪一剪、折一折，还是拼一拼，这些方法都有异曲同工之妙，那就是你们都用了转化的策略。我发现你们都有数学家的头脑。知道吗？数学家在证明这一猜想时，也用了转化的思想，一起来看（看课件）。
结合以上两个教学片断，有以下四点值得深思。
一、设计有效的数学活动，在活动中积累经验
在片断中，笔者设计了一个数学活动，先让学生整体感知三角形内角和的知识，有效地避免了新知识的“横空出现”。教学时，笔者按照从特殊到一般的思路，三角板的三个内角和是180°，于是产生猜测：是不是所有的三角形的内角和都是180°？学生产生了进行验证的需要。学生从课堂上的猜一猜、量一量、剪一剪、拼一拼、折一折等数学活动中可获得丰富的数学活动经验，但这种经验只是教学的起点，它还需要学生在自主探究、老师指导、同学交流等过程中去粗取精、反思、抽象、概括，从而内化为学生自身的活动经验。课堂上要注重让学生通过自己的实践、猜测、验证去发现问题、研究问题、解决问题，在这个过程中，学生获得的不仅仅是“三角形的内角和都是180°”这个知识，而且通过这样的过程，积累了如何去发现问题、解决问题的经验。
二、运用多种方法进行验证，注重数学思想方法的渗透
学生通过画一画、量一量、算一算的活动亲自探究，但可能由于在测量过程中出现误差，导致结果中有的小于180°，有的大于180°；或者是由于测量方法错误，出现偏差较大的结果。通过展示及学生互相的质疑和点评，学生能初步感知到不同形状的三角形内角和大约是180°，并认识到测量的方法存在误差，不够严谨和科学，从而促进学生探究更科学的验证方法。学生通过小组合作的方式学到方法，分享经验，更重要的是领悟到研究问题的科学方法。就学生的发展而言，探究的过程比探究获得的结论更有价值。在很多同学都知道“三角形内角和是180°”的情况下，要引导学生领悟“有了猜测还要去验证”的道理，这是一种科学的研究问题的方法，是一种求实精神。立足长远，注重长效，不仅关注知识和能力目标的落实，更注重数学思想方法的渗透。在验证“三角形内角和是180°”的过程中，笔者有意识地引导学生认识到，剪拼的验证方法其实是把三角形的内角和转化成了平角，使学生对“转化”的数学思想有所感悟；在对测量的结果出现不同答案的交流过程中，学生认识到测量时会出现误差，从而培养学生严谨的、科学的学习态度和探究精神。
三、关注学生的实践活动与数学结论存在的误差
教学中，要关注操作活动中学生遇到的问题，学生在量算中出现了两个问题：一是测量三个内角后所得的和不是180°；二是学生已经知道了结论，操作时不自觉地用结论来调整自己的测量数据，制造出一个伪结果。在剪的过程也出现了两个问题：一是剪下来的角不知是哪个角；二是剪下来的三个角拼不成平角。笔者针对这几个问题，在学生讨论时，及时点拨，引导学生在实验时应该注意什么问题，使学生懂得在验证“三角形的内角和是不是180°”时，在先测量再相加的过程中，测量时会有误差，剪得的三角形边不够直时也可能会有误差。在一系列的实验、操作活动中，积累一些经验和方法，逐步推理归纳出“三角和的内角和是180°”。
四、注重探索和证明的有机结合
探索活动是进行合情推理的过程，在数学教学中，注重“探索与发现”和“演绎证明”的有机结合，有利于增强学生发现和提出问题的能力，以及分析和解决问题的能力。
总之，数学活动经验是在“做”中积累起来的，充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础。教师也应注意到，在设计数学活动的同时，更要关注活动背后学生的数学思考。
【关键词】数学活动；经验积累；教学方法；教学案例
新课标强调：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。“数学经验”是让学生在“做”中积累起来的。笔者也进行了多次操作教学的尝试，但仍对如何提高学生操作的有效性存在困惑。在教学了《三角形内角和》一课后，笔者对在数学活动中，如何引导学生运用多种方法验证，以及注重探索与验证的有机结合，有了更深的了解和启发。
【片断回放】
片断1：提出问题，引发猜想
1. 出示一副三角板，告诉学生三角形的内角是指三角形里面的角。请学生分别说出两副三角板的内角和是多少？
2. 告诉学生三个内角的度数之和就是三角形的内角和。通过计算得知两副三角板的内角和都是180°。
3. 由此，抛出问题：既然三角板三个内角和是180°，由此猜测是不是所有三角形的内角和都是180°呢？但只有猜想可不行，还得想办法验证一下。
4. 确定研究范围
师：研究三角形的内角和，是不是应该包括所有的三角形？只研究黑板上这一个行不行？那就随便画，挨个研究吧。（学生反对）请你想个办法吧！
“研究哪几类三角形，就能代表所有的三角形”，从而确定研究锐角三角形、直角三角形、钝角三角形就能代表所有的三角形。
片断2：动手操作，验证猜想
1. 测量的方法
（1）小组合作量一量，动手操作，组内交流
（2）全班匯报交流
师根据学生不同的汇报结果，总结并板书“量一量”，“形状不同的三角形内角和大约是180°”。同时指出测量存在误差，不够严谨和科学，向学生提出要求，利用教学道具，想出更科学、更严谨的验证方法。
2. 学生动手探索，交流后得出以下验证方法：
（1）剪拼的方法
学生汇报后，师小结：能想到这个方法不简单，拼成的看起来像平角，到底是不是平角呢，我们一起来试试看。（教师和学生剪一剪、拼一拼，把三角形的三个内角凑到了一起，拼成了一个大角）角的两条边是不是在一条直线上呢？看起来挺像的，但在操作的过程中难免会产生误差，有时会差一点点，谁还有别的方法确定三角形的内角和一定是180°？
（2）折拼的方法
学生汇报后，师小结：我们要研究三角形的内角和，实际上就是想办法把三角形的三个内角凑到一起，像剪和折的方法，看三个内角拼到一起是不是180°，都是借助我们学过的平角的知识来解决问题。这三种方法都不错，但在操作的过程中，有时会有误差，不太有说服力。想一想，你还能不能借助我们学过的其他图形，说明三角形的内角和一定是180°？
（3）演绎推理的方法
有学生提出借助学过的长方形，把一个长方形沿对角线分成两个三角形。
师：你认为这种方法好不好？我们看看是不是这么回事。
（演示课件：两个完全相同的三角形内角和等于360°，一个三角形内角和等于180°）
师小结：这种方法避免了在剪拼过程中由于操作出现的误差，非常准确地说明了三角形的内角和一定是180°。
3. 验证猜想
请学生把刚才研究的三角形举起来，分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三类三角形的内角和都是180°，那就可以说，所有的三角形的内角和都是180°。
师：这个结论和课前知道的或猜的一样吗？
4. 老师介绍科学验证方法
师：不同的方法，同样的精彩，大家发现了吗？无论是剪一剪、折一折，还是拼一拼，这些方法都有异曲同工之妙，那就是你们都用了转化的策略。我发现你们都有数学家的头脑。知道吗？数学家在证明这一猜想时，也用了转化的思想，一起来看（看课件）。
结合以上两个教学片断，有以下四点值得深思。
一、设计有效的数学活动，在活动中积累经验
在片断中，笔者设计了一个数学活动，先让学生整体感知三角形内角和的知识，有效地避免了新知识的“横空出现”。教学时，笔者按照从特殊到一般的思路，三角板的三个内角和是180°，于是产生猜测：是不是所有的三角形的内角和都是180°？学生产生了进行验证的需要。学生从课堂上的猜一猜、量一量、剪一剪、拼一拼、折一折等数学活动中可获得丰富的数学活动经验，但这种经验只是教学的起点，它还需要学生在自主探究、老师指导、同学交流等过程中去粗取精、反思、抽象、概括，从而内化为学生自身的活动经验。课堂上要注重让学生通过自己的实践、猜测、验证去发现问题、研究问题、解决问题，在这个过程中，学生获得的不仅仅是“三角形的内角和都是180°”这个知识，而且通过这样的过程，积累了如何去发现问题、解决问题的经验。
二、运用多种方法进行验证，注重数学思想方法的渗透
学生通过画一画、量一量、算一算的活动亲自探究，但可能由于在测量过程中出现误差，导致结果中有的小于180°，有的大于180°；或者是由于测量方法错误，出现偏差较大的结果。通过展示及学生互相的质疑和点评，学生能初步感知到不同形状的三角形内角和大约是180°，并认识到测量的方法存在误差，不够严谨和科学，从而促进学生探究更科学的验证方法。学生通过小组合作的方式学到方法，分享经验，更重要的是领悟到研究问题的科学方法。就学生的发展而言，探究的过程比探究获得的结论更有价值。在很多同学都知道“三角形内角和是180°”的情况下，要引导学生领悟“有了猜测还要去验证”的道理，这是一种科学的研究问题的方法，是一种求实精神。立足长远，注重长效，不仅关注知识和能力目标的落实，更注重数学思想方法的渗透。在验证“三角形内角和是180°”的过程中，笔者有意识地引导学生认识到，剪拼的验证方法其实是把三角形的内角和转化成了平角，使学生对“转化”的数学思想有所感悟；在对测量的结果出现不同答案的交流过程中，学生认识到测量时会出现误差，从而培养学生严谨的、科学的学习态度和探究精神。
三、关注学生的实践活动与数学结论存在的误差
教学中，要关注操作活动中学生遇到的问题，学生在量算中出现了两个问题：一是测量三个内角后所得的和不是180°；二是学生已经知道了结论，操作时不自觉地用结论来调整自己的测量数据，制造出一个伪结果。在剪的过程也出现了两个问题：一是剪下来的角不知是哪个角；二是剪下来的三个角拼不成平角。笔者针对这几个问题，在学生讨论时，及时点拨，引导学生在实验时应该注意什么问题，使学生懂得在验证“三角形的内角和是不是180°”时，在先测量再相加的过程中，测量时会有误差，剪得的三角形边不够直时也可能会有误差。在一系列的实验、操作活动中，积累一些经验和方法，逐步推理归纳出“三角和的内角和是180°”。
四、注重探索和证明的有机结合
探索活动是进行合情推理的过程，在数学教学中，注重“探索与发现”和“演绎证明”的有机结合，有利于增强学生发现和提出问题的能力，以及分析和解决问题的能力。
总之，数学活动经验是在“做”中积累起来的，充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础。教师也应注意到，在设计数学活动的同时，更要关注活动背后学生的数学思考。