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数学思想方法是对数学知识最高层次的抽象和概括，是对数学知识、技能的一种“悟性”. 掌握数学思想方法的境界是在解决数学问题时，对解题技巧、方法的无意识地自然反映，是高考考查的核心. 历年高考试题都坚持对函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等数学思想方法的考查，充分体现了数学思想方法是数学精髓的理念.
1. 函数与方程思想
方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决. 它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础. 由于函数[y=f(x)]可以看作是方程[y-f(x)=0]. 因此，函数与方程有必然的联系. 在实际问题的解决过程中，函数、方程、不等式常常互相转化，因此函数与方程的思想是高考考查的重点知识.
例1 已知斜率为1的直线与双曲线[C:x2a2-y2b2=1 (a>0 , b>0)]相交于[B]、[D]两点，且[BD]的中点为[M(1 , 3)].
（1）求[C]的离心率.
（2）设[C]的右顶点为[A]，右焦点为[F]，[DF⋅BF=17]. 证明：过[A]、[B]、[D]三点的圆与[x]轴相切.
解析 （1）由题设知[l]的方程为[y=x+2]，
将其代入[C]的方程，化简得
[(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0]，
设[B(x1 , y1) , D(x2 , y2)]，
则[x1+x2=4a2b2-a2 , x1x2=-4a2+a2b2b2-a2,] ①
由[M(1 , 3)]为[BD]的中点，
知[x1+x22=2a2b2-a2=1,]
即[b2=3a2,] ②
故[c=a2+b2=2a]， ∴[e=ca=2].
（2）由①②知[C]的方程为[3x2-y2=3a2]，[A(a , 0)]，[F(2a , 0).]
[x1+x2=2]，[x1x2=-4+3a22<0,]
故不妨设[x1≤-a]，[x2≥a]，
[BF=(x1-2a)2+y12=(x1-2a)2+3x21-3a2]
[=a-2x1]，
[FD=(x2-2a)2+y22=(x2-2a)2+3x22-3a2]
[=2x2-a]，
[BF⋅DF=(a-2x1)(2x2-a)]
[=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8].
又[BF⋅DF=17]，故[5a2+4a+8=17].
解得[a=1]或[a=-95]（舍），
所以[x1x2=-72],
故[BD=2x1-x2=2⋅(x1+x2)2-4x1x2]
[=2⋅4+72×4=6.]
连结[MA]. 则由[A(1 , 0)]，[M(1 , 3)]，知[MA=3]，
从而[MA=MB=MD]，且[MA⊥x]轴. 因此，以[M]为圆心，[MA]为半径的圆经过[A]、[B]、[D]三点，且在点[A]处与[x]轴相切.
所以，过[A]、[B]、[D]三点的圆与[x]轴相切.
点评 直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常常用到函数与方程的思想.
例2 设函数[f(x)=13x3-a2x2+bx+c]，其中[a>0]. 曲线[y=f(x)]在点[P(0 , f(0) )]处的切线方程为[y=1.]
（1）确定[b]、[c]的值;
（2）设曲线[y=f(x)]在点[(x1 , f(x1) )]及[(x2 , f(x2) )]处的切线都过点[(0 , 2 )]. 证明：当[x1≠x2]时，[f(x1)≠f(x2)]；
（3）若过点[(0 , 2 )]可作曲线[y=f(x)]的三条不同切线，求[a]的取值范围.
解析 （1）由[f(x)=13x3-a2x2+bx+c]，
得[f(0)=c]，[f(x)=x2-ax+b]，[f(0)=b].
又由曲线[y=f(x)]在点[P(0 , f(0) )]处的切线方程为[y=1]，得[f(0)=1]，[f(0)=0].
故[b=0]，[c=1].
（2）[f(x)=13x3-a2x2+1]，[f(x)=x2-ax].
由于[f(x)]在点[(t , f(t) )]处的切线方程为
[y-f(t)=f(t)⋅(x-t)],
而点[(0 , 2 )]在切线上，所以[2-f(t)=f(t)⋅(-t)]，化简得[23t3-a2t2+1=0]，即[t]满足方程[23t3-a2t2+1=0].
下面用反证法证明：
假设[f(x1)=f(x2)]，由于曲线[y=f(x)]在点[(x1 , f(x1) )]及[(x2 , f(x2) )]处的切线都过点[(0 , 2 )]，则下列等式成立：
[23x31-a2x21+1=0, ① 23x32-a2x22+1=0, ② x21-ax1=x22-ax2, ③]
由③得[x1+x2=a].
由①-②得[x21+x1x2+x22=34a2 ④]，
又[x21+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2]
[=a2-x1(a-x1)]
[=x21-ax1+a2]
[=(x1-a2)2+34a2≥34a2].
故由④得[x1=a2]，此时[x2=a2]，与[x1≠x2]矛盾,所以[f(x1)≠f(x2)].
（3）由（2）知，过点[(0 , 2 )]可作[y=f(x)]的三条不同切线，等价于方程[2-f(t)=f(t)⋅(-t)]有三个相异的实根，即等价于[23t3-a2t2+1=0]有三个相异的实根.
设[g(t)=23t3-a2t2+1]，
则[g(t)=2t2-at=2t(t-a2)].
由于[a>0]，故有
[[t]\&[(-∞,0)]\&0\&[(0,a2)]\&[a2]\&[(a2,+∞)]\&[g′(t)]\&+\&0\&-\&0\&+\&[g(t)]\&↗\&极大值1\&↘\&极小值[1-a324]\&↗\&]
由[g(t)]的单调性知要使[g(t)=0]有三个相异的实根，当且仅当[1-a324<0]，即[a>233].
所以[a]的取值范围为[(233 , +∞)].
点评 有关不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析. 当一般方法难以奏效时，可以构造函数方程.
2. 数形结合的思想
数形结合的思想方法应用广泛，如解方程和解不等式问题，求函数的值域、最值问题，三角函数问题，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程，这在解选择题、填空题中更显其优越性. 要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图、见数想图，以开拓自己的思维视野.
例3 （1）若不等式[9-x2≤k(x+2)-2]的解集为区间[a , b]，且[b-a=2]，则[k=] .
（2）若[x-a+1x≥12]对一切[x>0]恒成立，求实数[a]的取值范围.
解析 （1）可设函数[f(x)=9-x2]，[g(x)=k(x+2)-2]，易知[f(x)]的图象是以原点为圆心，半径为3的上半圆，[g(x)]是一条经过定点[(-2 , -2)]的直线，如图所示，从图中可知要使[b-a=2]，直线[y=k(x+2)-2]必须经过点[(1 , 22)]，故直线的斜率[k=22-(-2)1-(-2)=2].
（2）[x-a+1x≥12]，可得[x-a≥12-1x]，令[y=x-a]，[y=12-1x]，[|x-a|+1x≥12]对一切[x>0]恒成立，则[y=x-a]在[y]轴右边的图象都在[y=12-1x]的上方，先作出[y=x]的图象，向右平移，由图知，[a≤2].
[2][-2][5][-5][-10][10]
点评 用数形结合解不等式的理论依据是：大于反映到图象上就是在上方，小于反映到图象上就是在下方，从而在研究不等式关系时，可以通过函数的图象来解决.
例4 （1）已知抛物线[C:y2=2px (p>0)]的准线为[l]，过[M(1 , 0)]且斜率为[3]的直线与[l]相交于点[A]，与[C]的一个交点为[B]，若[AM=MB]，则[p=] .
（2）已知双曲线[x212-y24=1]的右焦点为[F]，若过点[F]的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 .
解析 （1）过[B]作[BE]垂直于准线[l]于[E]，
∵[AM=MB]，∴[M]为中点，
∴[BM=12AB].
又∵斜率为[3]，[∠BAE=30°,]∴[BE=12AB]，
∴[BM=BE]，∴[M]为抛物线的焦点，∴[p=2.]
（2）如图，当过右焦点的直线与渐近线平行时，由双曲线性质可知，此时直线与双曲线右支有且仅有一个交点（且与整个双曲线也仅此一个交点）. 当过右焦点的直线位于两条渐近线之间时，直线与双曲线左、右支均交于一点，也符合题意.
又由双曲线方程[x212-y24=1]知双曲线的渐近线方程为[y=±33x]，于是有[-33≤k≤33].
∴此直线斜率的取值范围是[-33 , 33].
3. 分类讨论思想
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果；
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的.
分类原则：分类对象确定、标准统一、不重复、不遗漏、分层次、不越级讨论.
分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论.
例5 （1）某单位安排7名员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）.
A. 504种 B. 960种
C. 1008种 D. 1108种
（2）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为[a]的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则[a]的取值范围是（ ）
A. [(0 , 6+2)] B. [(1 , 22)]
C. [(6-2 , 6+2)] D. [(0 , 22)]
解析 （1）①当丙在10月7日值班时共[A22A55]=240种.
②当丙不在10月7日值班时，若甲、乙有1人在10月7日值班时，共[C12C14A44]=192种排法；若甲、乙不在10月7日值班时，共有[C13(C12A44+C13A22A44)]=576种.
综上知，共有240+192+576=1008种排法. 故选C.
（2）根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为[a]的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：
[2][2][2][2]
①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，[a]，[a]，如图，此时[a]可以取最大值，可知[AD=3]，[SD=a2-1]，则有[a2-1<2+3]，
[a2<8+43=(6+2)2]，即[a<6+2].
[2] [2][2][2]
②构成三棱锥的两条对角线长为[a]，其他各边长为2，如图，此时[a>0].
综上分析可知[a∈(0 , 6+2)]，故选A.
点评 （1）先从有限制条件的元素入手，需分两级进行分类讨论；（2）由于六根铁条构成三棱锥的形状可能有几种故需分类讨论. 由于本题为选择题，可取特殊图形检验.
例6 已知函数[f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R).]
（1）当[a≤12]时，讨论[f(x)]的单调性.
（2）设[g(x)=x2-2bx+4]，当[a=14]时，若对任意[x1 ∈(0 , 2)]，存在[x2∈1 , 2]，使[f(x1)≥g(x2)]，求实数[b]的取值范围.
解 （1）∵[f(x)=lnx-ax+1-ax-1]，
∴[f(x)=1x-a+a-1x2=-ax2-x+1-ax2]，
[x∈(0 , +∞).]
令[h(x)=ax2-x+1-a]，[x∈(0 , +∞)].
①当[a=0]时，[h(x)=-x+1]，[x∈(0 , +∞)]，
所以当[x∈(0 , 1)]时，[h(x)>0]，此时[f(x)<0,]
∴函数[f(x)]单调递减；
当[x∈(1 , +∞)]时，[h(x)<0]，此时[f(x)>0,]
∴函数[f(x)]单调递增.
②当[a≠0]时，令[f(x)=0,]
即[ax2-x+1-a=0]，解得[x1=1]，[x2=1a-1].
(ⅰ)当[a=12]时，[x1=x2]，[h(x)≥0]恒成立，此时[f(x)≤0]，函数[f(x)]在[(0 , +∞)]上单调递减.
(ⅱ)当[01>0.]
当[x∈(0 , 1)]时，[h(x)>0]，此时[f(x)<0]，函数[f(x)]单调递减；
当[x∈(1 , 1a-1)]时，[h(x)<0]，此时[f(x)>0]，函数[f(x)]单调递增；
当[x∈( 1a-1 , +∞)]时，[h(x)>0]，此时[f(x)<0]，函数[f(x)]单调递减.
(ⅲ)当[a<0]时，[1a-1<0.]
当[x∈(0 , 1)]时，[h(x)>0]，此时[f(x)<0]，函数[f(x)]单调递减；
当[x∈( 1 , +∞)]时，[h(x)<0]，此时[f(x)>0]，函数[f(x)]单调递增.
综上所述，当[a≤0]时，函数[f(x)]在[(0 , 1)]上单调递减，在[( 1 , +∞)]上单调递增；
当[a=12]时，函数[f(x)]在[(0 , +∞)]上单调递减；
当[0 （2）因为[a=14∈(0 , 12)]，由（1）知当[x∈(0 , 1)]时，函数[f(x)]单调递减；当[x∈( 1 , 2)]时，函数[f(x)]单调递增，所以[f(x)]在[( 0 , 2)]上的最小值为[f(1)=-12].
由于“对任意[x1∈(0 , 2)]，存在[x2∈1 , 2]，使[f(x1)≥g(x2)]”等价于“[g(x)]在[1 , 2]上的最小值不大于[f(x)]在[( 0 , 2)]上的最小值[-12]”（*）
又[g(x)=(x-b)2+4-b2]，[x∈1 , 2]，
①当[b∈(-∞ , 1)]时，
[g(x)min=g(1)=5-2b>0]，与（*）矛盾；
②当[b∈1 , 2]时，
[g(x)min=4-b2≥0]，同样与（*）矛盾；
③当[b∈( 2 , +∞)]时，
[g(x)min=g(2)=8-4b]，
解不等式[8-4b≤-12]，可得[b≥178].
综上所述，[b]的取值范围是[178 , +∞].
点评 本题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想，以及综合运用知识解读新情境、新问题的能力.
4. 化归与转化的思想
在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身提供的信息，利用动态思维去，寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法.
例7 飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排三个救援中心（记为[A]、[B]、[C]），[B]在[A]的正东方向，相距6km，[C]在[B]的北偏东[30°]，相距4km，[P]为航天员着陆点，某一时刻[A]接到[P]的求救信号，由于[B]、[C]两地比[A]距[P]远，因此4s后，[B]、[C]两个救援中心才同时接到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.
（1）求[A]、[C]两个救援中心的距离；
（2）求在[A]处发现[P]的方向角；
（3）若信号从[P]点的正上方[Q]点处发现，则[A]、[B]收到信号的时间差变大还是变小？并证明你的结论.
解析 （1）以[AB]中点为坐标原点，[AB]所在直线为[x]轴建立平面直角坐标系，则[A(-3 , 0)]，[B(3 , 0)]，[C(5 , 23)]，由两点间的距离公式得[AC=(5+3)2+(23)2=219]km，即[A]、[C]两个救援中心的距离为[219]km.
（2）因为[PC=PB]，所以[P]在线段[BC]的垂直平分线上.
又因为[PB-PA=4<6]，所以[P]在以[A]、[B]为焦点的双曲线的左支上，且[AB=6]，所以，双曲线方程为[x24-y25=1 (x<0)]，线段[BC]的垂直平分线的方程为[x+3y-7=0]，
联立两方程，解得[x=-8]，
所以[P(-8 , 53)]，[kPA=tan∠PAB=-3]，
故[∠PAB=120°]，所以[P]点在[A]点的北偏西[30°]处.
（3）如图，设[PQ=h]，[PB=x]，[PA=y]，
有[QB-QA=x2+h2-y2+h2]
[=x2-y2x2+h2+y2+h2]
[=(x-y)⋅x+yx2+h2+y2+h2<1.]
所以[QB-QA 点评 本题综合了平面几何、解析几何、立体几何、三角函数和不等式知识，对大家分析条件、确定运算方向以及运算过程中巧妙转化的能力要求较高.
例8 已知曲线[Cn:x2-2nx+y2=0 (n=1 ,][ 2 , ⋯)]，从点[P(-1 , 0)]向曲线[Cn]引斜率为[kn(kn>0)]的切线[ln]，切点为[Pn(xn , yn)].
（1）求数列[xn]与[yn]的通项公式；
（2）证明：[x1⋅x3⋅x5⋅ ⋯ ⋅x2n-1<1-xn1+xn]
[<2sinxnyn]
解析 曲线[Cn]可化为[(x-n)2+y2=n2 (n∈N∗)]，这是一个圆心为[(n , 0)]，半径为[n]的动圆，如图：
[1][-1]
（1）在[Rt△PPnCn]中，[PnCn2=n-xn⋅PCn]，即[n2=(n-xn)(n+1).]
解得[xn=n1+n]，再代入曲线[Cn]方程，可求出[yn=n1+n1+2n].
（2）(ⅰ)要证[x1⋅x3⋅x5⋅⋯⋅x2n-1<1-xn1+xn,]
即证[12×34×56×⋯×2n-12n<12n+1,]
只需证[(12×34×56×⋯×2n-12n)2<11+2n. (∗)]
∵[2k-12k=1-12k<1-12k+1=2k2k+1(k∈N∗)]，
∴[12<23]，[34<45]，[56<67]，…，[2n-12n<2n2n+1].
将上面[n]个同向不等式累乘，得
[12×34×56×⋯×2n-12n<23×45×67×⋯×2n2n+1,]
不等式两边同时乘以[12×34×56×⋯×2n-12n]，得
[(12×34×56×⋯×2n-12n)2<12×23×34×45×⋯×]
[2n-12n×2n2n+1=12n+1]，
故不等式[(∗)]得证.
(ⅱ)下面证[1-xn1+xn<2sin12n+1]，
即证[12n+1<2sin12n+1]，
∵[n∈N∗]，∴[0<12n+1≤33<π4]，
∴[cos12n+1>cosπ4=22]，
[2sin12n+1=sin12n+1cosπ4>sin12n+1cos12n+1]
[=tan12n+1.]
由性质“若[θ∈(0 , π2)]，则[sinθ<θ 综上可知，原不等式成立.
点评 本题以解析几何为载体，全面考查直线与圆的位置关系、数列、不等式证明等诸多知识，对同学们的基础和能力有着较高的要求，能够顺利完成这道题的考生很少，而做出来的基本上是常规方法，如果我们能够跳出平时的思维定势，前一问用射影定理，后一问的左边对不等式适度放缩，技巧性较强，但做法让人赏心悦目.
1. 函数与方程思想
方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决. 它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础. 由于函数[y=f(x)]可以看作是方程[y-f(x)=0]. 因此，函数与方程有必然的联系. 在实际问题的解决过程中，函数、方程、不等式常常互相转化，因此函数与方程的思想是高考考查的重点知识.
例1 已知斜率为1的直线与双曲线[C:x2a2-y2b2=1 (a>0 , b>0)]相交于[B]、[D]两点，且[BD]的中点为[M(1 , 3)].
（1）求[C]的离心率.
（2）设[C]的右顶点为[A]，右焦点为[F]，[DF⋅BF=17]. 证明：过[A]、[B]、[D]三点的圆与[x]轴相切.
解析 （1）由题设知[l]的方程为[y=x+2]，
将其代入[C]的方程，化简得
[(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0]，
设[B(x1 , y1) , D(x2 , y2)]，
则[x1+x2=4a2b2-a2 , x1x2=-4a2+a2b2b2-a2,] ①
由[M(1 , 3)]为[BD]的中点，
知[x1+x22=2a2b2-a2=1,]
即[b2=3a2,] ②
故[c=a2+b2=2a]， ∴[e=ca=2].
（2）由①②知[C]的方程为[3x2-y2=3a2]，[A(a , 0)]，[F(2a , 0).]
[x1+x2=2]，[x1x2=-4+3a22<0,]
故不妨设[x1≤-a]，[x2≥a]，
[BF=(x1-2a)2+y12=(x1-2a)2+3x21-3a2]
[=a-2x1]，
[FD=(x2-2a)2+y22=(x2-2a)2+3x22-3a2]
[=2x2-a]，
[BF⋅DF=(a-2x1)(2x2-a)]
[=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8].
又[BF⋅DF=17]，故[5a2+4a+8=17].
解得[a=1]或[a=-95]（舍），
所以[x1x2=-72],
故[BD=2x1-x2=2⋅(x1+x2)2-4x1x2]
[=2⋅4+72×4=6.]
连结[MA]. 则由[A(1 , 0)]，[M(1 , 3)]，知[MA=3]，
从而[MA=MB=MD]，且[MA⊥x]轴. 因此，以[M]为圆心，[MA]为半径的圆经过[A]、[B]、[D]三点，且在点[A]处与[x]轴相切.
所以，过[A]、[B]、[D]三点的圆与[x]轴相切.
点评 直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常常用到函数与方程的思想.
例2 设函数[f(x)=13x3-a2x2+bx+c]，其中[a>0]. 曲线[y=f(x)]在点[P(0 , f(0) )]处的切线方程为[y=1.]
（1）确定[b]、[c]的值;
（2）设曲线[y=f(x)]在点[(x1 , f(x1) )]及[(x2 , f(x2) )]处的切线都过点[(0 , 2 )]. 证明：当[x1≠x2]时，[f(x1)≠f(x2)]；
（3）若过点[(0 , 2 )]可作曲线[y=f(x)]的三条不同切线，求[a]的取值范围.
解析 （1）由[f(x)=13x3-a2x2+bx+c]，
得[f(0)=c]，[f(x)=x2-ax+b]，[f(0)=b].
又由曲线[y=f(x)]在点[P(0 , f(0) )]处的切线方程为[y=1]，得[f(0)=1]，[f(0)=0].
故[b=0]，[c=1].
（2）[f(x)=13x3-a2x2+1]，[f(x)=x2-ax].
由于[f(x)]在点[(t , f(t) )]处的切线方程为
[y-f(t)=f(t)⋅(x-t)],
而点[(0 , 2 )]在切线上，所以[2-f(t)=f(t)⋅(-t)]，化简得[23t3-a2t2+1=0]，即[t]满足方程[23t3-a2t2+1=0].
下面用反证法证明：
假设[f(x1)=f(x2)]，由于曲线[y=f(x)]在点[(x1 , f(x1) )]及[(x2 , f(x2) )]处的切线都过点[(0 , 2 )]，则下列等式成立：
[23x31-a2x21+1=0, ① 23x32-a2x22+1=0, ② x21-ax1=x22-ax2, ③]
由③得[x1+x2=a].
由①-②得[x21+x1x2+x22=34a2 ④]，
又[x21+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2]
[=a2-x1(a-x1)]
[=x21-ax1+a2]
[=(x1-a2)2+34a2≥34a2].
故由④得[x1=a2]，此时[x2=a2]，与[x1≠x2]矛盾,所以[f(x1)≠f(x2)].
（3）由（2）知，过点[(0 , 2 )]可作[y=f(x)]的三条不同切线，等价于方程[2-f(t)=f(t)⋅(-t)]有三个相异的实根，即等价于[23t3-a2t2+1=0]有三个相异的实根.
设[g(t)=23t3-a2t2+1]，
则[g(t)=2t2-at=2t(t-a2)].
由于[a>0]，故有
[[t]\&[(-∞,0)]\&0\&[(0,a2)]\&[a2]\&[(a2,+∞)]\&[g′(t)]\&+\&0\&-\&0\&+\&[g(t)]\&↗\&极大值1\&↘\&极小值[1-a324]\&↗\&]
由[g(t)]的单调性知要使[g(t)=0]有三个相异的实根，当且仅当[1-a324<0]，即[a>233].
所以[a]的取值范围为[(233 , +∞)].
点评 有关不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析. 当一般方法难以奏效时，可以构造函数方程.
2. 数形结合的思想
数形结合的思想方法应用广泛，如解方程和解不等式问题，求函数的值域、最值问题，三角函数问题，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程，这在解选择题、填空题中更显其优越性. 要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图、见数想图，以开拓自己的思维视野.
例3 （1）若不等式[9-x2≤k(x+2)-2]的解集为区间[a , b]，且[b-a=2]，则[k=] .
（2）若[x-a+1x≥12]对一切[x>0]恒成立，求实数[a]的取值范围.
解析 （1）可设函数[f(x)=9-x2]，[g(x)=k(x+2)-2]，易知[f(x)]的图象是以原点为圆心，半径为3的上半圆，[g(x)]是一条经过定点[(-2 , -2)]的直线，如图所示，从图中可知要使[b-a=2]，直线[y=k(x+2)-2]必须经过点[(1 , 22)]，故直线的斜率[k=22-(-2)1-(-2)=2].
（2）[x-a+1x≥12]，可得[x-a≥12-1x]，令[y=x-a]，[y=12-1x]，[|x-a|+1x≥12]对一切[x>0]恒成立，则[y=x-a]在[y]轴右边的图象都在[y=12-1x]的上方，先作出[y=x]的图象，向右平移，由图知，[a≤2].
[2][-2][5][-5][-10][10]
点评 用数形结合解不等式的理论依据是：大于反映到图象上就是在上方，小于反映到图象上就是在下方，从而在研究不等式关系时，可以通过函数的图象来解决.
例4 （1）已知抛物线[C:y2=2px (p>0)]的准线为[l]，过[M(1 , 0)]且斜率为[3]的直线与[l]相交于点[A]，与[C]的一个交点为[B]，若[AM=MB]，则[p=] .
（2）已知双曲线[x212-y24=1]的右焦点为[F]，若过点[F]的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 .
解析 （1）过[B]作[BE]垂直于准线[l]于[E]，
∵[AM=MB]，∴[M]为中点，
∴[BM=12AB].
又∵斜率为[3]，[∠BAE=30°,]∴[BE=12AB]，
∴[BM=BE]，∴[M]为抛物线的焦点，∴[p=2.]
（2）如图，当过右焦点的直线与渐近线平行时，由双曲线性质可知，此时直线与双曲线右支有且仅有一个交点（且与整个双曲线也仅此一个交点）. 当过右焦点的直线位于两条渐近线之间时，直线与双曲线左、右支均交于一点，也符合题意.
又由双曲线方程[x212-y24=1]知双曲线的渐近线方程为[y=±33x]，于是有[-33≤k≤33].
∴此直线斜率的取值范围是[-33 , 33].
3. 分类讨论思想
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果；
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的.
分类原则：分类对象确定、标准统一、不重复、不遗漏、分层次、不越级讨论.
分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论.
例5 （1）某单位安排7名员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）.
A. 504种 B. 960种
C. 1008种 D. 1108种
（2）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为[a]的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则[a]的取值范围是（ ）
A. [(0 , 6+2)] B. [(1 , 22)]
C. [(6-2 , 6+2)] D. [(0 , 22)]
解析 （1）①当丙在10月7日值班时共[A22A55]=240种.
②当丙不在10月7日值班时，若甲、乙有1人在10月7日值班时，共[C12C14A44]=192种排法；若甲、乙不在10月7日值班时，共有[C13(C12A44+C13A22A44)]=576种.
综上知，共有240+192+576=1008种排法. 故选C.
（2）根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为[a]的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：
[2][2][2][2]
①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，[a]，[a]，如图，此时[a]可以取最大值，可知[AD=3]，[SD=a2-1]，则有[a2-1<2+3]，
[a2<8+43=(6+2)2]，即[a<6+2].
[2] [2][2][2]
②构成三棱锥的两条对角线长为[a]，其他各边长为2，如图，此时[a>0].
综上分析可知[a∈(0 , 6+2)]，故选A.
点评 （1）先从有限制条件的元素入手，需分两级进行分类讨论；（2）由于六根铁条构成三棱锥的形状可能有几种故需分类讨论. 由于本题为选择题，可取特殊图形检验.
例6 已知函数[f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R).]
（1）当[a≤12]时，讨论[f(x)]的单调性.
（2）设[g(x)=x2-2bx+4]，当[a=14]时，若对任意[x1 ∈(0 , 2)]，存在[x2∈1 , 2]，使[f(x1)≥g(x2)]，求实数[b]的取值范围.
解 （1）∵[f(x)=lnx-ax+1-ax-1]，
∴[f(x)=1x-a+a-1x2=-ax2-x+1-ax2]，
[x∈(0 , +∞).]
令[h(x)=ax2-x+1-a]，[x∈(0 , +∞)].
①当[a=0]时，[h(x)=-x+1]，[x∈(0 , +∞)]，
所以当[x∈(0 , 1)]时，[h(x)>0]，此时[f(x)<0,]
∴函数[f(x)]单调递减；
当[x∈(1 , +∞)]时，[h(x)<0]，此时[f(x)>0,]
∴函数[f(x)]单调递增.
②当[a≠0]时，令[f(x)=0,]
即[ax2-x+1-a=0]，解得[x1=1]，[x2=1a-1].
(ⅰ)当[a=12]时，[x1=x2]，[h(x)≥0]恒成立，此时[f(x)≤0]，函数[f(x)]在[(0 , +∞)]上单调递减.
(ⅱ)当[0
当[x∈(0 , 1)]时，[h(x)>0]，此时[f(x)<0]，函数[f(x)]单调递减；
当[x∈(1 , 1a-1)]时，[h(x)<0]，此时[f(x)>0]，函数[f(x)]单调递增；
当[x∈( 1a-1 , +∞)]时，[h(x)>0]，此时[f(x)<0]，函数[f(x)]单调递减.
(ⅲ)当[a<0]时，[1a-1<0.]
当[x∈(0 , 1)]时，[h(x)>0]，此时[f(x)<0]，函数[f(x)]单调递减；
当[x∈( 1 , +∞)]时，[h(x)<0]，此时[f(x)>0]，函数[f(x)]单调递增.
综上所述，当[a≤0]时，函数[f(x)]在[(0 , 1)]上单调递减，在[( 1 , +∞)]上单调递增；
当[a=12]时，函数[f(x)]在[(0 , +∞)]上单调递减；
当[0
由于“对任意[x1∈(0 , 2)]，存在[x2∈1 , 2]，使[f(x1)≥g(x2)]”等价于“[g(x)]在[1 , 2]上的最小值不大于[f(x)]在[( 0 , 2)]上的最小值[-12]”（*）
又[g(x)=(x-b)2+4-b2]，[x∈1 , 2]，
①当[b∈(-∞ , 1)]时，
[g(x)min=g(1)=5-2b>0]，与（*）矛盾；
②当[b∈1 , 2]时，
[g(x)min=4-b2≥0]，同样与（*）矛盾；
③当[b∈( 2 , +∞)]时，
[g(x)min=g(2)=8-4b]，
解不等式[8-4b≤-12]，可得[b≥178].
综上所述，[b]的取值范围是[178 , +∞].
点评 本题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想，以及综合运用知识解读新情境、新问题的能力.
4. 化归与转化的思想
在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身提供的信息，利用动态思维去，寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法.
例7 飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排三个救援中心（记为[A]、[B]、[C]），[B]在[A]的正东方向，相距6km，[C]在[B]的北偏东[30°]，相距4km，[P]为航天员着陆点，某一时刻[A]接到[P]的求救信号，由于[B]、[C]两地比[A]距[P]远，因此4s后，[B]、[C]两个救援中心才同时接到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.
（1）求[A]、[C]两个救援中心的距离；
（2）求在[A]处发现[P]的方向角；
（3）若信号从[P]点的正上方[Q]点处发现，则[A]、[B]收到信号的时间差变大还是变小？并证明你的结论.
解析 （1）以[AB]中点为坐标原点，[AB]所在直线为[x]轴建立平面直角坐标系，则[A(-3 , 0)]，[B(3 , 0)]，[C(5 , 23)]，由两点间的距离公式得[AC=(5+3)2+(23)2=219]km，即[A]、[C]两个救援中心的距离为[219]km.
（2）因为[PC=PB]，所以[P]在线段[BC]的垂直平分线上.
又因为[PB-PA=4<6]，所以[P]在以[A]、[B]为焦点的双曲线的左支上，且[AB=6]，所以，双曲线方程为[x24-y25=1 (x<0)]，线段[BC]的垂直平分线的方程为[x+3y-7=0]，
联立两方程，解得[x=-8]，
所以[P(-8 , 53)]，[kPA=tan∠PAB=-3]，
故[∠PAB=120°]，所以[P]点在[A]点的北偏西[30°]处.
（3）如图，设[PQ=h]，[PB=x]，[PA=y]，
有[QB-QA=x2+h2-y2+h2]
[=x2-y2x2+h2+y2+h2]
[=(x-y)⋅x+yx2+h2+y2+h2<1.]
所以[QB-QA
例8 已知曲线[Cn:x2-2nx+y2=0 (n=1 ,][ 2 , ⋯)]，从点[P(-1 , 0)]向曲线[Cn]引斜率为[kn(kn>0)]的切线[ln]，切点为[Pn(xn , yn)].
（1）求数列[xn]与[yn]的通项公式；
（2）证明：[x1⋅x3⋅x5⋅ ⋯ ⋅x2n-1<1-xn1+xn]
[<2sinxnyn]
解析 曲线[Cn]可化为[(x-n)2+y2=n2 (n∈N∗)]，这是一个圆心为[(n , 0)]，半径为[n]的动圆，如图：
[1][-1]
（1）在[Rt△PPnCn]中，[PnCn2=n-xn⋅PCn]，即[n2=(n-xn)(n+1).]
解得[xn=n1+n]，再代入曲线[Cn]方程，可求出[yn=n1+n1+2n].
（2）(ⅰ)要证[x1⋅x3⋅x5⋅⋯⋅x2n-1<1-xn1+xn,]
即证[12×34×56×⋯×2n-12n<12n+1,]
只需证[(12×34×56×⋯×2n-12n)2<11+2n. (∗)]
∵[2k-12k=1-12k<1-12k+1=2k2k+1(k∈N∗)]，
∴[12<23]，[34<45]，[56<67]，…，[2n-12n<2n2n+1].
将上面[n]个同向不等式累乘，得
[12×34×56×⋯×2n-12n<23×45×67×⋯×2n2n+1,]
不等式两边同时乘以[12×34×56×⋯×2n-12n]，得
[(12×34×56×⋯×2n-12n)2<12×23×34×45×⋯×]
[2n-12n×2n2n+1=12n+1]，
故不等式[(∗)]得证.
(ⅱ)下面证[1-xn1+xn<2sin12n+1]，
即证[12n+1<2sin12n+1]，
∵[n∈N∗]，∴[0<12n+1≤33<π4]，
∴[cos12n+1>cosπ4=22]，
[2sin12n+1=sin12n+1cosπ4>sin12n+1cos12n+1]
[=tan12n+1.]
由性质“若[θ∈(0 , π2)]，则[sinθ<θ
点评 本题以解析几何为载体，全面考查直线与圆的位置关系、数列、不等式证明等诸多知识，对同学们的基础和能力有着较高的要求，能够顺利完成这道题的考生很少，而做出来的基本上是常规方法，如果我们能够跳出平时的思维定势，前一问用射影定理，后一问的左边对不等式适度放缩，技巧性较强，但做法让人赏心悦目.