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分类思想是数学的基本思想之一. 中考试题中经常设计两解或多解题型，来考查同学们思维的严密性，倘若基础知识掌握得不扎实，常会漏解. 九年级上册的“圆”是初中阶段的重点内容，而圆中两解问题又是其中的难点，也是中考命题的热点，现归纳如下：
一、 点与圆的位置关系
1. 点在圆内与圆外的位置不确定
例1 在同一平面内，已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为______.
【解析】由于本题未指明点P与圆的位置关系，因此，应分点P在圆内或点P在圆外两种情况来考虑. 点P在圆内时，如图1，AP=5，BP=1，AB=AP+BP=5+1=6，所以圆的半径为3. 点P在圆外时，如图2，AP=5，BP=1，AB=AP-BP=5-1=4，所以圆的半径为2. 此类问题可扩展到一般情况，已知点P到圆上各点的最大距离为a，最小距离为b，则圆的半径r可以分为：点P在圆内时，半径r=■；点P在圆外时，r=■.
2. 点在圆弧上的位置不确定
例2 半径为4的圆有内接△ABC，且圆心O到BC边的距离为2. 求∠A的度数.
【解析】∠A是边BC所对的圆周角.其顶点A分两种情况：一是点A在BC边所对的劣弧上（如图3）；二是点A在BC边所对的优弧上（如图4）.
略解：过点O作OD⊥BC，D为垂足.连接OB、OC，易知∠BOC=120°，所以∠A=120°或60°.
二、 弦与圆的位置关系
1. 两条平行弦与圆心位置不确定
例3 ⊙O的半径为5 cm，AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB、CD间的距离.
【解析】题中的弦AB、CD都比⊙O的直径小，所以圆心O的位置有可能在两平行弦AB、CD的同侧，也有可能在弦AB、CD的异侧，如图5、图6两种可能. 利用垂径定理可求出OE=3 cm，OF=4 cm，所以AB与CD之间的距离为4-3=1（cm）或4+3=7（cm）.
2. 过圆上一点的两弦与圆心位置不确定
例4 已知：弦AB=2■，AC=2■，⊙O的半径为2. 求∠BAC的度数.
【解析】由于弦AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧，故有如图7、图8两种可能情况.
根据垂径定理及解直角三角形知识可求出.
解：过O点作OE⊥AB，垂足为E，作OF⊥AC，垂足为F，连接OA.
∵AB=2■，AC=2■，∴由垂径定理，得AF=■，AE=■.
∴在Rt△AEO中，cos∠EAO=■=■，∠EAO=45°；
在Rt△AFO中，cos∠FAO=■=■，∠FAO=30°.
（1） 当AB、CD在圆心O的两侧时，如图7，∠BAC=∠EAO+∠FAO=75°.
（2） 当AB、CD在圆心O的同侧时，如图8，∠BAC=∠EAO-∠FAO=15°.
∴∠BAC度数为75°或15°.
三、 两圆的位置关系
1. 两圆相切的位置不确定
例5 两圆内切，一圆半径为9，另一圆半径为r，圆心距d=4. 则r为多少？
【分析】两圆内切，圆心距等于两圆半径之差，由于本题两圆半径大小关系不确定，可能9>r，也可能9 解：当9>r时，9-r=4，则r=5； 当9 例6 已知：⊙O1与⊙O2相切，圆心距d=12，r1=5，求⊙O2的半径r2（r1 解：（1） ⊙O1与⊙O2相外切时，d=r1+r2，
∵d=12，r1=5，∴r2=7；
（2） ⊙O1与⊙O2相内切时，d=r2-r1，
∵d=12，r1=5，∴r2=17.
∴⊙O2的半径r2为7或17.
2. 公共弦与圆心的位置不确定
例7 AB为⊙O1与⊙O2的公共弦，⊙O1的半径r1=17，⊙O2的半径r2=10，AB=16，求△AO1O2的周长.
解：（1） O1与O2在AB的两侧，如图9，
∵O1O2垂直平分AB，AB=16，∴AC=8.
∴由勾股定理得：
O1C=■=■=15，O2C=■=■=6.
∴O1O2=O1C+O2C=15+6=21.
∴△AO1O2的周长=O1A+O2A+O1O2=17+10+21=48.
（2） O1与O2在AB的一侧，如图10，∵O1O2垂直平分AB，AB=16，∴AC=8. ∴由勾股定理得：
O1C=■=15，
O2C=■=6.
∴O1O2=O1C-O2C=15-6=9. ∴△AO1O2的周长=O1A+O2A+O1O2=17+10+9=36.
∴综上所述，△AO1O2的周长为48或36.
【说明】两圆位置关系是指外离、外切、相交、内切、内含5种情况.
当然，圆中多解的问题不止上述几个.本文未列出的同学们可以自己整理归纳.在解答那些未给出图形的几何问题或运动型问题时，同学们要尽可能画出所有的情形并逐一进行讨论，以此增强解题的完备性. 另外还要加强解题后的反思：此题还有其他情形吗？还有其他解法吗？……以此提高分析问题、解决问题的能力.
一、 点与圆的位置关系
1. 点在圆内与圆外的位置不确定
例1 在同一平面内，已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为______.
【解析】由于本题未指明点P与圆的位置关系，因此，应分点P在圆内或点P在圆外两种情况来考虑. 点P在圆内时，如图1，AP=5，BP=1，AB=AP+BP=5+1=6，所以圆的半径为3. 点P在圆外时，如图2，AP=5，BP=1，AB=AP-BP=5-1=4，所以圆的半径为2. 此类问题可扩展到一般情况，已知点P到圆上各点的最大距离为a，最小距离为b，则圆的半径r可以分为：点P在圆内时，半径r=■；点P在圆外时，r=■.
2. 点在圆弧上的位置不确定
例2 半径为4的圆有内接△ABC，且圆心O到BC边的距离为2. 求∠A的度数.
【解析】∠A是边BC所对的圆周角.其顶点A分两种情况：一是点A在BC边所对的劣弧上（如图3）；二是点A在BC边所对的优弧上（如图4）.
略解：过点O作OD⊥BC，D为垂足.连接OB、OC，易知∠BOC=120°，所以∠A=120°或60°.
二、 弦与圆的位置关系
1. 两条平行弦与圆心位置不确定
例3 ⊙O的半径为5 cm，AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB、CD间的距离.
【解析】题中的弦AB、CD都比⊙O的直径小，所以圆心O的位置有可能在两平行弦AB、CD的同侧，也有可能在弦AB、CD的异侧，如图5、图6两种可能. 利用垂径定理可求出OE=3 cm，OF=4 cm，所以AB与CD之间的距离为4-3=1（cm）或4+3=7（cm）.
2. 过圆上一点的两弦与圆心位置不确定
例4 已知：弦AB=2■，AC=2■，⊙O的半径为2. 求∠BAC的度数.
【解析】由于弦AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧，故有如图7、图8两种可能情况.
根据垂径定理及解直角三角形知识可求出.
解：过O点作OE⊥AB，垂足为E，作OF⊥AC，垂足为F，连接OA.
∵AB=2■，AC=2■，∴由垂径定理，得AF=■，AE=■.
∴在Rt△AEO中，cos∠EAO=■=■，∠EAO=45°；
在Rt△AFO中，cos∠FAO=■=■，∠FAO=30°.
（1） 当AB、CD在圆心O的两侧时，如图7，∠BAC=∠EAO+∠FAO=75°.
（2） 当AB、CD在圆心O的同侧时，如图8，∠BAC=∠EAO-∠FAO=15°.
∴∠BAC度数为75°或15°.
三、 两圆的位置关系
1. 两圆相切的位置不确定
例5 两圆内切，一圆半径为9，另一圆半径为r，圆心距d=4. 则r为多少？
【分析】两圆内切，圆心距等于两圆半径之差，由于本题两圆半径大小关系不确定，可能9>r，也可能9
∵d=12，r1=5，∴r2=7；
（2） ⊙O1与⊙O2相内切时，d=r2-r1，
∵d=12，r1=5，∴r2=17.
∴⊙O2的半径r2为7或17.
2. 公共弦与圆心的位置不确定
例7 AB为⊙O1与⊙O2的公共弦，⊙O1的半径r1=17，⊙O2的半径r2=10，AB=16，求△AO1O2的周长.
解：（1） O1与O2在AB的两侧，如图9，
∵O1O2垂直平分AB，AB=16，∴AC=8.
∴由勾股定理得：
O1C=■=■=15，O2C=■=■=6.
∴O1O2=O1C+O2C=15+6=21.
∴△AO1O2的周长=O1A+O2A+O1O2=17+10+21=48.
（2） O1与O2在AB的一侧，如图10，∵O1O2垂直平分AB，AB=16，∴AC=8. ∴由勾股定理得：
O1C=■=15，
O2C=■=6.
∴O1O2=O1C-O2C=15-6=9. ∴△AO1O2的周长=O1A+O2A+O1O2=17+10+9=36.
∴综上所述，△AO1O2的周长为48或36.
【说明】两圆位置关系是指外离、外切、相交、内切、内含5种情况.
当然，圆中多解的问题不止上述几个.本文未列出的同学们可以自己整理归纳.在解答那些未给出图形的几何问题或运动型问题时，同学们要尽可能画出所有的情形并逐一进行讨论，以此增强解题的完备性. 另外还要加强解题后的反思：此题还有其他情形吗？还有其他解法吗？……以此提高分析问题、解决问题的能力.