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我们知道,利用牛顿二项式定理可推得一个很著名的组合总数公式 C_n~1+C_n~2+C_n~3+…+C_n~n=2~n-1 (1)新编高中数学课本第三册的P160上安排了一道习题,即证明: C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+…+hC_n~n=n·2~(n-1) (2)这个习題实际上也是一个很重要的组合公式。根据这两个公式及牛顿二项式定理,可推导出以下一些重要的结果。定理1.C_n~2+2C_n~3+3C_n~4+…+(n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1)+1 证明:C_n~2+2C_n~3+3C_n~4+…+(n-1)C_n~n =C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+…+nC_n~n-(C_n~1 +C_n~2+C_3~n+…+C_n~n), 由公式(1)及(2),得 C_n~2+2C_n~3+3C_n~4+…+(n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n+1=(n-2)2~(n-1)+1
We know that using the Newton’s binomial theorem can be derived a well-known combination formula C_n~1+C_n~2+C_n~3+...+C_n~n=2~n-1 (1) New high school math textbook An exercise is arranged on the P160 in the third volume, which proves: C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+...+hC_n~n=n·2~(n-1) (2) This problem is actually also A very important combination formula. Based on these two formulas and Newton’s binomial theorem, some of the following important results can be derived. Theorem 1.C_n~2+2C_n~3+3C_n~4+...+(n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1)+1 Proof: C_n~2+2C_n~3+ 3C_n~4+...+(n-1)C_n~n =C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+...+nC_n~n-(C_n~1 +C_n~2+C_3~n+...+C_n~n ), From Equations (1) and (2), C_n~2+2C_n~3+3C_n~4+...+(n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n+ 1=(n-2)2~(n-1)+1