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［摘要］我国高等职业教育作为高等教育的重要组成部分，还处于起步阶段。高职数学课程作为一门基础文化课，其教学不可避免地存在诸多不适宜的问题，尤其是高职的数学概念教学面临着新的挑战。文章试图对高职数学概念教学作一些初步的探讨。
［关键词］高职 数学概念教学
［作者简介］张丽玲（1967- ），女，黑龙江哈尔滨人，广西建设职业技术学院讲师，硕士，研究方向为数学教育和经济学。（广西 南宁 530003）
［中图分类号］G712［文献标识码］A［文章编号］1004-3985（2007）30-0136-02
人类社会发展到今天，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，这使得人们在学习中越来越注重对数学能力的培养。我国高等职业教育作为高等教育的重要组成部分，其发展始于20世纪80年代的职业大学，至今只有短短二十来年的时间，而且它的快速发展还不到十年，跟发达国家的职业教育相比，还处于起步阶段，它在培养计划等各方面都处于探索阶段。而高职数学课程作为一门基础文化课，其教学不可避免地存在诸多不适宜的问题，尤其是高职数学概念的教学面临着新的挑战。为此，本文试图对高职数学概念的教学作一些初步的探讨。
一、高职数学概念教学面临的挑战
概念是思维的基本形式之一，是对一切事物进行判断和推理的基础，我们每接触一个新的事物或一个新的知识，首当其冲的就是要知道它的概念。概念一般从实际事物中经过抽象而得到，但它又较原实际问题包含更丰富的内涵。数学概念是数学研究的出发点，是数学学习的关键。建立一个数学概念，一般是运用从特殊到一般、从局部到整体的观察方法，遵循从现象到本质、从具体到抽象的认识规律，找出事物的外部联系和内在的本质。因此，数学概念不仅是思维的工具，一切分析、推理、想象都要依据概念和运用概念，同时更是培养学生逻辑思维能力的重要内容。所以正确理解数学概念是提高学习数学能力的前提，只有正确理解和掌握了概念，才能对所要解决的问题得心应手，游刃有余。许多学生害怕学习数学，而不少教师自认为已把定理、演算讲得清清楚楚，但仍然有许多学生感到茫然。数学本身来源于实际生活和现象，它从具体到抽象是一个逐级发展过程。去掉实际生活和现象的其他属性，留下一类事物本质的特征，抽象形成数学概念。而抽象所形成的数学概念有利也有弊。这种抽象有利于对事物本质的研究，但也正是这种抽象的结果拉大了数学概念与现实生活之间的距离，也拉大了数学概念的来源与应用之间的距离，这也是数学难懂、难学、难教的原因之一。
目前高职公共课程内容改革的核心是强调“够用为度”。高职高专数学教学要求遵循“以应用为目的，以必需和够用为度”的教学原则。但在教学实践中这一原则却因部分教师认识上的不足而被简单化了。课堂教学重运算轻概念，重知识传授轻能力培养，学生学到的“必需和够用”的数学内容仅仅是一些零碎、无系统的知识，学生没有形成正确的数学观念和数学的应用意识。数学作为高职院校各专业的重要基础课和工具课，其作用是提高学生的文化素养和提供就业上岗后所需的数学基础。传统的数学教学，非常重视对学生运算能力和运算技巧的培养，而对于技术应用型人才，由于从业以后不会要求他们用严密的逻辑来证明一个纯数学问题或公式，数学只是他们从事专业工作的工具，学数学主要是为了用来解决工作中出现的具体问题，所以这种人才规格决定了高职数学作为工具使用的重要性。因此，高职数学概念的教学应有别于一般普通大学的数学概念教学。
二、高职数学概念教学的方法
高职数学主要是高等数学，其研究的基本对象是“函数”，最基本、最重要的概念是“极限”，最基本的方法是“极限方法”，因而高等数学是变量数学。高等数学概念与初等数学概念在含义与思维模式上的变化必然会在数学教学中有所反映，它使学生在开始接触微积分概念时很容易出现困惑。而加强基本概念教学是高等数学教学中的一个永恒主题。对于如何加强基本概念教学，要考虑具体的课程特点，就高等数学而言，其课程特点是具有基础性、应用性、与实际联系的紧密性。
1.概念的建立阶段。高等数学中某一概念的建立，通常有三个主要阶段：
第一阶段，提出问题。高等数学概念提出的常见方法是从实例提出。实践是理论的基础，高等数学中的大部分概念，如极限、导数、定积分等，都是从实例中归纳总结出来的。因此，引入数学概念应揭示基本概念产生的实际背景，为学生提供丰富的直观背景素材，提出有趣生动、发人深省的问题，使学生经历概念的发生和形成过程。在教学中适当讲一讲数学家思考问题的过程，再现历史上某一个著名的例证，等等，会对学生了解数学概念的产生、发展很有帮助。例如极限的概念，在数列极限教学中可以适当介绍我国古代杰出数学家刘徽计算圆周率的过程。
第二阶段，探索问题。提出实例以后，引导学生积极主动地去思考得出概念的过程，通过自己的思考去试图寻求问题的解答。这样既有利于掌握定义的本质，同时又能较快地发展逻辑思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。相反的，如果只知是什么，而不知定义得出的过程，那么所学的知识往往是僵死的，妨碍对定义的灵活运用，能力也得不到相应的提高。因此，应该掌握探索问题解答的正确方法。对于从实例提出的定义，要对所举各例进行分析，去掉其个别的、非本质的东西，抓住其共同的、本质的东西，抽象概括寻求问题的解答。例如讲导数概念时，举出教材里变化率问题中介绍的变速直线运动的速度、曲线切线的斜率等实例后，指出实例的具体意义虽然各不相同，但是从抽象的数量关系来看，它们的实质是一样的，都是归结为计算当自变量的改变量趋向于零时，函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，即变化率的极限。
第三阶段，综合以上两个阶段，给出定义。如前述导数概念中，就把当自变量的改变量趋向于零时，这种变化率的极限定义为导数。
2.概念的理解阶段。首先，明确概念的本质。建立概念以后，要养成剖析概念的习惯。要认真阅读概念，结合概念形成的过程明确概念的本质和关键。例如就导数概念而言，函数在某一点处的导数描述的是函数增量与自变量增量比值，当自变量趋于零时的极限，即函数在该点处的变化率，它反映了函数相对于自变量变化快慢的程度。除瞬时速度、电流强度、线密度外，它还可以表示瞬时加速度、角速度、切线斜率、边际概念等，其本质就是变化率。这样既使学生了解了导数的实际意义，又阻断了学生对具体意义的过度依赖。
其次，明确概念的基本性质及几何意义。对于一个概念，不仅要掌握其本身，还应掌握它的一些基本性质和几何意义。如定积分，不仅要明确它的定义，还要掌握定积分的基本性质和几何意义。把定义与它的基本性质、几何意义结合起来，对思考、分析、解答与定义有关的问题会有很大的帮助。
另外，突出概念的联系和区别。对有些相近、相似或相关的概念，可把它们归并成组加以比较，以突出相互之间的联系和区别，以免产生概念间的互相干扰。让学生从比较中学习，从比较中加深理解，从而在整体上把握所学到的诸多概念。例如微积分中的这些概念组：数列极限与函数极限；一点处的连续（可导）与一个区间上的连续（可导）；左右极限与左右导数；驻点、极大（小）值点与最大（小）值点；连续性、可导性与可积性；原函数、不定积分与定积分；无穷小量、微分与微元，等等。
高等数学的概念往往不是孤立的，理清概念之间的联系，既能促进新概念的自然引入，也有助于把握已学过概念的本质和建立概念体系。
3.概念的应用阶段。学习一个新概念之后，要进行复习巩固，努力揭示它在解决实际问题中的意义，尽可能给出几何解释、物理解释以及其他联系实际的解释。要认真阅读教材中给出的定义，领会定义的实质，举出实例与定义相对照，加深对定义的理解，然后解答一些直接应用定义的问题。一般地，在一个定义的后面紧跟的练习题往往是为此而安排的，要认真地选择一两个典型题目按照定义去解答。例如在讲导数概念时，除举出教材里变化率问题中介绍的变速直线运动的速度就是路程对时间的导数，曲线切线的斜率就是函数对自变量的导数外，还可多介绍一些变化率的实际问题，对导数概念的内涵、外延作进一步的说明。比如对经济学专业的学生可介绍产品总收入对产量的导数就是总收入的变化率（边际收入）；产品总成本对产量的导数就是产品总成本的变化率（边际成本）。适当选择学生将要接触的与所学专业有联系的一些实例讲概念，能够使学生建立正确的数学概念，有利于学生提高把数学能力转化为实际应用的能力。而对于利用定义计算函数的导数例题，则视课时是否充裕而定，不一定都在课堂上讲授。
三、高职数学概念教学应注意的问题
1.适当应用直观性教学法。譬如函数极限的定义完全可以采用描述性的定义，对于高职高专学生而言，只要对极限概念有一种感性认识，确立一种“必需”的极限思想，那么在后续学习中就“够用”了。通过运用直观的几何意义表现抽象的数学概念，并且借助于直观分析辅助逻辑推导启迪学生的解题思路，从而培养学生的直觉思维。但是在教学中也不能过于强调直观理解，否则除了会一定程度上影响数学的科学性外，也很难为学生的继续学习奠定必要的基础。高等数学的许多概念像导数概念、定积分概念都是从实际问题中抽象出来的，抽象思维能力得不到发展，就难以从具体实际问题中抽象出一般的数学模型并加以解决。
2.概念教学应与专业紧密结合。数学教学与专业相结合，体现了“必需、够用”的教学原则。要针对不同专业在数学内容上作出取舍。例如经济管理类的学生，对于在专业学习和今后工作中常涉及的最小投入、最大收益、边际概念、弹性概念等知识，应多花一些时间学习直至熟练掌握。在教学中可以将数学内容分成若干模块，由数学教师和专业教师共同商定，根据各专业特点开设后续学习所必需的知识模块，以培养具有专业特色的人才。数学教学与专业结合，还要充分体现“以应用为目的”的教学原则。在传统的高职高专数学教学中，往往只注重解题技巧的训练，而忽视或轻视了数学在实际中的应用，学生能够较熟练地解题，却不能运用所学的数学知识去解决专业中的实际问题。把数学教学与专业结合起来，一个重要的途径就是要结合专业讲清概念，概念的引入或应用要多采用与专业有关的例子，并坚持概念教学以应用为目的的原则。微积分基本概念的教学要体现从个别到一般、再回到个别的认识原则。如对导数概念的介绍，从变速直线运动的瞬时速度、平面曲线切线的斜率问题中抽象出导数概念后，应该再用导数概念剖析与专业相对应的变化率问题，做到概念的形成源于实际，高于实际，又要立足于解决实际，培养学生应用数学的意识和能力。
为把数学基本概念的教学与专业相结合，可把全校各专业课程中涉及数学基本概念的专业课程概念全部罗列出来。考虑到其数量之多，可以把这些专业课程概念按专业分摊到每个教师名下，即由每个教师通过适当方式掌握若干专业课程概念的具体含义。如教授经济类专业的数学教师，应该了解经济类专业中常用的边际概念、弹性概念等。
［参考文献］
［1］熊 风，姚春临，万波.数学概念教与学的实践——对数学分析中极限定义的教学设计思考［J］.江汉大学学报（自然科学版），2006（4）.
［2］李思霖.高等数学概念教学阶段分析与对策思考［J］.成都电子机械高等专科学校学报，2006（2）.
［3］傅苇.极限、导数、定积分概念所蕴涵的数学思想方法剖析［J］.重庆科技学院学报（自然科学版），2005（4）.
［4］韩振芳，张青，杨小姝.数学概念的学习［J］.河北北方学院学报，2006（2）.
［关键词］高职 数学概念教学
［作者简介］张丽玲（1967- ），女，黑龙江哈尔滨人，广西建设职业技术学院讲师，硕士，研究方向为数学教育和经济学。（广西 南宁 530003）
［中图分类号］G712［文献标识码］A［文章编号］1004-3985（2007）30-0136-02
人类社会发展到今天，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，这使得人们在学习中越来越注重对数学能力的培养。我国高等职业教育作为高等教育的重要组成部分，其发展始于20世纪80年代的职业大学，至今只有短短二十来年的时间，而且它的快速发展还不到十年，跟发达国家的职业教育相比，还处于起步阶段，它在培养计划等各方面都处于探索阶段。而高职数学课程作为一门基础文化课，其教学不可避免地存在诸多不适宜的问题，尤其是高职数学概念的教学面临着新的挑战。为此，本文试图对高职数学概念的教学作一些初步的探讨。
一、高职数学概念教学面临的挑战
概念是思维的基本形式之一，是对一切事物进行判断和推理的基础，我们每接触一个新的事物或一个新的知识，首当其冲的就是要知道它的概念。概念一般从实际事物中经过抽象而得到，但它又较原实际问题包含更丰富的内涵。数学概念是数学研究的出发点，是数学学习的关键。建立一个数学概念，一般是运用从特殊到一般、从局部到整体的观察方法，遵循从现象到本质、从具体到抽象的认识规律，找出事物的外部联系和内在的本质。因此，数学概念不仅是思维的工具，一切分析、推理、想象都要依据概念和运用概念，同时更是培养学生逻辑思维能力的重要内容。所以正确理解数学概念是提高学习数学能力的前提，只有正确理解和掌握了概念，才能对所要解决的问题得心应手，游刃有余。许多学生害怕学习数学，而不少教师自认为已把定理、演算讲得清清楚楚，但仍然有许多学生感到茫然。数学本身来源于实际生活和现象，它从具体到抽象是一个逐级发展过程。去掉实际生活和现象的其他属性，留下一类事物本质的特征，抽象形成数学概念。而抽象所形成的数学概念有利也有弊。这种抽象有利于对事物本质的研究，但也正是这种抽象的结果拉大了数学概念与现实生活之间的距离，也拉大了数学概念的来源与应用之间的距离，这也是数学难懂、难学、难教的原因之一。
目前高职公共课程内容改革的核心是强调“够用为度”。高职高专数学教学要求遵循“以应用为目的，以必需和够用为度”的教学原则。但在教学实践中这一原则却因部分教师认识上的不足而被简单化了。课堂教学重运算轻概念，重知识传授轻能力培养，学生学到的“必需和够用”的数学内容仅仅是一些零碎、无系统的知识，学生没有形成正确的数学观念和数学的应用意识。数学作为高职院校各专业的重要基础课和工具课，其作用是提高学生的文化素养和提供就业上岗后所需的数学基础。传统的数学教学，非常重视对学生运算能力和运算技巧的培养，而对于技术应用型人才，由于从业以后不会要求他们用严密的逻辑来证明一个纯数学问题或公式，数学只是他们从事专业工作的工具，学数学主要是为了用来解决工作中出现的具体问题，所以这种人才规格决定了高职数学作为工具使用的重要性。因此，高职数学概念的教学应有别于一般普通大学的数学概念教学。
二、高职数学概念教学的方法
高职数学主要是高等数学，其研究的基本对象是“函数”，最基本、最重要的概念是“极限”，最基本的方法是“极限方法”，因而高等数学是变量数学。高等数学概念与初等数学概念在含义与思维模式上的变化必然会在数学教学中有所反映，它使学生在开始接触微积分概念时很容易出现困惑。而加强基本概念教学是高等数学教学中的一个永恒主题。对于如何加强基本概念教学，要考虑具体的课程特点，就高等数学而言，其课程特点是具有基础性、应用性、与实际联系的紧密性。
1.概念的建立阶段。高等数学中某一概念的建立，通常有三个主要阶段：
第一阶段，提出问题。高等数学概念提出的常见方法是从实例提出。实践是理论的基础，高等数学中的大部分概念，如极限、导数、定积分等，都是从实例中归纳总结出来的。因此，引入数学概念应揭示基本概念产生的实际背景，为学生提供丰富的直观背景素材，提出有趣生动、发人深省的问题，使学生经历概念的发生和形成过程。在教学中适当讲一讲数学家思考问题的过程，再现历史上某一个著名的例证，等等，会对学生了解数学概念的产生、发展很有帮助。例如极限的概念，在数列极限教学中可以适当介绍我国古代杰出数学家刘徽计算圆周率的过程。
第二阶段，探索问题。提出实例以后，引导学生积极主动地去思考得出概念的过程，通过自己的思考去试图寻求问题的解答。这样既有利于掌握定义的本质，同时又能较快地发展逻辑思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。相反的，如果只知是什么，而不知定义得出的过程，那么所学的知识往往是僵死的，妨碍对定义的灵活运用，能力也得不到相应的提高。因此，应该掌握探索问题解答的正确方法。对于从实例提出的定义，要对所举各例进行分析，去掉其个别的、非本质的东西，抓住其共同的、本质的东西，抽象概括寻求问题的解答。例如讲导数概念时，举出教材里变化率问题中介绍的变速直线运动的速度、曲线切线的斜率等实例后，指出实例的具体意义虽然各不相同，但是从抽象的数量关系来看，它们的实质是一样的，都是归结为计算当自变量的改变量趋向于零时，函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，即变化率的极限。
第三阶段，综合以上两个阶段，给出定义。如前述导数概念中，就把当自变量的改变量趋向于零时，这种变化率的极限定义为导数。
2.概念的理解阶段。首先，明确概念的本质。建立概念以后，要养成剖析概念的习惯。要认真阅读概念，结合概念形成的过程明确概念的本质和关键。例如就导数概念而言，函数在某一点处的导数描述的是函数增量与自变量增量比值，当自变量趋于零时的极限，即函数在该点处的变化率，它反映了函数相对于自变量变化快慢的程度。除瞬时速度、电流强度、线密度外，它还可以表示瞬时加速度、角速度、切线斜率、边际概念等，其本质就是变化率。这样既使学生了解了导数的实际意义，又阻断了学生对具体意义的过度依赖。
其次，明确概念的基本性质及几何意义。对于一个概念，不仅要掌握其本身，还应掌握它的一些基本性质和几何意义。如定积分，不仅要明确它的定义，还要掌握定积分的基本性质和几何意义。把定义与它的基本性质、几何意义结合起来，对思考、分析、解答与定义有关的问题会有很大的帮助。
另外，突出概念的联系和区别。对有些相近、相似或相关的概念，可把它们归并成组加以比较，以突出相互之间的联系和区别，以免产生概念间的互相干扰。让学生从比较中学习，从比较中加深理解，从而在整体上把握所学到的诸多概念。例如微积分中的这些概念组：数列极限与函数极限；一点处的连续（可导）与一个区间上的连续（可导）；左右极限与左右导数；驻点、极大（小）值点与最大（小）值点；连续性、可导性与可积性；原函数、不定积分与定积分；无穷小量、微分与微元，等等。
高等数学的概念往往不是孤立的，理清概念之间的联系，既能促进新概念的自然引入，也有助于把握已学过概念的本质和建立概念体系。
3.概念的应用阶段。学习一个新概念之后，要进行复习巩固，努力揭示它在解决实际问题中的意义，尽可能给出几何解释、物理解释以及其他联系实际的解释。要认真阅读教材中给出的定义，领会定义的实质，举出实例与定义相对照，加深对定义的理解，然后解答一些直接应用定义的问题。一般地，在一个定义的后面紧跟的练习题往往是为此而安排的，要认真地选择一两个典型题目按照定义去解答。例如在讲导数概念时，除举出教材里变化率问题中介绍的变速直线运动的速度就是路程对时间的导数，曲线切线的斜率就是函数对自变量的导数外，还可多介绍一些变化率的实际问题，对导数概念的内涵、外延作进一步的说明。比如对经济学专业的学生可介绍产品总收入对产量的导数就是总收入的变化率（边际收入）；产品总成本对产量的导数就是产品总成本的变化率（边际成本）。适当选择学生将要接触的与所学专业有联系的一些实例讲概念，能够使学生建立正确的数学概念，有利于学生提高把数学能力转化为实际应用的能力。而对于利用定义计算函数的导数例题，则视课时是否充裕而定，不一定都在课堂上讲授。
三、高职数学概念教学应注意的问题
1.适当应用直观性教学法。譬如函数极限的定义完全可以采用描述性的定义，对于高职高专学生而言，只要对极限概念有一种感性认识，确立一种“必需”的极限思想，那么在后续学习中就“够用”了。通过运用直观的几何意义表现抽象的数学概念，并且借助于直观分析辅助逻辑推导启迪学生的解题思路，从而培养学生的直觉思维。但是在教学中也不能过于强调直观理解，否则除了会一定程度上影响数学的科学性外，也很难为学生的继续学习奠定必要的基础。高等数学的许多概念像导数概念、定积分概念都是从实际问题中抽象出来的，抽象思维能力得不到发展，就难以从具体实际问题中抽象出一般的数学模型并加以解决。
2.概念教学应与专业紧密结合。数学教学与专业相结合，体现了“必需、够用”的教学原则。要针对不同专业在数学内容上作出取舍。例如经济管理类的学生，对于在专业学习和今后工作中常涉及的最小投入、最大收益、边际概念、弹性概念等知识，应多花一些时间学习直至熟练掌握。在教学中可以将数学内容分成若干模块，由数学教师和专业教师共同商定，根据各专业特点开设后续学习所必需的知识模块，以培养具有专业特色的人才。数学教学与专业结合，还要充分体现“以应用为目的”的教学原则。在传统的高职高专数学教学中，往往只注重解题技巧的训练，而忽视或轻视了数学在实际中的应用，学生能够较熟练地解题，却不能运用所学的数学知识去解决专业中的实际问题。把数学教学与专业结合起来，一个重要的途径就是要结合专业讲清概念，概念的引入或应用要多采用与专业有关的例子，并坚持概念教学以应用为目的的原则。微积分基本概念的教学要体现从个别到一般、再回到个别的认识原则。如对导数概念的介绍，从变速直线运动的瞬时速度、平面曲线切线的斜率问题中抽象出导数概念后，应该再用导数概念剖析与专业相对应的变化率问题，做到概念的形成源于实际，高于实际，又要立足于解决实际，培养学生应用数学的意识和能力。
为把数学基本概念的教学与专业相结合，可把全校各专业课程中涉及数学基本概念的专业课程概念全部罗列出来。考虑到其数量之多，可以把这些专业课程概念按专业分摊到每个教师名下，即由每个教师通过适当方式掌握若干专业课程概念的具体含义。如教授经济类专业的数学教师，应该了解经济类专业中常用的边际概念、弹性概念等。
［参考文献］
［1］熊 风，姚春临，万波.数学概念教与学的实践——对数学分析中极限定义的教学设计思考［J］.江汉大学学报（自然科学版），2006（4）.
［2］李思霖.高等数学概念教学阶段分析与对策思考［J］.成都电子机械高等专科学校学报，2006（2）.
［3］傅苇.极限、导数、定积分概念所蕴涵的数学思想方法剖析［J］.重庆科技学院学报（自然科学版），2005（4）.
［4］韩振芳，张青，杨小姝.数学概念的学习［J］.河北北方学院学报，2006（2）.