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【摘要】本文利用数学建模的方法，分析了铁路大提速下圆曲线设计中曲线半径和曲线超高之间的数学关系，建立了多目标规划模型，并就货车时速在60－80公里/小时，客车时速在160－200公里/小时运行的情况下，结合数学软件MATLAB对该模型进行了求解，为客货列车共线运行铁路线路圆曲线的设计提供了一个参考标准。
【关键词】圆曲线 曲线半径 曲线超高 多目标规划模型 数学建模
1．引言。我国铁路自1997年以来先后已进行了6次大提速，从以前的最高时速60公里/小时至80公里/小时，到2007年4月18日的第6次大提速后，最高时速达到了150公里/小时至200公里/小时，其中京沪、京广、京九、京哈等路段的最高时速已达到或超过250公里/小时。根据我国的铁路资源状况和供需关系有必要提速，也有进一步提速的能力，但提速要确保列车的安全运行，安全是第一位的。铁路圆曲线的设计是保证列车高速安全运行的关键问题之一，一般认为影响列车在圆曲线上运行的因素主要有曲线的半径、超高度、列车的行驶速度和列车的重量等。按我国铁路目前的这种客货列车混合运行的模式，应该如何来设计圆曲线（包括曲线半径和超高度），是一个值得探讨的问题。参考文献[1]对既有线提速下平面圆曲线半径与超高的关系进行了分析，并给出了货车时速在50－100公里/小时和客车时速在120－160公里/小时运行的情况下圆曲线的设计标准；参考文献[2]给出了客货共线运行铁路线路平面圆曲线半径的设计原则，并制定了货车时速在50－120公里/小时和客车时速在80－200公里/小时运行的情况下圆曲线半径的设计标准。现在有关铁路既有线在提速情况下圆曲线的设计标准的研究，都是在固定圆曲线半径（超高度）的前提下，对超高度（曲线半径）进行试算，然后按整数（按整数10或50）取值，从而给出圆曲线设计的一种参考标准。本文通过建立数学规划模型的方法，就货车时速在60－80公里/小时，客车时速在160－200公里/小时运行的情况下，不固定任何参数，进行圆曲线（曲线半径和超高度）的优化设计。
2．圆曲线设计中的数学模型。客货列车共线运行铁路线路在大提速情况下进行圆曲线设计应包括曲线半径设计和曲线超高设计。其中曲线半径按最小曲线半径取值（最小曲线半径是一条干线或其中某一路段允许采用的曲线半径最小值），曲线超高取决于客货列车通过曲线的速度及最大超高和欠、过超高允许值等参数，它的设置好坏直接影响到行车速度、旅客舒适度和钢轨磨耗，甚至影响行车安全。
2．1 目标函数：为了节省铁路建设成本和运营费用，我们在进行铁路圆曲线设计时应该以最小化曲线半径和最大化曲线超高为目标，即：
2．2 曲线半径约束条件[3]：
客货列车共线运行铁路的曲线半径应该按最小曲线半径取值，主要为了满足旅客舒适度、轮轨均匀磨耗和最大曲线半径三个约束条件：
2．2．1 旅客舒适约束。最小曲线半径应该保证旅客列车以最高速度通过时，欠超高不超过允许值，以保证旅客舒适度，即：
2．2．2 轮轨磨耗均等约束。圆曲线在实设超高下，高速旅客列车以最高速度通过时，产生的欠超高不应超过允许值，以保证旅客的舒适度和外轨过分偏磨；低速货物列车通过时，产生的过超高也不应超过其允许值，以免引起内轨的严重磨耗，即：
注：VH代表货物列车最大速度，hq代表欠超高值，hg代表过超高值。VJF代表均方根速度，根据我国铁路运营统计资料，一般为旅客列车最大运行速度的（0.65－0.8）倍。
2．2．3 最大曲线半径约束。当曲线半径增加到一定程度时，再增大曲线半径，因行车速度不高，行车条件的改善并不显著。综合国内外的工程实践经验和科研成果，我国规定曲线半径的最大值为10000米。
2．3 曲线超高约束条件[3]：当客货列车速度及曲线半径一定时，客货列车共线运行铁路的曲线超高设置应满足下列条件：
2．3．1 工程约束。曲线实设超高应不大于最大超高且不小于最小超高，即：
注：hmin代表最小超高，hmax代表最大超高。
2．3．2 运输约束。曲线实设超高不应该使得客车产生过超高和货车产生欠超高，即：
2．3．3 安全约束。曲线实设超高不应该使得客车产生的过超高和货车产生的欠超高超过其允许值，即：
注：hgy代表过超高允许值。
3．模拟仿真。
3．1 计算参数的确定：根据我国铁路运营实践，最大允许超高度、最大允许欠超高度、最大允许过超高度、最大曲线半径等参数可取参考值。根据参考文献[2]、[4]和[5]，计算相关参数取值如表1所示：
3．2 客货列车速度匹配取值：本文就货车时速在60－80公里/小时，客车时速在160－200公里/小时运行的情况下，不固定任何参数，进行圆曲线（曲线半径和超高度）的优化设计。根据我国铁路运营情况，这里我对客货列车速度匹配取值分别为160/60公里每小时和200/80公里每小时，对于均方根速度，根据我国铁路运营统计资料，这里我取为旅客列车最大运行速度的0.65倍。
3．3 程序仿真：本文第二部分圆曲线设计中的数学模型已系统地阐述了铁路圆曲线设计中曲线半径与超高度之间的相互关系，得到了一个多目标非线性规划模型，这里我们利用数学软件MATLAB编制计算机程序对该模型进行求解[6]，计算结果如表2所示：
4．结论及评价。铁路线路圆曲线的设计是一个很复杂的系统工程。进行曲线半径设计时既要适应地形、地质等条件，减少工程量，又要有利于养护维修，满足行车速度要求，做到技术经济合理，一般条件下应选用较大的曲线半径。进行超高度设计时，既不能过高，以免低速货物列车通过时造成内轨的严重磨耗；也不能过低，以免高速旅客列车通过时造成旅客的不舒适和外轨过分偏磨，设计时应结合线路纵断面和曲线半径设计情况综合考虑。本文通过数学建模的方法表达出圆曲线设计中曲线半径与超高度的数学关系，并通过建立多目标规划模型并结合数学软件MATLAB对模型进行求解，为客货列车共线运行铁路线路圆曲线的设计提供了一个参考标准。
致谢：本文受到2007年西南交通大学峨眉校区科技基金资助项目资助，以及西南交通大学峨眉校区交通运输系孙景东老师和王顺利老师的细心指导，在此一并表示感谢！
参考文献
1 孙文峰.既有线提速平面曲线半径与曲线实设超高关系的分析[J].铁道标准设计.2005(04):12～15
2 柳世辉.客货共线运行铁路线路平面圆曲线半径标准的制订[J].铁道标准设计.2005(10):103～107
3 易思蓉.铁路选线设计（第二版）[M].成都:西南交通大学出版社,2005
4 马炜、王齐荣、米隆.线路平面圆曲线半径标准的制定[J].铁道标准设计.1998(4)
5 王厚雄.线路圆曲线半径、缓和曲线长度和线间距标准制定依据的介绍[J].铁道标准设计.2004(7)
6 姜启源等.大学数学实验（第1版）.北京:清华大学出版社,2005
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】圆曲线 曲线半径 曲线超高 多目标规划模型 数学建模
1．引言。我国铁路自1997年以来先后已进行了6次大提速，从以前的最高时速60公里/小时至80公里/小时，到2007年4月18日的第6次大提速后，最高时速达到了150公里/小时至200公里/小时，其中京沪、京广、京九、京哈等路段的最高时速已达到或超过250公里/小时。根据我国的铁路资源状况和供需关系有必要提速，也有进一步提速的能力，但提速要确保列车的安全运行，安全是第一位的。铁路圆曲线的设计是保证列车高速安全运行的关键问题之一，一般认为影响列车在圆曲线上运行的因素主要有曲线的半径、超高度、列车的行驶速度和列车的重量等。按我国铁路目前的这种客货列车混合运行的模式，应该如何来设计圆曲线（包括曲线半径和超高度），是一个值得探讨的问题。参考文献[1]对既有线提速下平面圆曲线半径与超高的关系进行了分析，并给出了货车时速在50－100公里/小时和客车时速在120－160公里/小时运行的情况下圆曲线的设计标准；参考文献[2]给出了客货共线运行铁路线路平面圆曲线半径的设计原则，并制定了货车时速在50－120公里/小时和客车时速在80－200公里/小时运行的情况下圆曲线半径的设计标准。现在有关铁路既有线在提速情况下圆曲线的设计标准的研究，都是在固定圆曲线半径（超高度）的前提下，对超高度（曲线半径）进行试算，然后按整数（按整数10或50）取值，从而给出圆曲线设计的一种参考标准。本文通过建立数学规划模型的方法，就货车时速在60－80公里/小时，客车时速在160－200公里/小时运行的情况下，不固定任何参数，进行圆曲线（曲线半径和超高度）的优化设计。
2．圆曲线设计中的数学模型。客货列车共线运行铁路线路在大提速情况下进行圆曲线设计应包括曲线半径设计和曲线超高设计。其中曲线半径按最小曲线半径取值（最小曲线半径是一条干线或其中某一路段允许采用的曲线半径最小值），曲线超高取决于客货列车通过曲线的速度及最大超高和欠、过超高允许值等参数，它的设置好坏直接影响到行车速度、旅客舒适度和钢轨磨耗，甚至影响行车安全。
2．1 目标函数：为了节省铁路建设成本和运营费用，我们在进行铁路圆曲线设计时应该以最小化曲线半径和最大化曲线超高为目标，即：
2．2 曲线半径约束条件[3]：
客货列车共线运行铁路的曲线半径应该按最小曲线半径取值，主要为了满足旅客舒适度、轮轨均匀磨耗和最大曲线半径三个约束条件：
2．2．1 旅客舒适约束。最小曲线半径应该保证旅客列车以最高速度通过时，欠超高不超过允许值，以保证旅客舒适度，即：
2．2．2 轮轨磨耗均等约束。圆曲线在实设超高下，高速旅客列车以最高速度通过时，产生的欠超高不应超过允许值，以保证旅客的舒适度和外轨过分偏磨；低速货物列车通过时，产生的过超高也不应超过其允许值，以免引起内轨的严重磨耗，即：
注：VH代表货物列车最大速度，hq代表欠超高值，hg代表过超高值。VJF代表均方根速度，根据我国铁路运营统计资料，一般为旅客列车最大运行速度的（0.65－0.8）倍。
2．2．3 最大曲线半径约束。当曲线半径增加到一定程度时，再增大曲线半径，因行车速度不高，行车条件的改善并不显著。综合国内外的工程实践经验和科研成果，我国规定曲线半径的最大值为10000米。
2．3 曲线超高约束条件[3]：当客货列车速度及曲线半径一定时，客货列车共线运行铁路的曲线超高设置应满足下列条件：
2．3．1 工程约束。曲线实设超高应不大于最大超高且不小于最小超高，即：
注：hmin代表最小超高，hmax代表最大超高。
2．3．2 运输约束。曲线实设超高不应该使得客车产生过超高和货车产生欠超高，即：
2．3．3 安全约束。曲线实设超高不应该使得客车产生的过超高和货车产生的欠超高超过其允许值，即：
注：hgy代表过超高允许值。
3．模拟仿真。
3．1 计算参数的确定：根据我国铁路运营实践，最大允许超高度、最大允许欠超高度、最大允许过超高度、最大曲线半径等参数可取参考值。根据参考文献[2]、[4]和[5]，计算相关参数取值如表1所示：
3．2 客货列车速度匹配取值：本文就货车时速在60－80公里/小时，客车时速在160－200公里/小时运行的情况下，不固定任何参数，进行圆曲线（曲线半径和超高度）的优化设计。根据我国铁路运营情况，这里我对客货列车速度匹配取值分别为160/60公里每小时和200/80公里每小时，对于均方根速度，根据我国铁路运营统计资料，这里我取为旅客列车最大运行速度的0.65倍。
3．3 程序仿真：本文第二部分圆曲线设计中的数学模型已系统地阐述了铁路圆曲线设计中曲线半径与超高度之间的相互关系，得到了一个多目标非线性规划模型，这里我们利用数学软件MATLAB编制计算机程序对该模型进行求解[6]，计算结果如表2所示：
4．结论及评价。铁路线路圆曲线的设计是一个很复杂的系统工程。进行曲线半径设计时既要适应地形、地质等条件，减少工程量，又要有利于养护维修，满足行车速度要求，做到技术经济合理，一般条件下应选用较大的曲线半径。进行超高度设计时，既不能过高，以免低速货物列车通过时造成内轨的严重磨耗；也不能过低，以免高速旅客列车通过时造成旅客的不舒适和外轨过分偏磨，设计时应结合线路纵断面和曲线半径设计情况综合考虑。本文通过数学建模的方法表达出圆曲线设计中曲线半径与超高度的数学关系，并通过建立多目标规划模型并结合数学软件MATLAB对模型进行求解，为客货列车共线运行铁路线路圆曲线的设计提供了一个参考标准。
致谢：本文受到2007年西南交通大学峨眉校区科技基金资助项目资助，以及西南交通大学峨眉校区交通运输系孙景东老师和王顺利老师的细心指导，在此一并表示感谢！
参考文献
1 孙文峰.既有线提速平面曲线半径与曲线实设超高关系的分析[J].铁道标准设计.2005(04):12～15
2 柳世辉.客货共线运行铁路线路平面圆曲线半径标准的制订[J].铁道标准设计.2005(10):103～107
3 易思蓉.铁路选线设计（第二版）[M].成都:西南交通大学出版社,2005
4 马炜、王齐荣、米隆.线路平面圆曲线半径标准的制定[J].铁道标准设计.1998(4)
5 王厚雄.线路圆曲线半径、缓和曲线长度和线间距标准制定依据的介绍[J].铁道标准设计.2004(7)
6 姜启源等.大学数学实验（第1版）.北京:清华大学出版社,2005
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”